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11.计算.
(1) $(\dfrac{1}{3}xy)^2 · (-12x^2y^2) ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)$.
(2) $(18a^2b - 9ab + 3b^2a^2) ÷ (-3ab)$.
(1) $(\dfrac{1}{3}xy)^2 · (-12x^2y^2) ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)$.
(2) $(18a^2b - 9ab + 3b^2a^2) ÷ (-3ab)$.
答案
(1)原式$=\dfrac{1}{9}x^2y^2 · (-12x^2y^2) ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)= -\dfrac{4}{3}x^4y^4 ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)=xy^3$.
(2)原式$=18a^2b ÷ (-3ab)-9ab ÷ (-3ab)+3b^2a^2 ÷ (-3ab)= -6a+3-ab$.
(2)原式$=18a^2b ÷ (-3ab)-9ab ÷ (-3ab)+3b^2a^2 ÷ (-3ab)= -6a+3-ab$.
解析
【分析】
(1) 第一小题按照整式运算顺序，先算乘方，利用积的乘方法则计算$(\frac{1}{3}xy)^2$，再按从左到右的顺序依次做单项式乘法、除法运算，运算时系数、同底数幂分别计算，注意负号的运算规则。
(2) 第二小题是多项式除以单项式运算，依据法则将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意每一项的符号，避免漏项。
【解析】
(1) 先计算乘方：
原式$=\dfrac{1}{9}x^2y^2 · (-12x^2y^2) ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)$
再计算单项式乘法，系数相乘、同底数幂指数相加：
$= -\dfrac{4}{3}x^4y^4 ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)$
最后计算单项式除法，系数相除、同底数幂指数相减：
$=xy^3$
(2) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=18a^2b ÷ (-3ab)-9ab ÷ (-3ab)+3a^2b^2 ÷ (-3ab)$
分别计算每一项的商：
$= -6a+3-ab$
【答案】
(1) $xy^3$；(2) $-6a + 3 - ab$
【知识点】
整式的乘除运算、积的乘方、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘除的相关运算法则，解题时要严格遵循运算顺序，多项式除以单项式时注意不要漏项、不要弄错每一项的符号，熟练掌握运算法则是准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小题按照整式运算顺序，先算乘方，利用积的乘方法则计算$(\frac{1}{3}xy)^2$，再按从左到右的顺序依次做单项式乘法、除法运算，运算时系数、同底数幂分别计算，注意负号的运算规则。
(2) 第二小题是多项式除以单项式运算，依据法则将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意每一项的符号，避免漏项。
【解析】
(1) 先计算乘方：
原式$=\dfrac{1}{9}x^2y^2 · (-12x^2y^2) ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)$
再计算单项式乘法，系数相乘、同底数幂指数相加：
$= -\dfrac{4}{3}x^4y^4 ÷ (-\dfrac{4}{3}x^3y)$
最后计算单项式除法，系数相除、同底数幂指数相减：
$=xy^3$
(2) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=18a^2b ÷ (-3ab)-9ab ÷ (-3ab)+3a^2b^2 ÷ (-3ab)$
分别计算每一项的商：
$= -6a+3-ab$
【答案】
(1) $xy^3$；(2) $-6a + 3 - ab$
【知识点】
整式的乘除运算、积的乘方、多项式除以单项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘除的相关运算法则，解题时要严格遵循运算顺序，多项式除以单项式时注意不要漏项、不要弄错每一项的符号，熟练掌握运算法则是准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.认真阅读下面材料,回答问题.
例:已知 $3^n = 59049$,求 $3^{n-2}$ 的值.
解:$\because 3^n = 59049,\therefore 3^{n-2} = 3^n ÷ 3^2 = 59049 ÷ 9 = 6561$.
(1)若 $9^n = 729$,求 $3^{2n-2}$ 的值.
(2)若 $3^x = 27$,求 $3^{2x+3}$ 的值.
例:已知 $3^n = 59049$,求 $3^{n-2}$ 的值.
解:$\because 3^n = 59049,\therefore 3^{n-2} = 3^n ÷ 3^2 = 59049 ÷ 9 = 6561$.
(1)若 $9^n = 729$,求 $3^{2n-2}$ 的值.
(2)若 $3^x = 27$,求 $3^{2x+3}$ 的值.
答案
(1)$∵9^n=729,∴3^{2n}=729$.
