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1.若$(x+1)^2=x^2+mx+1$，则$m$的值是（
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
C
）.A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求等式中未知系数m的值，解题思路如下：首先利用完全平方和公式将等式左侧的完全平方式展开，再根据等式两边同类项的系数对应相等的性质，就能直接求出m的取值。
【解析】
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式左侧展开：
$(x+1)^2=x^2+2· x·1+1^2=x^2+2x+1$
已知$(x+1)^2=x^2+mx+1$，因此可得：
$x^2+2x+1=x^2+mx+1$
等式两边同类项系数对应相等，一次项系数满足$m=2$。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方公式
2.多项式相等的条件
【点评】
本题属于乘法公式相关的基础题型，核心考查对完全平方公式的掌握程度，只要熟练记忆完全平方公式的展开形式，结合多项式相等时同类项系数相等的规则即可快速解题，是代数基础运算中的常见考点。
【难度系数】
0.9
本题要求等式中未知系数m的值，解题思路如下：首先利用完全平方和公式将等式左侧的完全平方式展开，再根据等式两边同类项的系数对应相等的性质，就能直接求出m的取值。
【解析】
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式左侧展开：
$(x+1)^2=x^2+2· x·1+1^2=x^2+2x+1$
已知$(x+1)^2=x^2+mx+1$，因此可得：
$x^2+2x+1=x^2+mx+1$
等式两边同类项系数对应相等，一次项系数满足$m=2$。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方公式
2.多项式相等的条件
【点评】
本题属于乘法公式相关的基础题型，核心考查对完全平方公式的掌握程度，只要熟练记忆完全平方公式的展开形式，结合多项式相等时同类项系数相等的规则即可快速解题，是代数基础运算中的常见考点。
【难度系数】
0.9
2.已知$(x-1)^2=2$，则代数式$x^2-2x+5$的值为(
A.4
B.5
C.6
D.7
C
).A.4
B.5
C.6
D.7
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和待求代数式的结构特征，回忆完全平方公式的展开形式，发现待求式的前两项$x^2-2x$正好是完全平方$(x-1)^2$展开后的前两项，因此可以先将已知的完全平方展开，求出$x^2-2x$的值，再整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解$x$的取值，能简化计算过程。
【解析】
解：已知$(x-1)^2=2$，根据完全平方公式展开等式左边，可得：
$x^2 - 2x + 1 = 2$
移项整理得：$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$
将$x^2 - 2x = 1$代入代数式$x^2 - 2x + 5$中，得：
原式$=1 + 5 = 6$
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型基础题，核心考查完全平方公式的变形能力，运用整体代入思想可以避开复杂的开方运算，大幅提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式和待求代数式的结构特征，回忆完全平方公式的展开形式，发现待求式的前两项$x^2-2x$正好是完全平方$(x-1)^2$展开后的前两项，因此可以先将已知的完全平方展开，求出$x^2-2x$的值，再整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解$x$的取值，能简化计算过程。
【解析】
解：已知$(x-1)^2=2$，根据完全平方公式展开等式左边，可得：
$x^2 - 2x + 1 = 2$
移项整理得：$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$
将$x^2 - 2x = 1$代入代数式$x^2 - 2x + 5$中，得：
原式$=1 + 5 = 6$
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入求值
【点评】
本题是乘法公式应用的典型基础题，核心考查完全平方公式的变形能力，运用整体代入思想可以避开复杂的开方运算，大幅提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
3.如果多项式$x^2+mx+4$恰好是某个整式的平方，那么$m$的值为(
A.2
B.－2
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$
D
).A.2
B.－2
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将给定多项式$x^2+mx+4$与公式结构对应：先确定首项对应$a^2$，末项对应$b^2$，求出a和b的取值，再根据中间项等于±2倍首尾两项底数的乘积，即可求出m的值，注意完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，不要漏解。
【解析】
解：
∵多项式$x^2+mx+4$是某个整式的平方，即该式为完全平方式。
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对比$x^2+mx+4$可得：
首项$x^2=a^2$，因此$a=x$；
末项$4=b^2$，因此$b=\pm2$；
中间项$mx=\pm2ab=\pm2× x×2=\pm4x$，
等式两边x的系数对应相等，可得$m=\pm4$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式
【点评】
本题属于完全平方公式的基础常考题，解题核心是明确完全平方式存在两种结构形式，易错点是容易忽略差的平方的情况，只计算m为正值的结果，导致漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将给定多项式$x^2+mx+4$与公式结构对应：先确定首项对应$a^2$，末项对应$b^2$，求出a和b的取值，再根据中间项等于±2倍首尾两项底数的乘积，即可求出m的值，注意完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，不要漏解。
