【变式2】如图，矩形$ABCD(AB＞BC)$的周长为24，把它沿$AC$翻折，翻折后$AB'$交$DC$于点$P$，设$AB=x$。
(1)用含$x$的式子表示$DP$的长，并直接写出$x$的取值范围；
(2)用含$x$的式子表示$△ ADP$的面积，并求出$△ ADP$面积的最大值及此时$x$的值。

解:(1)因为矩形$ABCD(AB＞BC)$的周长为24，$AB=x$，所以$AD=12-x$。
由题意，得$AP=PC$，$AB'=CD$，则$DP=PB'$，所以$AP=AB'-PB'=x-DP$。
由$AB＞BC=AD$，得$x＞12-x$，所以$6＜x＜12$。
在$Rt△ADP$中，由勾股定理，得$(12-x)^2+DP^2=(x-DP)^2$，所以$DP=12-\frac{72}{x}(6＜x＜12)$。
(2)由题意，得$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}AD· DP=\frac{1}{2}(12-x)·(12-\frac{72}{x})=108-(6x+\frac{432}{x})(6＜x＜12)$。
由基本不等式，得$6x+\frac{432}{x}\ge2\sqrt{6x·\frac{432}{x}}=72\sqrt{2}$，当且仅当$6x=\frac{432}{x}$，即$x=6\sqrt{2}$时，等号成立，即$S_{△ ADP}=108-(6x+\frac{432}{x})\le108-72\sqrt{2}$，故$△ADP$面积的最大值为$108-72\sqrt{2}$，此时$x$的值为$6\sqrt{2}$。

1.已知某商品每件的成本为8元，每月的销售量$y$(万件)与每件的售价$x$(元)的函数关系近似为$y=\frac{18}{x}-1$。若使每月的净利润最大，则每件商品的售价应定为(注:净利润=销售总额一总成本)（）

A.10元
B.12元
C.15元
D.16元

设每月的净利润为$z$万元。
由题意可得，$z=(x-8)(\frac{18}{x}-1)=-x-\frac{144}{x}+26\le-2\sqrt{x·\frac{144}{x}}+26=2$，(利用基本不等式求最值的关键是满足基本不等式成立的条件，即“一正、二定、三相等”，若不正，则用其相反数)当且仅当$x=\frac{144}{x}$，即$x=12$时，等号成立，即使每月的净利润最大，则每件商品的售价应定为12元。

2.如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是 （）

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.2

设两个正方形的边长分别为$a,b$，则$a+b=1$，$a＞0$，$b＞0$，所以$2\sqrt{ab}\le a+b=1$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时，等号成立，所以$ab\le\frac{1}{4}$，所以$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

3.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加入药品后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为$C=\frac{20t}{t^2+4}$,则经过h后,池水中该药品的浓度达到最大.

$C=\frac{20t}{t^2+4}=\frac{20}{t+\frac{4}{t}}\le\frac{20}{2\sqrt{t·\frac{4}{t}}}=5$，[图1]当且仅当$t=\frac{4}{t}$，即$t=2$时，等号成立，因此经过2 h后，池水中该药品的浓度达到最大。