1. 如图,若$∠1 = ∠2 = ∠B$,则$△ACD∽△$, $△CDE∽△$, $△AED∽△$.

1. ADE,BCD,ACB

2. 如图,在$△ABC$中,点$D$在$AB$边上,点$E$在$AC$边上,且$∠1 = ∠2 = ∠3$,则与$△ADE$相似的三角形有()

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

2. C

证明：
∵∠1=∠3，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD（AA）．
∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC（AA）．
综上，与△ADE相似的三角形有2个．
答案：C

3. 如图,$D,E$分别是$△ABC$的边$AB,AC$上的点,$∠ADE = ∠ACB$.若$AD = 2,AB = 6,AC = 4$,则$AE$的长是()

A.1
B.2
C.3
D.4

3. C

证明：在$△ ADE$和$△ ACB$中，
$\because ∠ ADE = ∠ ACB$，$∠ A = ∠ A$，
$\therefore △ ADE ∼ △ ACB$，
$\therefore \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$，
$\because AD = 2$，$AB = 6$，$AC = 4$，
$\therefore \dfrac{2}{4} = \dfrac{AE}{6}$，
解得$AE = 3$。
C

4. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ},AB = AC$,点$D$是$BC$边上一点,过点$D$作$∠ADE = 45^{\circ},DE$交$AC$于点$E$.求证:$△ABD∽△DCE$.

证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=∠C=45°．
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD．
又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠ADE=45°，
∴∠ADC=45°+∠CDE．
∴45°+∠BAD=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE．
在△ABD和△DCE中，
∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）．

5. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 2,BC = 3,M$是$BC$的中点,$DE⊥AM$于点$E$,求$DE$的长.

5. $\frac{12}{5}$

解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB=CD=2$，$BC=AD=3$，$∠ B=90°$。
∵ $M$ 是 $BC$ 中点，
∴ $BM=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$。
在 $Rt△ ABM$ 中，$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{5}{2}$。
∵ $DE ⊥ AM$，
∴ $S_{△ ADM}=\frac{1}{2}AM · DE$。
又 $S_{△ ADM}=\frac{1}{2}AD · AB=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$，
∴ $\frac{1}{2} × \frac{5}{2} · DE=3$，
解得 $DE=\frac{12}{5}$。
$\frac{12}{5}$

6. 如图,$CE$是$Rt△ABC$的斜边$AB$上的高,$P$为$CE$的延长线上一点,连接$AP,BG⊥AP$.求证:$CE^{2} = ED· EP$.

∵CE是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠AEC=∠CEB=90°，∠ACB=90°，
∵∠A+∠ACE=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴△AEC∽△CEB（AA），
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{EB}$，即$CE^2=AE·EB$。
∵BG⊥AP，∴∠AGB=90°，
∴∠GAB+∠ABG=90°，
∵PE⊥AB（CE延长线），∴∠AEP=90°，
∴∠GAB+∠P=90°，
∴∠ABG=∠P（同角的余角相等）。
∵∠BED=∠AEP=90°，∠ABG=∠P，
∴△BDE∽△PAE（AA），
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{DE}{AE}$，即$AE·EB=ED·EP$。
综上，$CE^2=ED·EP$。