【解析】
解：
∵多项式$x^2+mx+4$是某个整式的平方，即该式为完全平方式。
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对比$x^2+mx+4$可得：
首项$x^2=a^2$，因此$a=x$；
末项$4=b^2$，因此$b=\pm2$；
中间项$mx=\pm2ab=\pm2× x×2=\pm4x$，
等式两边x的系数对应相等，可得$m=\pm4$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式
【点评】
本题属于完全平方公式的基础常考题，解题核心是明确完全平方式存在两种结构形式，易错点是容易忽略差的平方的情况，只计算m为正值的结果，导致漏解。
【难度系数】
0.7
4.若$a+9=b+8=c+7$，则$(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2=$
-2
.答案
4.-2
解析
【分析】
首先观察已知条件是连等式，所求代数式是关于$a-b$、$b-c$、$c-a$的平方组合，因此不需要求出$a$、$b$、$c$的具体数值，只需根据等式的性质，两两对比连等式，分别求出$a-b$、$b-c$、$c-a$的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：由$a+9 = b+8$，移项可得：
$a - b = 8 - 9 = -1$
由$b+8 = c+7$，移项可得：
$b - c = 7 - 8 = -1$
由$a+9 = c+7$，移项可得：
$c - a = 9 - 7 = 2$
将上述结果代入$(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2$得：
$原式= (-1)^2 + (-1)^2 - 2^2 = 1 + 1 - 4 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
1.代数式求值
2.等式的性质
3.整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的求值运算，解题核心是采用整体代入的思想，通过连等式直接求出所需的差值，避免求解单个字母的具体值，简化了计算过程，是代数式求值中常用的简便方法。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件是连等式，所求代数式是关于$a-b$、$b-c$、$c-a$的平方组合，因此不需要求出$a$、$b$、$c$的具体数值，只需根据等式的性质，两两对比连等式，分别求出$a-b$、$b-c$、$c-a$的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：由$a+9 = b+8$，移项可得：
$a - b = 8 - 9 = -1$
由$b+8 = c+7$，移项可得：
$b - c = 7 - 8 = -1$
由$a+9 = c+7$，移项可得：
$c - a = 9 - 7 = 2$
将上述结果代入$(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2$得：
$原式= (-1)^2 + (-1)^2 - 2^2 = 1 + 1 - 4 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
1.代数式求值
2.等式的性质
3.整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的求值运算，解题核心是采用整体代入的思想，通过连等式直接求出所需的差值，避免求解单个字母的具体值，简化了计算过程，是代数式求值中常用的简便方法。
【难度系数】
0.7
5.已知$(x+y)^2=2,(x-y)^2=8$,则$x^2+y^2=$
5
.答案
5.5
解析
【分析】
首先观察已知条件，两个等式都是完全平方的形式，我们可以先利用完全平方公式将两个等式分别展开，发现展开式中xy项的系数互为相反数，将两个展开式相加即可消去xy项，得到只含有x²+y²的等式，进而求出目标式的值。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
1. 展开$(x+y)^2=2$得：$x^2+2xy+y^2=2$ ①
2. 展开$(x-y)^2=8$得：$x^2-2xy+y^2=8$ ②
将①和②的左右两边分别相加：
$(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=2+8$
合并同类项化简，其中$2xy$和$-2xy$抵消，可得：
$2x^2+2y^2=10$
等式两边同时除以2，得：
$x^2+y^2=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整式加减运算，等式的性质
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是利用完全平方展开式的结构特征，通过相加消去含xy的交叉项，简化计算过程，熟练掌握完全平方公式的结构特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，两个等式都是完全平方的形式，我们可以先利用完全平方公式将两个等式分别展开，发现展开式中xy项的系数互为相反数，将两个展开式相加即可消去xy项，得到只含有x²+y²的等式，进而求出目标式的值。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
1. 展开$(x+y)^2=2$得：$x^2+2xy+y^2=2$ ①
2. 展开$(x-y)^2=8$得：$x^2-2xy+y^2=8$ ②
将①和②的左右两边分别相加：
$(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=2+8$
合并同类项化简，其中$2xy$和$-2xy$抵消，可得：
$2x^2+2y^2=10$
等式两边同时除以2，得：
$x^2+y^2=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，整式加减运算，等式的性质
