登录
4.(教材改编题)要制作一个容积为4 m³，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是
160元
.答案
设底面长方形的长、宽分别为$x,y$，则$xy=4$，$S_{侧}=2x+2y=2x+\frac{8}{x}$，所以总造价$z=20xy+10×(2x+\frac{8}{x})=80+20x+\frac{80}{x}\ge80+2\sqrt{20x·\frac{80}{x}}=160$，当且仅当$20x=\frac{80}{x}$，即$x=2$时，等号成立，故该容器的最低总造价是160元。
5.某旅游公司在相距 100 km 的两个景点间开设了一个游船观光项目.已知游船最大速度为 50 km/h,游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比,当游船速度为 20 km/h时,燃料费用为每小时 60 元.其他费用为每小时 240 元,且单程的收入为 6 000 元.
(1)当游船以 30 km/h 的速度航行时,旅游公司单程获得的利润是多少?(利润=收入一成本)
(2)当游船的航速为多少时,旅游公司单程获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)当游船以 30 km/h 的速度航行时,旅游公司单程获得的利润是多少?(利润=收入一成本)
(2)当游船的航速为多少时,旅游公司单程获得的利润最大?最大利润是多少?
答案
设游船的速度为$v$ km/h，旅游公司单程获得的利润为$y$元，游船的燃料费用为每小时$k· v^2$元。
依题意，得$k·20^2=60$，则$k=\frac{3}{20}$，所以$y=6\ 000-(\frac{3}{20}v^2·\frac{100}{v}+240·\frac{100}{v})=6\ 000-15v-\frac{24\ 000}{v}(0＜v\le50)$。
(1)当$v=30$时，$y=4\ 750$，所以当游船以30 km/h的速度航行时，旅游公司单程获得的利润是4 750元。
(2)$y=6\ 000-15v-\frac{24\ 000}{v}\le6\ 000-2\sqrt{15v·\frac{24\ 000}{v}}=4\ 800$，当且仅当$15v=\frac{24\ 000}{v}$，即$v=40$时，等号成立，所以当游船的航速为40 km/h时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是4 800元。
依题意，得$k·20^2=60$，则$k=\frac{3}{20}$，所以$y=6\ 000-(\frac{3}{20}v^2·\frac{100}{v}+240·\frac{100}{v})=6\ 000-15v-\frac{24\ 000}{v}(0＜v\le50)$。
(1)当$v=30$时，$y=4\ 750$，所以当游船以30 km/h的速度航行时，旅游公司单程获得的利润是4 750元。
(2)$y=6\ 000-15v-\frac{24\ 000}{v}\le6\ 000-2\sqrt{15v·\frac{24\ 000}{v}}=4\ 800$，当且仅当$15v=\frac{24\ 000}{v}$，即$v=40$时，等号成立，所以当游船的航速为40 km/h时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是4 800元。
6.中国古代南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长求三角形面积的公式.古希腊数学家海伦也给出了根据三角形的三边求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为$a,b,c$，则三角形的面积$S$可由公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$求得，其中$p$为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足$a=6,b+c=8$，则此三角形面积的最大值为（
A.$3\sqrt{7}$
B.$8$
C.$4\sqrt{7}$
D.$9\sqrt{3}$
A
）A.$3\sqrt{7}$
B.$8$
C.$4\sqrt{7}$
D.$9\sqrt{3}$
答案
由题意，知$p=7$，$S=\sqrt{7(7-a)(7-b)(7-c)}=\sqrt{7(7-b)(7-c)}\le\sqrt{7}×\frac{7-b+7-c}{2}=3\sqrt{7}$，当且仅当$7-b=7-c$，即$b=c=4$时，等号成立，故此三角形面积的最大值为$3\sqrt{7}$。
7.(多选)一个矩形的周长为$l$，面积为$S$，则下列四组数对中，可作为数对$(S,l)$的有 (
A.$(1,4)$
B.$(6,8)$
C.$(7,12)$
D.$(3,\dfrac{1}{2})$
AC
)A.$(1,4)$
B.$(6,8)$
C.$(7,12)$
D.$(3,\dfrac{1}{2})$
答案
设矩形的长和宽分别为$x,y$，则$x+y=\frac{1}{2}l$，$xy=S$。
因为$xy\le\frac{(x+y)^2}{4}$，当且仅当$x=y=\frac{1}{4}l$时，等号成立，所以$S\le\frac{l^2}{16}$，故A,C符合题意。
因为$xy\le\frac{(x+y)^2}{4}$，当且仅当$x=y=\frac{1}{4}l$时，等号成立，所以$S\le\frac{l^2}{16}$，故A,C符合题意。
8.某地计划建造一个室内面积为$1500\ \mathrm{m}^2$的矩形温室大棚,并在温室大棚内建造两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中温室大棚的前、后、左、右内墙各保留1.5 m宽的通道,两养殖池之间保留2 m宽的通道.设温室大棚的一边长为$x\ \mathrm{m}$,如图所示.
(1)将两个养殖池的总面积$y$表示为关于$x$的函数,并写出$x$的取值范围.
(2)当温室大棚的边长$x$取何值时,总面积$y$最大?最大为多少?
(提示:(1)利用矩形温室大棚的边长$x$分别表示出养殖池的长和宽.(2)化简$y$关于$x$的函数解析式,直到出现“和为定值”或“积为定值”)
答案 P17
(1)将两个养殖池的总面积$y$表示为关于$x$的函数,并写出$x$的取值范围.
(2)当温室大棚的边长$x$取何值时,总面积$y$最大?最大为多少?
(提示:(1)利用矩形温室大棚的边长$x$分别表示出养殖池的长和宽.(2)化简$y$关于$x$的函数解析式,直到出现“和为定值”或“积为定值”)
答案 P17
答案
(1)由题意，得温室大棚的另一边长为$\frac{1\ 500}{x}$ m，因此养殖池的总面积$y=(x-3)(\frac{1\ 500}{x}-5)$。因为$x-3＞0$，$\frac{1\ 500}{x}-5＞0$，所以$3＜x＜300$。
(2)$y=(x-3)(\frac{1\ 500}{x}-5)=1\ 515-(\frac{4\ 500}{x}+5x)\le1\ 515-2\sqrt{\frac{4\ 500}{x}·5x}=1\ 515-300=1\ 215$，当且仅当$\frac{4\ 500}{x}=5x$，即$x=30$时，等号成立，所以当温室大棚的边长$x$取30时，总面积$y$最大，最大为$1\ 215\ \mathrm{m}^2$。
(2)$y=(x-3)(\frac{1\ 500}{x}-5)=1\ 515-(\frac{4\ 500}{x}+5x)\le1\ 515-2\sqrt{\frac{4\ 500}{x}·5x}=1\ 515-300=1\ 215$，当且仅当$\frac{4\ 500}{x}=5x$，即$x=30$时，等号成立，所以当温室大棚的边长$x$取30时，总面积$y$最大，最大为$1\ 215\ \mathrm{m}^2$。
