1. 如图①，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地的地球半径垂直。

如图②，日晷所处纬度α为$39.8°$，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为$60°$，则太阳光和该晷面所夹锐角度数为。

1. 9.8° 解析:如图,晷面OA与太阳光MC交于点A,延长FC交AO于E,日晷底座为DC,点N在OA的延长线上.由题意得∠ACD=60°,∠α=39.8°,
∵晷面与赤道平行,
∴∠AEC=180°-∠α=140.2°.
∵日晷底座与日晷所处地的地球半径垂直,
∴∠ECD=∠DCF=90°,
∴∠ACE=∠ECD-∠ACD=30°,
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=9.8°,
∴∠MAN=∠EAC=9.8°,即太阳光与该晷面所夹锐角度数为9.8°.

2. (2025·上海模拟)如图,一种遮阳伞的截面由主伞骨OA和OB、支伞骨CM和DM以及伞柄OH组成,伞柄OH(OH＞OA)垂直于地面且平分∠AOB,OA=OB=l cm,OC=OD=$\frac{1}{5}OA$,OH=h cm.使用遮阳伞时,可以通过调节点M在伞柄OH上的位置来确定∠AOB的大小.当C,M,D三点在同一直线上时,遮阳伞完全打开,此时∠AOB达到最大为150°.(参考数据:$\sin75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,$\cos75°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,$\tan75°=2+\sqrt{3}$,计算结果保留根号)
(1)当OA=OB=120 cm时,
①在遮阳伞完全打开时,求A,B之间的距离.
②在伞打开的过程中(∠AOB从0°变到150°),点M上升了cm.
(2)设∠AOB的度数为2α(0°＜α＜75°),在平行的太阳光照射下,遮阳伞能遮住的地面EF的长为cm(用式子表示);如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长,你的建议是.

2. (1)① 如图,连接AB,由题意得CD//AB,
∵OA=OB=120 cm,OC=OD=$\frac{1}{5}OA$,
∴OC=OD=24 cm.
∵∠AOB=150°,
∴∠AOM=75°,
∴CM=OCsin∠AOM=24×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=(6√6+6√2)cm,
∴CD=2CM=(12√6+12√2)cm.
∵CD//AB,
∴△COD∽△AOB,
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}$,
∴$\frac{1}{5}=\frac{12\sqrt{6}+12\sqrt{2}}{AB}$,
∴AB=(60√6+60√2)cm,即A,B之间的距离为(60√6+60√2)cm.
② 24+12√2 解析:当∠AOB=0°时,OM₁=OC+CM=(24+6√6+6√2)cm,当∠AOB=150°时,OM₂=OC·cos∠AOM=24×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=(6√6-6√2)cm,
∴上升的高度为OM₁-OM₂=(24+12√2)cm.
(2) 2lsin α 增大主伞骨OA的长度(合理即可) 解析:如图,连接AB,遮阳伞完全打开时,CD//AB,
∵AB//EF,AE//BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴EF=AB.
∵OA=OB=l cm,OC=OD=$\frac{1}{5}OA$,
∴OC=OD=$\frac{1}{5}l$ cm.
∵∠AOB=2α,
∴∠AOM=α,
∴CM=OC·sin∠AOM=$\frac{1}{5}l×\sin α$=$\frac{1}{5}l\sin α$(cm),
∴CD=2CM=$\frac{2}{5}l\sin α$(cm).
∵CD//AB,
∴△COD∽△AOB,
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}$,
∴$\frac{1}{5}=\frac{\frac{2}{5}l\sin α}{AB}$,
∴AB=2lsin α cm,
∴EF=AB=2lsin α cm,如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长,建议可以是增大主伞骨OA的长度.