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，解题关键是利用完全平方展开式的结构特征，通过相加消去含xy的交叉项，简化计算过程，熟练掌握完全平方公式的结构特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.已知$x+y=3$，$x^2+y^2=23$，则$(x-y)^2$的值为
37
。答案
6.37
解析
【分析】
本题要求$(x-y)^2$的值，我们可以结合完全平方公式的变形来解题。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。已知$x+y$和$x^2+y^2$的值，我们可以先通过$(x+y)^2$的展开式求出$xy$的值，再将$x^2+y^2$和$xy$的值代入$(x-y)^2$的展开式，即可求出结果。
【解析】
解：$\because x+y=3$
$\therefore (x+y)^2=3^2=9$
根据完全平方公式展开得：$x^2+2xy+y^2=9$
将$x^2+y^2=23$代入上式，得：
$23+2xy=9$
解得：$2xy=9-23=-14$
再根据完全平方公式可得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy$
将$x^2+y^2=23$、$2xy=-14$代入，得：
$(x-y)^2=23-(-14)=23+14=37$
【答案】
37
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，重点考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，能快速找到已知条件和待求式之间的关联，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题要求$(x-y)^2$的值，我们可以结合完全平方公式的变形来解题。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。已知$x+y$和$x^2+y^2$的值，我们可以先通过$(x+y)^2$的展开式求出$xy$的值，再将$x^2+y^2$和$xy$的值代入$(x-y)^2$的展开式，即可求出结果。
【解析】
解：$\because x+y=3$
$\therefore (x+y)^2=3^2=9$
根据完全平方公式展开得：$x^2+2xy+y^2=9$
将$x^2+y^2=23$代入上式，得：
$23+2xy=9$
解得：$2xy=9-23=-14$
再根据完全平方公式可得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy$
将$x^2+y^2=23$、$2xy=-14$代入，得：
$(x-y)^2=23-(-14)=23+14=37$
【答案】
37
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，重点考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，能快速找到已知条件和待求式之间的关联，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
7.若$(3x+y)^2=(3x-y)^2+A$，则式子A为
12xy
。答案
7.12xy
解析
【分析】
解题思路：要计算式子A，首先根据等式的基本性质，将A单独移到等式的一侧，可得$A=(3x+y)^2-(3x-y)^2$，接下来利用完全平方公式分别将两个完全平方式展开，再通过去括号、合并同类项即可求出A的取值。
【解析】
已知$(3x+y)^2=(3x-y)^2+A$，
移项得：$A=(3x+y)^2 - (3x-y)^2$
根据完全平方公式展开两个完全平方式：
$(3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$
$(3x-y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$
将展开结果代入A的表达式：
$A=(9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)$
去括号得：
$A=9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2$
合并同类项后得：
$A=12xy$
【答案】
12xy
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算，等式的性质
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，重点考查对完全平方公式的识记和运用能力，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，同时注意去括号时的符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
解题思路：要计算式子A，首先根据等式的基本性质，将A单独移到等式的一侧，可得$A=(3x+y)^2-(3x-y)^2$，接下来利用完全平方公式分别将两个完全平方式展开，再通过去括号、合并同类项即可求出A的取值。
【解析】
已知$(3x+y)^2=(3x-y)^2+A$，
移项得：$A=(3x+y)^2 - (3x-y)^2$
根据完全平方公式展开两个完全平方式：
$(3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$
$(3x-y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2$
将展开结果代入A的表达式：
$A=(9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)$
去括号得：
$A=9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2$
合并同类项后得：
$A=12xy$
【答案】
12xy
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算，等式的性质
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，重点考查对完全平方公式的识记和运用能力，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，同时注意去括号时的符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
8.计算.
