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7. 在$△ ABC$中，BD 平分$∠ABC$，交 AC 于点 D，点 E 是边 AB 上的一点，连接 DE，$BD^2 = BC·BE$.求证：$△ BCD∽△ BDE$.
答案
证明：
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ BD² = BC·BE，
∴ $\frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BD}$。
在△BCD 和△BDE 中，
$\begin{cases} \frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BD} \\∠CBD = ∠EBD \end{cases}$
∴ △BCD∽△BDE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ BD² = BC·BE，
∴ $\frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BD}$。
在△BCD 和△BDE 中，
$\begin{cases} \frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BD} \\∠CBD = ∠EBD \end{cases}$
∴ △BCD∽△BDE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
8. 如图，点 C，D 在线段 AB 上，且$△ PCD$是等边三角形.
（1）当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，$△ ACP∽△ PDB$？
（2）当$△ ACP∽△ PDB$时，求$∠APB$的度数.
（1）当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，$△ ACP∽△ PDB$？
（2）当$△ ACP∽△ PDB$时，求$∠APB$的度数.
答案
8. (1)当 $CD^{2} = AC· DB$ 时，$△ ACP ∽ △ PDB$ (2) $∠ APB = 120^{\circ}$
解析
（1）解：因为△PCD是等边三角形，所以PC=CD=PD，∠PCD=∠PDC=60°，则∠ACP=∠PDB=120°。若△ACP∽△PDB，则$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{DB}$，又因为PC=PD=CD，所以$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{DB}$，即$CD^{2}=AC·DB$。
（2）解：因为△ACP∽△PDB，所以∠APC=∠PBD。又因为∠PDB=120°，所以∠DPB+∠PBD=60°，则∠APC+∠DPB=60°，所以∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=60°+60°=120°。
（2）解：因为△ACP∽△PDB，所以∠APC=∠PBD。又因为∠PDB=120°，所以∠DPB+∠PBD=60°，则∠APC+∠DPB=60°，所以∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=60°+60°=120°。
9. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，AC = 6 cm，BC = 8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以 5 cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以 4 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t s（0 ＜ t ＜ 2），连接 PQ.若以 B，P，Q 为顶点的三角形与$△ ABC$相似，求 t 的值.
答案
9. $t = 1$ 或 $\frac{32}{41}$
解析
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$。
由题意，$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，则$BQ=BC-CQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$，且$0＜t＜2$。
分两种情况讨论：
情况1：当$△ BPQ ∼ △ BAC$时
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$
解得$t=1$。
情况2：当$△ BPQ ∼ △ BCA$时
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$
解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t=1$或$\frac{32}{41}$。
由题意，$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$CQ=4t\ \mathrm{cm}$，则$BQ=BC-CQ=(8-4t)\ \mathrm{cm}$，且$0＜t＜2$。
分两种情况讨论：
情况1：当$△ BPQ ∼ △ BAC$时
$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$
解得$t=1$。
情况2：当$△ BPQ ∼ △ BCA$时
$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$
解得$t=\frac{32}{41}$。
综上，$t=1$或$\frac{32}{41}$。
10. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD，CD 上的点，AE = ED，DF = $\frac{1}{4}$DC，连接 EF 并延长，交 BC 的延长线于点 G，连接 BE.
（1）求证：$△ ABE∽△ DEF$；
（2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长.
（1）求证：$△ ABE∽△ DEF$；
（2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长.
答案
10. (1)证明略 (2) $BG = 10$
解析
（1）证明：设正方形$ABCD$的边长为$a$，则$AB = AD = CD = a$。
因为$AE = ED$，所以$AE = ED=\frac{a}{2}$。
因为$DF=\frac{1}{4}DC$，所以$DF=\frac{a}{4}$，$CF = CD - DF=a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$。
在$△ ABE$和$△ DEF$中，$∠ A=∠ D = 90°$，$\frac{AB}{DE}=\frac{a}{\frac{a}{2}} = 2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{4}}=2$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，因此$△ ABE∼△ DEF$。
（2）解：因为正方形边长为$4$，所以$AD// BG$，$ED = 2$，$DF = 1$，$CF=3$。
因为$AD// BG$，所以$△ EDF∼△ GCF$，则$\frac{ED}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG = 6$。
所以$BG=BC + CG=4 + 6=10$。
因为$AE = ED$，所以$AE = ED=\frac{a}{2}$。
因为$DF=\frac{1}{4}DC$，所以$DF=\frac{a}{4}$，$CF = CD - DF=a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$。
在$△ ABE$和$△ DEF$中，$∠ A=∠ D = 90°$，$\frac{AB}{DE}=\frac{a}{\frac{a}{2}} = 2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{4}}=2$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，因此$△ ABE∼△ DEF$。
（2）解：因为正方形边长为$4$，所以$AD// BG$，$ED = 2$，$DF = 1$，$CF=3$。
因为$AD// BG$，所以$△ EDF∼△ GCF$，则$\frac{ED}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG = 6$。
所以$BG=BC + CG=4 + 6=10$。