$∴3^{2n-2}=3^{2n}÷3^2=729÷9=81$.
(2)$∵3^x=27,∴3^{2x+3}=(3^x)^2×3^3=27^2×27=19\ 683$.
$∴3^{2n-2}=3^{2n}÷3^2=729÷9=81$.
(2)$∵3^x=27,∴3^{2x+3}=(3^x)^2×3^3=27^2×27=19\ 683$.
解析
【分析】
本题两道小题均考查幂的运算性质的逆用，解题核心是将待求式变形为含有已知条件中式子的形式，再代入求值。
对于(1)：首先观察到9是3的平方，因此$9^n$可以转化为$3^{2n}$，和待求式$3^{2n-2}$的底数一致；再根据同底数幂除法的逆运算$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，将$3^{2n-2}$拆分为$3^{2n}÷3^2$，最后代入已知值计算即可。
对于(2)：根据同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m· a^n$，以及幂的乘方的逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，将待求式$3^{2x+3}$变形为$(3^x)^2·3^3$，再代入已知的$3^x$的值计算即可。
【解析】
(1) 先将已知条件转化为底数为3的幂：
$\because 9^n=(3^2)^n=3^{2n}=729$，
根据同底数幂除法的逆运算可得：
$3^{2n-2}=3^{2n}÷3^2=729÷9=81$。
(2) 先对待求式利用幂的运算性质逆用变形：
$3^{2x+3}=3^{2x}·3^3=(3^x)^2·3^3$，
把$3^x=27$代入上式计算：
原式$=27^2×27=729×27=19683$。
【答案】
(1) $\boxed{81}$；(2) $\boxed{19683}$
【知识点】
同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握幂的各类运算性质，能灵活对运算性质进行逆用，将待求式转化为含已知式的结构后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
本题两道小题均考查幂的运算性质的逆用，解题核心是将待求式变形为含有已知条件中式子的形式，再代入求值。
对于(1)：首先观察到9是3的平方，因此$9^n$可以转化为$3^{2n}$，和待求式$3^{2n-2}$的底数一致；再根据同底数幂除法的逆运算$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，将$3^{2n-2}$拆分为$3^{2n}÷3^2$，最后代入已知值计算即可。
对于(2)：根据同底数幂乘法的逆运算$a^{m+n}=a^m· a^n$，以及幂的乘方的逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，将待求式$3^{2x+3}$变形为$(3^x)^2·3^3$，再代入已知的$3^x$的值计算即可。
【解析】
(1) 先将已知条件转化为底数为3的幂：
$\because 9^n=(3^2)^n=3^{2n}=729$，
根据同底数幂除法的逆运算可得：
$3^{2n-2}=3^{2n}÷3^2=729÷9=81$。
(2) 先对待求式利用幂的运算性质逆用变形：
$3^{2x+3}=3^{2x}·3^3=(3^x)^2·3^3$，
把$3^x=27$代入上式计算：
原式$=27^2×27=729×27=19683$。
【答案】
(1) $\boxed{81}$；(2) $\boxed{19683}$
【知识点】
同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握幂的各类运算性质，能灵活对运算性质进行逆用，将待求式转化为含已知式的结构后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
13.先阅读下列材料,然后解题.
材料:因为$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$,所以$(x^2+x-6)÷(x-2)=x+3$,即$x^2+x-6$能被$x-2$整除.所以$x-2$是$x^2+x-6$的一个因式,且当$x=2$时,$x^2+x-6=0$.
(1)类比思考$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$,所以$(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$,即$x^2+5x+6$能被________整除,所以________是$x^2+5x+6$的一个因式,且当$x=\_\_\_\_\_\_$时,$x^2+5x+6=0$.
(2)拓展探究:根据以上材料,已知多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除,试求$m$的值.
材料:因为$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$,所以$(x^2+x-6)÷(x-2)=x+3$,即$x^2+x-6$能被$x-2$整除.所以$x-2$是$x^2+x-6$的一个因式,且当$x=2$时,$x^2+x-6=0$.
(1)类比思考$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$,所以$(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$,即$x^2+5x+6$能被________整除,所以________是$x^2+5x+6$的一个因式,且当$x=\_\_\_\_\_\_$时,$x^2+5x+6=0$.
(2)拓展探究:根据以上材料,已知多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除,试求$m$的值.
答案
(1)$∵(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$,
$∴(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$.
