7. 如图,在$⊙O$中,$AB = AC$,若$AC = 12,AE = 8$,求$AD$的长.

7. 18

证明：连接$BD$。
因为$AB = AC$，所以$∠ ABC = ∠ ACB$。
又因为$∠ ADB = ∠ ACB$（同弧所对的圆周角相等），所以$∠ ADB = ∠ ABC$。
因为$∠ BAD = ∠ BAE$，所以$△ ABD ∼ △ AEB$。
所以$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AE}$。
因为$AB = AC = 12$，$AE = 8$，所以$\frac{AD}{12} = \frac{12}{8}$，解得$AD = 18$。
18

8. 如图①,点$P$是菱形$ABCD$的对角线$BD$上一点,连接$CP$并延长,交$AD$于点$E$,交$BA$的延长线于点$F$.
(1)求证:$PE· PF = PC^{2}$;
(2)如图②,连接$AC$交$BD$于点$O$,连接$OE$,若$CE⊥BC$,求证:$△POC∽△AEC$.

(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，AB//CD，AD=CD，∠ADP=∠CDP。
∵AD//BC，∴∠PED=∠PCB，∠PDE=∠PBC，∴△DPE∽△BPC，∴$\frac{PE}{PC}=\frac{PD}{PB}$。
∵AB//CD，∴∠PCD=∠PFB，∠PDC=∠PBF，∴△DPC∽△BPF，∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PD}{PB}$。
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{PC}{PF}$，∴$PE·PF=PC^2$。
(2) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，即∠POC=90°。
∵CE⊥BC，∴∠BCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=90°。
∵AC⊥BD，∴∠OCP+∠OPC=90°。
∵AD//BC，∴∠AEC=∠BCE=90°（两直线平行，内错角相等），即∠AEC=∠POC=90°。
∵∠ACB=∠ACD=∠OCP，∴∠OCP=∠ACE。
∴△POC∽△AEC（AA）。

9. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,以$AC$为直径的$⊙O$交$AB$于点$D$,过点$D$作$⊙O$的切线交$BC$于点$E$,连接$OE$.
(1)求证:$△DBE$是等腰三角形;
(2)求证:$△COE∽△CAB$.

9. 证明:(1)连接 OD. $\because DE$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore ∠ ODE = 90^{\circ}$, $\therefore ∠ ADO + ∠ BDE = 90^{\circ}$.
$\because ∠ ACB = 90^{\circ}$, $\therefore ∠ CAB + ∠ CBA = 90^{\circ}$. $\because OA = OD$, $\therefore ∠ CAB = ∠ ADO$, $\therefore ∠ BDE = ∠ CBA$,
$\therefore EB = ED$, $\therefore △ DBE$ 是等腰三角形.
(2) $\because ∠ ACB = 90^{\circ}$, $AC$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore CB$ 是 $\odot O$ 的切线. $\because DE$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore DE = EC$.
$\because EB = ED$, $\therefore EC = EB$. $\because OA = OC$, $\therefore OE // AB$, $\therefore △ COE ∽ △ CAB$.