1.如图,把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,$∠EFG=50^{\circ }$,求$∠DEG$和$∠BGM$的大小.

∵ AD // BC, ∠EFG = 50°,
∴ ∠DEF = ∠EFG = 50°, 由折叠的性质可知, ∠FEG = ∠DEF = 50°,
∴ ∠DEG = 100°,
∴ ∠EGC = 180°−100°=80°,则∠BGM=∠EGC=80°.

2.如图，$AB// CD$，$BE$ 和 $DF$ 相交于点 $E$.
(1)若$∠ B=110°$，$∠ D=145°$，求$∠ BEF$ 的度数；
(2)猜想$∠ B$，$∠ D$，$∠ BEF$ 之间的数量关系，并说明理由.

(1)如图,过点 E 作 EG // AB,
∵ AB // CD,
∴ EG // CD,
∴ ∠B + ∠BEG = 180°, ∠D + ∠DEG = 180°,
∴ ∠B + ∠BED + ∠D = 360°, 又
∵ ∠B = 110°, ∠D = 145°,
∴ ∠BED = 105°,
∴ ∠BEF = 180°−105° = 75°；
(2)∠B − ∠BEF + ∠D = 180°.由(1)可知∠B + ∠BED + ∠D = 360°, 又
∵ ∠BED = 180°−∠BEF,
∴ ∠B + 180°−∠BEF + ∠D = 360°,
∴ ∠B − ∠BEF + ∠D = 180°.

3.如图，$AD ⊥ BC$ 于点 $D$，$EG ⊥ BC$ 于点 $G$，$∠ E = ∠ 1$，试问：$AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线吗？若是，请说明理由。

AD 是∠BAC 的平分线.理由:
∵ AD ⊥ BC 于点 D, EG ⊥ BC 于点 G,
∴ ∠ADC = ∠EGC = 90°,
∴ AD // EG,
∴ ∠1 = ∠2, ∠E = ∠3.又
∵ ∠E = ∠1,
∴ ∠2 = ∠3,
∴ AD 平分∠BAC.