$∴x^2+5x+6$能被$x+2$或$x+3$整除.
$∴x+2$或$x+3$是$x^2+5x+6$的一个因式,且当$x=-2$或$-3$时,$x^2+5x+6=0$.
故答案为$x+2$或$x+3$;$x+2$或$x+3$;$-2$或$-3$.
(2)$∵$多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除,
$∴x+2$是$x^2+mx-14$的一个因式.
$∴$当$x=-2$时,$x^2+mx-14=0$,即$4-2m-14=0$.
$∴m=-5$.
$∴(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$.
$∴x^2+5x+6$能被$x+2$或$x+3$整除.
$∴x+2$或$x+3$是$x^2+5x+6$的一个因式,且当$x=-2$或$-3$时,$x^2+5x+6=0$.
故答案为$x+2$或$x+3$;$x+2$或$x+3$;$-2$或$-3$.
(2)$∵$多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除,
$∴x+2$是$x^2+mx-14$的一个因式.
$∴$当$x=-2$时,$x^2+mx-14=0$,即$4-2m-14=0$.
$∴m=-5$.
解析
【分析】
本题为材料类比探究题，解题前先梳理材料给出的核心规律：①若两个整式的乘积等于某多项式，则该多项式可被这两个整式分别整除，这两个整式都是多项式的因式；②若某个一次整式是多项式的因式，则令这个一次整式为0得到的x值代入多项式，多项式的值为0。
(1)小问直接对照给出的乘法等式，类比材料结论填写对应内容即可；
(2)小问利用上述规律，由“多项式能被x+2整除”推导得x=-2时多项式值为0，代入x的值得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m。
【解析】
(1) 已知$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$，因此$(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$，同理$(x^2+5x+6)÷(x+3)=x+2$，所以$x^2+5x+6$能被$x+2$或$x+3$整除；$x+2$或$x+3$是$x^2+5x+6$的一个因式；令因式为0，可得$x+2=0$时$x=-2$，$x+3=0$时$x=-3$，代入多项式验证可得此时$x^2+5x+6=0$。
(2) 因为多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除，所以$x+2$是$x^2+mx-14$的一个因式，根据规律可得：当$x=-2$时，$x^2+mx-14=0$，代入x=-2得：
$\begin{aligned}(-2)^2 + m×(-2) -14 &= 0\\4 -2m -14 &=0\\-2m &=10\\m&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $x+2$或$x+3$；$x+2$或$x+3$；$-2$或$-3$
(2) $m=-5$
【知识点】
整式乘除互逆；因式的概念；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础的材料阅读应用题，重点考查规律迁移应用能力，解题核心是理解“一次因式为0时对应多项式值为0”的性质，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题为材料类比探究题，解题前先梳理材料给出的核心规律：①若两个整式的乘积等于某多项式，则该多项式可被这两个整式分别整除，这两个整式都是多项式的因式；②若某个一次整式是多项式的因式，则令这个一次整式为0得到的x值代入多项式，多项式的值为0。
(1)小问直接对照给出的乘法等式，类比材料结论填写对应内容即可；
(2)小问利用上述规律，由“多项式能被x+2整除”推导得x=-2时多项式值为0，代入x的值得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m。
【解析】
(1) 已知$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$，因此$(x^2+5x+6)÷(x+2)=x+3$，同理$(x^2+5x+6)÷(x+3)=x+2$，所以$x^2+5x+6$能被$x+2$或$x+3$整除；$x+2$或$x+3$是$x^2+5x+6$的一个因式；令因式为0，可得$x+2=0$时$x=-2$，$x+3=0$时$x=-3$，代入多项式验证可得此时$x^2+5x+6=0$。
(2) 因为多项式$x^2+mx-14$能被$x+2$整除，所以$x+2$是$x^2+mx-14$的一个因式，根据规律可得：当$x=-2$时，$x^2+mx-14=0$，代入x=-2得：
$\begin{aligned}(-2)^2 + m×(-2) -14 &= 0\\4 -2m -14 &=0\\-2m &=10\\m&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $x+2$或$x+3$；$x+2$或$x+3$；$-2$或$-3$
(2) $m=-5$
【知识点】
整式乘除互逆；因式的概念；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础的材料阅读应用题，重点考查规律迁移应用能力，解题核心是理解“一次因式为0时对应多项式值为0”的性质，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
