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1. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，对应高$AD$和$A'D'$的长分别为$3\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ABC} + S_{△ A'B'C'} = 75\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ ABC} =$
$ 27\mathrm{cm}^{2} $
.答案
1. $ 27\mathrm{cm}^{2} $
解析
解：因为$△ABC∽△A'B'C'$，对应高$AD$和$A'D'$的长分别为$3\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$，所以相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{4}$。
相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$。
设$S_{△ABC}=9k\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△A'B'C'}=16k\ \mathrm{cm}^2$。
已知$S_{△ABC}+S_{△A'B'C'}=75\ \mathrm{cm}^2$，可得$9k + 16k=75$，$25k=75$，解得$k=3$。
所以$S_{△ABC}=9k=9×3=27\ \mathrm{cm}^2$。
$27\mathrm{cm}^{2}$
相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$。
设$S_{△ABC}=9k\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△A'B'C'}=16k\ \mathrm{cm}^2$。
已知$S_{△ABC}+S_{△A'B'C'}=75\ \mathrm{cm}^2$，可得$9k + 16k=75$，$25k=75$，解得$k=3$。
所以$S_{△ABC}=9k=9×3=27\ \mathrm{cm}^2$。
$27\mathrm{cm}^{2}$
2. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD // BC$，$∠ B = ∠ ACD = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$DC = 3$，则$△ ABC$与$△ DCA$的面积比为
$ 4:9 $
.答案
2. $ 4:9 $
解析
解：
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ ACB = ∠ CAD$。
∵ $∠ B = ∠ ACD = 90°$，
∴ $△ ABC ∼ △ DCA$。
在 $△ ABC$ 和 $△ DCA$ 中，$AB = 2$，$DC = 3$，
相似比为 $\frac{AB}{DC} = \frac{2}{3}$。
面积比为相似比的平方，即 $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$。
故 $△ ABC$ 与 $△ DCA$ 的面积比为 $4:9$。
$4:9$
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ ACB = ∠ CAD$。
∵ $∠ B = ∠ ACD = 90°$，
∴ $△ ABC ∼ △ DCA$。
在 $△ ABC$ 和 $△ DCA$ 中，$AB = 2$，$DC = 3$，
相似比为 $\frac{AB}{DC} = \frac{2}{3}$。
面积比为相似比的平方，即 $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$。
故 $△ ABC$ 与 $△ DCA$ 的面积比为 $4:9$。
$4:9$
3. 如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射到桌面后在地面上形成阴影的示意图.已知桌面直径为$2\ \mathrm{m}$，桌面离地面$1\ \mathrm{m}$.若灯泡离地面$3\ \mathrm{m}$，则地面上阴影部分的面积为(
A.$0.36π\ \mathrm{m}^2$
B.$2.25π\ \mathrm{m}^2$
C.$2π\ \mathrm{m}^2$
D.$3.24π\ \mathrm{m}^2$
B
)A.$0.36π\ \mathrm{m}^2$
B.$2.25π\ \mathrm{m}^2$
C.$2π\ \mathrm{m}^2$
D.$3.24π\ \mathrm{m}^2$
答案
3. B
解析
解：设灯泡为点$O$，桌面圆心为$A$，地面阴影圆心为$B$，桌面半径为$r$，阴影半径为$R$。
桌面直径为$2\ \mathrm{m}$，则$r = \frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$。
灯泡离地面$3\ \mathrm{m}$，桌面离地面$1\ \mathrm{m}$，则灯泡离桌面距离为$3 - 1=2\ \mathrm{m}$。
由相似三角形性质，$\frac{r}{R}=\frac{2}{3}$，即$\frac{1}{R}=\frac{2}{3}$，解得$R = \frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
阴影面积$S=π R^2=π (\frac{3}{2})^2 = 2.25π\ \mathrm{m}^2$。
答案：B
桌面直径为$2\ \mathrm{m}$，则$r = \frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$。
灯泡离地面$3\ \mathrm{m}$，桌面离地面$1\ \mathrm{m}$，则灯泡离桌面距离为$3 - 1=2\ \mathrm{m}$。
由相似三角形性质，$\frac{r}{R}=\frac{2}{3}$，即$\frac{1}{R}=\frac{2}{3}$，解得$R = \frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
阴影面积$S=π R^2=π (\frac{3}{2})^2 = 2.25π\ \mathrm{m}^2$。
答案：B
4. 如图，已知$EF // BC$，$S_{△ AEF} = 18\ \mathrm{cm}^2$，$S_{\mathrm{梯形}EBCF} = 80\ \mathrm{cm}^2$，则$AE : EB$的值为
$ \dfrac{3}{4} $
.答案
4. $ \dfrac{3}{4} $
解析
解：因为 $EF // BC$，所以 $△ AEF ∼ △ ABC$。
$S_{△ ABC} = S_{△ AEF} + S_{\mathrm{梯形}EBCF} = 18 + 80 = 98\ \mathrm{cm}^2$。
相似三角形面积比等于相似比的平方，设 $AE:AB = k$，则 $\dfrac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}} = k^2$，即 $\dfrac{18}{98} = k^2$，解得 $k = \dfrac{3}{7}$（负值舍去）。
所以 $AE:AB = 3:7$，则 $AE:EB = 3:(7 - 3) = 3:4$，即 $AE:EB = \dfrac{3}{4}$。
$\dfrac{3}{4}$
$S_{△ ABC} = S_{△ AEF} + S_{\mathrm{梯形}EBCF} = 18 + 80 = 98\ \mathrm{cm}^2$。
