10.已知$a+b=2$，$ab=-24$.
(1)求$a^2+b^2$的值.
(2)求$(a+1)(b+1)$的值.
(3)求$(a-b)^2$的值.

(1)$\because a+b=2,ab=-24,\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4+2×24=52.$
(2)$\because a+b=2,ab=-24,\therefore (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-24+2+1=-21.$
(3)$\because a+b=2,ab=-24,\therefore (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab=4+4×24=100.$

【分析】
本题三个小问都无需单独求解a、b的具体数值，可通过整式乘法的恒等变形，将所求式子转化为含有已知条件$a+b$和$ab$的形式，再整体代入计算即可。
(1) 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可变形得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，直接代入已知条件即可求解；
(2) 先根据多项式乘多项式的法则展开$(a+1)(b+1)$，整理后式子中将出现$ab$和$a+b$项，代入已知数值计算即可；
(3) $(a-b)^2$可由完全平方公式展开变形为$(a+b)^2-4ab$，代入已知条件即可求解，也可借助第(1)问的结果计算。
【解析】
(1) 已知$a+b=2$，$ab=-24$，代入变形后的完全平方公式得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2^2-2×(-24)=4+48=52$
(2) 先展开多项式乘积：
$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$
代入$a+b=2$，$ab=-24$得：
原式$=-24+2+1=-21$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
代入$a+b=2$，$ab=-24$得：
原式$=2^2-4×(-24)=4+96=100$
【答案】
(1) $52$；(2) $-21$；(3) $100$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题是整式乘法部分的基础常考题，重点考查乘法公式的灵活变形能力，掌握完全平方公式的常见变形形式、运用整体代入思想可大幅简化计算过程，避免求解单个字母的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8

11.【阅读理解】数形结合是数学解题中常用的思想方法.例如:教材在探究平方差公式时，利用了如图①的图形表示它的几何意义:阴影部分面积为$a^2 - b^2$，也可转化成一个一边长为$(a+b)$，另一边长为$(a-b)$的长方形，其面积为$(a+b)(a-b)$，因此有$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$.
【类比探究】图②是一个长为$4b$，宽为$a$的长方形，用剪刀沿虚线将其平均分成四个相同的小长方形，然后用这四个小长方形拼成一个“回字形”正方形，如图③.
(1)观察图③，请你写出$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系：.
【解决问题】
(2)若$x^2 -1=5x$，直接写出代数式$x - \frac{1}{x}$的值，并求$(x + \frac{1}{x})^2$的值.
【拓展应用】
(3)已知$m$，$n$为实数，$(2m+4n-5)^2=9$，求$(m+2n-3)(m+2n-2)$的值.

(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab.$
(2)$\because x^2-1=5x,x≠0,\therefore x-\frac{1}{x}=5$,
$\therefore (x+\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+4=25+4=29.$
(3)设$a=m+2n-3,b=m+2n-2$,则$a-b=-1,a+b=2m+4n-5.$
$\therefore (a+b)^2=(2m+4n-5)^2=9,(a-b)^2=1.$
$\therefore (m+2n-3)(m+2n-2)=ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\frac{9-1}{4}=2.$