(1) $(x+6)^2$.
(2) $(4x-3y)^2$.
(3) $(-2m-1)^2$.
(4) $(\dfrac{3}{2}a - \dfrac{2}{3}b)^2$.
(1) $(x+6)^2$.
(2) $(4x-3y)^2$.
(3) $(-2m-1)^2$.
(4) $(\dfrac{3}{2}a - \dfrac{2}{3}b)^2$.
答案
(1)$x^2+12x+36.$
(2)$16x^2-24xy+9y^2.$
(3)$4m^2+4m+1.$
(4)$\frac{9}{4}a^2-2ab+\frac{4}{9}b^2.$
(2)$16x^2-24xy+9y^2.$
(3)$4m^2+4m+1.$
(4)$\frac{9}{4}a^2-2ab+\frac{4}{9}b^2.$
解析
【分析】
这四道题均为完全平方公式的基础应用类计算，解题核心是牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。解题时首先要确定每个式子中对应公式里的$a$和$b$，带系数、负号、分数的项要整体代入公式计算，展开时注意不要漏算2倍项，也不要搞错符号，系数和字母要分别进行乘方运算。
【解析】
(1) 对于$(x+6)^2$，对应公式中$a=x$，$b=6$，代入完全平方和公式：
原式$=x^2 + 2· x·6 + 6^2 = x^2+12x+36$
(2) 对于$(4x-3y)^2$，对应公式中$a=4x$，$b=3y$，代入完全平方差公式：
原式$=(4x)^2 - 2·4x·3y + (3y)^2 = 16x^2-24xy+9y^2$
(3) 对于$(-2m-1)^2$，可先变形为$[-(2m+1)]^2=(2m+1)^2$，对应公式中$a=2m$，$b=1$：
原式$=(2m)^2 + 2·2m·1 + 1^2 = 4m^2+4m+1$
(4) 对于$(\dfrac{3}{2}a - \dfrac{2}{3}b)^2$，对应公式中$a=\dfrac{3}{2}a$，$b=\dfrac{2}{3}b$，代入完全平方差公式：
原式$=(\dfrac{3}{2}a)^2 - 2·\dfrac{3}{2}a·\dfrac{2}{3}b + (\dfrac{2}{3}b)^2 = \dfrac{9}{4}a^2-2ab+\dfrac{4}{9}b^2$
【答案】
(1)$x^2+12x+36$
(2)$16x^2-24xy+9y^2$
(3)$4m^2+4m+1$
(4)$\frac{9}{4}a^2-2ab+\frac{4}{9}b^2$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法，幂的运算
【点评】
本题是完全平方公式的常规基础题，解题关键是准确识别公式中的$a$、$b$两项，尤其要注意带负号、分数系数的项需要整体参与运算，避免出现系数漏乘方、中间项符号错误、漏乘2倍的常见失误。
【难度系数】
0.85
这四道题均为完全平方公式的基础应用类计算，解题核心是牢记完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。解题时首先要确定每个式子中对应公式里的$a$和$b$，带系数、负号、分数的项要整体代入公式计算，展开时注意不要漏算2倍项，也不要搞错符号，系数和字母要分别进行乘方运算。
【解析】
(1) 对于$(x+6)^2$，对应公式中$a=x$，$b=6$，代入完全平方和公式：
原式$=x^2 + 2· x·6 + 6^2 = x^2+12x+36$
(2) 对于$(4x-3y)^2$，对应公式中$a=4x$，$b=3y$，代入完全平方差公式：
原式$=(4x)^2 - 2·4x·3y + (3y)^2 = 16x^2-24xy+9y^2$
(3) 对于$(-2m-1)^2$，可先变形为$[-(2m+1)]^2=(2m+1)^2$，对应公式中$a=2m$，$b=1$：
原式$=(2m)^2 + 2·2m·1 + 1^2 = 4m^2+4m+1$