相似三角形面积比等于相似比的平方，设 $AE:AB = k$，则 $\dfrac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}} = k^2$，即 $\dfrac{18}{98} = k^2$，解得 $k = \dfrac{3}{7}$（负值舍去）。
所以 $AE:AB = 3:7$，则 $AE:EB = 3:(7 - 3) = 3:4$，即 $AE:EB = \dfrac{3}{4}$。
$\dfrac{3}{4}$
5. 如图，在$△ ABC$中，$DE // FG // BC$，且$AD = DF = FB$，则$S_{△ ADE} : S_{\mathrm{四边形}DEGF} : S_{\mathrm{四边形}FGCB} =$
$ 1:3:5 $
.答案
5. $ 1:3:5 $
解析
证明：因为 $DE // FG // BC$，所以 $△ ADE ∼ △ AFG ∼ △ ABC$。
由于 $AD = DF = FB$，设 $AD = k$，则 $DF = FB = k$，所以 $AF = AD + DF = 2k$，$AB = AD + DF + FB = 3k$。
因此，$\frac{AD}{AF} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AB} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE} : S_{△ AFG} = (\frac{1}{2})^2 = 1:4$，
$S_{△ ADE} : S_{△ ABC} = (\frac{1}{3})^2 = 1:9$。
设 $S_{△ ADE} = m$，则 $S_{△ AFG} = 4m$，$S_{△ ABC} = 9m$。
所以，$S_{\mathrm{四边形}DEGF} = S_{△ AFG} - S_{△ ADE} = 4m - m = 3m$，
$S_{\mathrm{四边形}FGCB} = S_{△ ABC} - S_{△ AFG} = 9m - 4m = 5m$。
故 $S_{△ ADE} : S_{\mathrm{四边形}DEGF} : S_{\mathrm{四边形}FGCB} = m : 3m : 5m = 1:3:5$。
答案：$1:3:5$
由于 $AD = DF = FB$，设 $AD = k$，则 $DF = FB = k$，所以 $AF = AD + DF = 2k$，$AB = AD + DF + FB = 3k$。
因此，$\frac{AD}{AF} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AB} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE} : S_{△ AFG} = (\frac{1}{2})^2 = 1:4$，
$S_{△ ADE} : S_{△ ABC} = (\frac{1}{3})^2 = 1:9$。
设 $S_{△ ADE} = m$，则 $S_{△ AFG} = 4m$，$S_{△ ABC} = 9m$。
所以，$S_{\mathrm{四边形}DEGF} = S_{△ AFG} - S_{△ ADE} = 4m - m = 3m$，
$S_{\mathrm{四边形}FGCB} = S_{△ ABC} - S_{△ AFG} = 9m - 4m = 5m$。
故 $S_{△ ADE} : S_{\mathrm{四边形}DEGF} : S_{\mathrm{四边形}FGCB} = m : 3m : 5m = 1:3:5$。
答案：$1:3:5$
6. 已知两个相似多边形的相似比为$\dfrac{2}{5}$，它们的周长之差为$30\ \mathrm{cm}$.求这两个多边形的周长.
答案
6. $ 20\mathrm{cm},50\mathrm{cm} $
解析
解：设这两个相似多边形的周长分别为$2k\ \mathrm{cm}$和$5k\ \mathrm{cm}$。
因为相似多边形的周长比等于相似比，已知相似比为$\dfrac{2}{5}$，所以周长比也为$\dfrac{2}{5}$。
它们的周长之差为$30\ \mathrm{cm}$，则$5k - 2k = 30$，
$3k = 30$，
解得$k = 10$。
所以$2k = 2×10 = 20$，$5k = 5×10 = 50$。
这两个多边形的周长分别为$20\ \mathrm{cm}$和$50\ \mathrm{cm}$。
因为相似多边形的周长比等于相似比，已知相似比为$\dfrac{2}{5}$，所以周长比也为$\dfrac{2}{5}$。
它们的周长之差为$30\ \mathrm{cm}$，则$5k - 2k = 30$，
$3k = 30$，
解得$k = 10$。
所以$2k = 2×10 = 20$，$5k = 5×10 = 50$。
这两个多边形的周长分别为$20\ \mathrm{cm}$和$50\ \mathrm{cm}$。
7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，延长$AD$至点$E$，使$DE = \dfrac{1}{2}AD$，连接$BE$交$CD$于点$F$.
(1) 求证：$△ ABE ∽ △ CFB$；
(2) 若$CF = 2$，求$AB$的长.
(1) 求证：$△ ABE ∽ △ CFB$；
(2) 若$CF = 2$，求$AB$的长.
答案
7. (1)略 (2)3
解析
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$AB = CD$，$AD = BC$。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ ABE = ∠ CFB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ E = ∠ CBF$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $△ ABE ∼ △ CFB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
设 $AD = 2x$，则 $DE = \dfrac{1}{2}AD = x$，$AE = AD + DE = 3x$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BC = AD = 2x$。
∵ $△ ABE ∼ △ CFB$，
∴ $\dfrac{AE}{CB} = \dfrac{AB}{CF}$。
∵ $CF = 2$，
∴ $\dfrac{3x}{2x} = \dfrac{AB}{2}$，
解得 $AB = 3$。
答案：(2) $3$
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$AD // BC$，$AB = CD$，$AD = BC$。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ ABE = ∠ CFB$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ E = ∠ CBF$（两直线平行，内错角相等）。
∴ $△ ABE ∼ △ CFB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
设 $AD = 2x$，则 $DE = \dfrac{1}{2}AD = x$，$AE = AD + DE = 3x$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $BC = AD = 2x$。
∵ $△ ABE ∼ △ CFB$，
∴ $\dfrac{AE}{CB} = \dfrac{AB}{CF}$。
∵ $CF = 2$，
∴ $\dfrac{3x}{2x} = \dfrac{AB}{2}$，
解得 $AB = 3$。
答案：(2) $3$
