4.如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ A = ∠ C = 90°$,$BE$,$DF$ 分别是$∠ ABC$,$∠ ADC$ 的平分线.
(1)$∠ 1$ 与$∠ 2$ 有什么数量关系,为什么?
(2)$BE$ 与 $DF$ 有什么位置关系?请说明理由.

(1)∠1+∠2=90°.理由略.
(2)BE // DF.理由: 在△FCD 中,
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠DFC + ∠2 = 90°,
∵ ∠1 + ∠2 = 90°,
∴ ∠1 = ∠DFC,
∴ BE // DF.

5.如图,已知$∠ DAE+∠ CBF=180°$,$CE$平分$∠ BCD$,$∠ BCD=2∠ E$.
(1)求证:$AD// BC$;
(2)$CD$与$EF$平行吗?写出证明过程;
(3)若$DF$平分$∠ ADC$,求证:$CE⊥ DF$.

(1)
∵ ∠DAE + ∠CBF = 180°, ∠DAE + ∠DAB = 180°,
∴ ∠CBF = ∠DAB,
∴ AD // BC.
(2)CD与EF平行.
∵ CE 平分∠BCD,
∴ ∠BCD = 2∠DCE, 又
∵ ∠BCD = 2∠E,
∴ ∠E = ∠DCE,
∴ CD // EF.
(3)
∵ DF 平分∠ADC,
∴ ∠CDF = 1/2 ∠ADC,
∵ ∠BCD = 2∠DCE,
∴ ∠DCE = 1/2 ∠BCD,
∵ AD // BC,
∴ ∠ADC + ∠BCD = 180°,
∴ ∠CDF + ∠DCE = 1/2(∠ADC + ∠DCB) = 90°,
∴ ∠COD = 90°,
∴ CE ⊥ DF.

6.探究:如图 1,已知直线 $ l_{1}// l_{2} $,直线 $ l_{3} $ 和 $ l_{1},l_{2} $ 分别交于点 C 和点 D,直线 $ l_{3} $ 上有一点 P.
(1)若点 P 在点 C,D 之间运动,问$ ∠PAC,∠APB,∠PBD $之间有怎样的关系? 并说明理由;
(2)若点 P 在 C,D 两点的外侧运动(点 P 与点 C,D 不重合),请尝试自己画图,写出$ ∠PAC,∠APB,∠PBD $之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图 2,$ AB// EF,∠C=90° $,我们可以用类似的方法求出$ ∠α,∠β,∠γ $之间的数量关系,请直接写出$ ∠α,∠β,∠γ $之间的关系.

(1)当点 P 在点 C,D 之间运动时, ∠APB = ∠PAC + ∠PBD.理由如下:过点 P 作 PE // l₁,
∵ l₁ // l₂,
∴ PE // l₂ // l₁,
∴ ∠PAC = ∠1, ∠PBD = ∠2,
∴ ∠APB = ∠1 + ∠2 = ∠PAC + ∠PBD.
(2)如图乙,当点 P 在 C,D 两点的外侧运动,且在 l₁ 上方时, ∠PBD = ∠PAC + ∠APB.理由如下:过点 P 作 PM // l₁,
∴ ∠PEC = ∠MPE, ∠MPA = ∠PAC,
∴ ∠MPE = ∠PEC = ∠PAC + ∠APB. 又
∵ l₁ // l₂,
∴ ∠PEC = ∠PBD,
∴ ∠PBD = ∠PAC + ∠APB.
如图丙,当点 P 在 C,D 两点的外侧运动,且在 l₂ 下方时, ∠PAC = ∠PBD + ∠APB.理由如下:过点 P 作 PN // BD, 则∠PED = ∠APN = ∠APB + ∠NPB, 而∠NPB = ∠PBD,
∴ ∠PED = ∠APB + ∠PBD.
∵ l₁ // l₂,
∴ ∠PED = ∠PAC,
∴ ∠PAC = ∠PBD + ∠APB.
(3)∠α + ∠β − ∠γ = 90°.