(4) 对于$(\dfrac{3}{2}a - \dfrac{2}{3}b)^2$，对应公式中$a=\dfrac{3}{2}a$，$b=\dfrac{2}{3}b$，代入完全平方差公式：
原式$=(\dfrac{3}{2}a)^2 - 2·\dfrac{3}{2}a·\dfrac{2}{3}b + (\dfrac{2}{3}b)^2 = \dfrac{9}{4}a^2-2ab+\dfrac{4}{9}b^2$
【答案】
(1)$x^2+12x+36$
(2)$16x^2-24xy+9y^2$
(3)$4m^2+4m+1$
(4)$\frac{9}{4}a^2-2ab+\frac{4}{9}b^2$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法，幂的运算
【点评】
本题是完全平方公式的常规基础题，解题关键是准确识别公式中的$a$、$b$两项，尤其要注意带负号、分数系数的项需要整体参与运算，避免出现系数漏乘方、中间项符号错误、漏乘2倍的常见失误。
【难度系数】
0.85
9.现有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张(边长如图).要用这三种纸片无重合、无缝隙拼接成一个大正方形,先取甲纸片1张,乙纸片4张,还需取丙纸片
4
张.答案
9.4
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先明确三种纸片的面积，第二步计算已选取的1张甲纸片和4张乙纸片的总面积，第三步结合拼接后是大正方形，可知总面积一定是完全平方式，利用完全平方公式找出缺少的面积，最后用缺少的面积除以丙纸片的面积，即可得到需要丙纸片的张数。
【解析】
解：首先分别计算三种纸片的面积：
甲是边长为$ a $的正方形，面积$ S_{甲}=a^2 $；
乙是边长为$ b $的正方形，面积$ S_{乙}=b^2 $；
丙是长为$ a $、宽为$ b $的长方形，面积$ S_{丙}=ab $。
已取1张甲、4张乙的总面积为：$ S_{已}=a^2 + 4b^2 $。
拼接成的大正方形的面积为完全平方式，根据完全平方公式$ (a+2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2 $，对比已有面积，缺少的面积为$ 4ab $。
则需要丙纸片的张数为：$ 4ab ÷ ab =4 $。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼接考查完全平方公式的几何意义，核心是抓住拼接前后总面积不变、大正方形面积为完全平方式这一关键点，是代数公式与几何图形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先明确三种纸片的面积，第二步计算已选取的1张甲纸片和4张乙纸片的总面积，第三步结合拼接后是大正方形，可知总面积一定是完全平方式，利用完全平方公式找出缺少的面积，最后用缺少的面积除以丙纸片的面积，即可得到需要丙纸片的张数。
【解析】
解：首先分别计算三种纸片的面积：
甲是边长为$ a $的正方形，面积$ S_{甲}=a^2 $；
乙是边长为$ b $的正方形，面积$ S_{乙}=b^2 $；
丙是长为$ a $、宽为$ b $的长方形，面积$ S_{丙}=ab $。
已取1张甲、4张乙的总面积为：$ S_{已}=a^2 + 4b^2 $。
拼接成的大正方形的面积为完全平方式，根据完全平方公式$ (a+2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2 $，对比已有面积，缺少的面积为$ 4ab $。
则需要丙纸片的张数为：$ 4ab ÷ ab =4 $。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼接考查完全平方公式的几何意义，核心是抓住拼接前后总面积不变、大正方形面积为完全平方式这一关键点，是代数公式与几何图形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