【分析】
(1) 观察图③：边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，中间边长为$(a-b)$的阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，周围4个小长方形的总面积为$4ab$，根据大正方形面积=小正方形面积+4个小长方形的面积，即可推导三者的等量关系。
(2) 已知$x^2-1=5x$，首先判断$x≠0$，等式两边同时除以$x$即可直接得到$x-\frac{1}{x}$的值；再利用完全平方公式的变形关系$(x+\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+4$，代入数值计算即可。
(3) 观察所求代数式中$m+2n$重复出现，可利用整体换元思想，结合(1)中推导的$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$的变形公式，代入已知条件计算即可。
【解析】
(1) 图③中，大正方形面积等于中间阴影小正方形面积加4个小长方形的面积，因此可得等量关系：
$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) $\because x^2-1=5x$，且$x≠0$，等式两边同时除以$x$得：
$x-\frac{1}{x}=5$
根据完全平方公式变形可得：
$(x+\frac{1}{x})^2=(x-\frac{1}{x})^2+4$
将$x-\frac{1}{x}=5$代入得：
$(x+\frac{1}{x})^2=5^2+4=29$
(3) 设$a=m+2n-3$，$b=m+2n-2$，则：
$a-b=(m+2n-3)-(m+2n-2)=-1$，$a+b=(m+2n-3)+(m+2n-2)=2m+4n-5$
由题可知$(a+b)^2=(2m+4n-5)^2=9$，$(a-b)^2=(-1)^2=1$
根据(1)的公式变形得$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$，代入数值：
$ab=\frac{9-1}{4}=2$
即$(m+2n-3)(m+2n-2)=2$
【答案】
(1) $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) $x-\frac{1}{x}=5$，$(x+\frac{1}{x})^2=29$
(3) $2$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代换
【点评】
本题结合数形结合思想考查乘法公式的灵活运用，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形，换元法可有效简化含重复整体的代数式运算，能锻炼学生对公式的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.6

12.已知实数$m,n$满足$m^2+n^2=2+mn$，则$mn$的取值范围是，$(2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)$的最大值是。

$-\frac{2}{3}≤ mn≤2$ $\frac{44}{3}$

【分析】
首先解决第一问求$mn$的取值范围：利用任意实数的平方是非负的性质，即$(m+n)^2≥0$和$(m-n)^2≥0$，将两个完全平方展开后，把已知条件$m^2+n^2=2+mn$代入展开式，即可得到关于$mn$的不等式，解不等式就能得到$mn$的取值范围。
再解决第二问求代数式的最大值：先利用完全平方公式、平方差公式将待求代数式展开、合并同类项化简，再把已知的$m^2+n^2=2+mn$代入化简后的式子，将式子转化为仅和$mn$相关的表达式，最后结合第一问得到的$mn$的取值范围，即可求出最大值。
【解析】
第一步：求$mn$的取值范围
对任意实数$m,n$，完全平方具有非负性：
1. 由$(m-n)^2≥0$展开得：$m^2-2mn+n^2≥0$
将$m^2+n^2=2+mn$代入上式：
$2+mn-2mn≥0$，即$2-mn≥0$，解得$mn≤2$。
2. 由$(m+n)^2≥0$展开得：$m^2+2mn+n^2≥0$
将$m^2+n^2=2+mn$代入上式：
$2+mn+2mn≥0$，即$2+3mn≥0$，解得$mn≥-\frac{2}{3}$。
综上，$mn$的取值范围是$-\frac{2}{3}≤ mn≤2$。
第二步：求代数式的最大值
先化简$(2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)$：
1. 用完全平方公式展开$(2m-3n)^2$：$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$
2. 用平方差公式展开$(m+2n)(m-2n)$：$(m+2n)(m-2n)=m^2-4n^2$
3. 合并同类项：
原式$=4m^2-12mn+9n^2+m^2-4n^2=5m^2+5n^2-12mn$
将$m^2+n^2=2+mn$代入得：
原式$=5(2+mn)-12mn=10+5mn-12mn=10-7mn$
要使$10-7mn$取最大值，需$mn$取最小值（因为$-7$是负数，$mn$越小，$-7mn$越大），结合$mn$的取值范围，$mn$的最小值为$-\frac{2}{3}$，代入得：
最大值$=10-7×(-\frac{2}{3})=10+\frac{14}{3}=\frac{44}{3}$。
【答案】
$-\frac{2}{3}≤ mn≤2$；$\frac{44}{3}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方差公式
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活变形与应用，解题核心是通过完全平方的非负性确定$mn$的取值范围，再将待求式化简后代入计算，要求学生熟练掌握乘法公式的展开、合并技巧，以及利用取值范围求最值的思路。
【难度系数】
0.6