【变式1】现有一家物流公司计划建造仓库来存储货物，经过市场调查，了解到下列信息：仓库每月土地占地费$ y_1 $（单位：万元）与仓库到车站的距离$ x $（单位：km）之间的关系为$ y_1 = \frac{m}{x+1} (m ≠ 0) $；每月库存货物费$ y_2 $（单位：万元）与$ x $之间的关系为$ y_2 = nx (n ≠ 0) $。若在距离车站11 km处建仓库，则$ y_1 $和$ y_2 $分别为4万元和33万元。
(1)求$ m,n $的值。
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

解:(1)当$ x=11 $时，$ y_1=\frac{m}{11+1}=4 $，$ y_2=11n=33 $，解得$ m=48,n=3 $。
(2)由(1)，得$ y_1=\frac{48}{x+1},y_2=3x $。
设两项费用之和为$ y $，则$ y=y_1+y_2=\frac{48}{x+1}+3x $。因为$ x＞0 $，所以$ x+1＞1 $，则$ y=\frac{48}{x+1}+3x=\frac{48}{x+1}+3(x+1)-3\ge2\sqrt{\frac{48}{x+1}·3(x+1)}-3=21 $，当且仅当$ \frac{48}{x+1}=3(x+1) $，即$ x=3 $时，等号成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站3 km处，才能使两项费用之和最小，最小费用是21万元。

【典例2】如图,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点M在射线AB上,点N在射线AD上,且对角线MN过点C.已知AB=6 m,AD=4 m,设AN的长为$x(x＞4)$m.
(1)用含$x$的式子表示矩形花坛AMPN的面积.
(2)(一题多解)当$AN,AM$的长分别为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?最小面积为多少?

解题指导(1)根据相似列出比例式,可得$AM$的长,进而得到矩形花坛AMPN的面积.
(2)根据上述解析式的特点,将其化为“积定和最小”形式,利用基本不等式求解.
答案 解:(1)因为$AN$的长为$x(x＞4)$m,四边形$ABCD$为矩形,所以$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$,所以$AM=\frac{6x}{x-4}$,所以$S_{矩形AMPN}=AN· AM=\frac{6x^2}{x-4}(x＞4)m^2$.
(2)(一题多解)令$y=S_{矩形AMPN}=\frac{6x^2}{x-4}$.
方法1:令$t=x-4＞0$,则$x=t+4$,
所以$y=\frac{6(t+4)^2}{t}=6(t+\frac{16}{t}+8)≥6×(2\sqrt{t·\frac{16}{t}}+8)=96$,当且仅当$t=\frac{16}{t}$,即$t=4$,
$x=8$时,等号成立,此时$AN=8$ m,$AM=12$ m,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为96 m².
方法2:令$y=S_{矩形AMPN}=\frac{6x^2}{x-4}=\frac{6(x+4)(x-4)+96}{x-4}=6(x+4)+\frac{96}{x-4}=6(x-4)+\frac{96}{x-4}+48≥2\sqrt{6(x-4)·\frac{96}{x-4}}+48=96$,当且仅当$6(x-4)=\frac{96}{x-4}$,即$x=8$时,等号成立,故$AN=8$ m,$AM=12$ m时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为96 m².

解：
(1) 已知$AN = x\ \mathrm{m}$，$x＞4$，$AD=4\ \mathrm{m}$，故$DN = x - 4$。
因为四边形$ABCD$为矩形，所以$DC// AM$，可得$△ NDC ∽ △ NAM$，
因此$\frac{DN}{AN}=\frac{DC}{AM}$，又$DC=AB=6\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{x-4}{x}=\frac{6}{AM}$，
解得$AM=\frac{6x}{x-4}$。
所以矩形$AMPN$的面积$S_{\mathrm{矩形}AMPN}=AN· AM=\frac{6x^2}{x-4}\ (x＞4)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 设$y=S_{\mathrm{矩形}AMPN}=\frac{6x^2}{x-4}$。
方法1：
令$t=x-4$，由$x＞4$得$t＞0$，且$x = t + 4$，
代入得$y=\frac{6(t+4)^2}{t}=6(t+\frac{16}{t}+8)$。
由基本不等式，对$t＞0$，有$t+\frac{16}{t}≥ 2\sqrt{t·\frac{16}{t}}=8$，
当且仅当$t=\frac{16}{t}$即$t=4$时取等号。
因此$y≥6×(8+8)=96$，此时$t=4$，$x = t+4 = 8$，$AM=\frac{6×8}{8-4}=12$。
方法2：
对$y=\frac{6x^2}{x-4}$变形得：
$y=\frac{6(x^2-16)+96}{x-4}=6(x+4)+\frac{96}{x-4}=6(x-4)+\frac{96}{x-4}+48$。
由基本不等式，$x＞4$故$x-4＞0$，
$6(x-4)+\frac{96}{x-4}≥2\sqrt{6(x-4)·\frac{96}{x-4}}=48$，
当且仅当$6(x-4)=\frac{96}{x-4}$即$x=8$时取等号。
此时$y≥48+48=96$，$AM=\frac{6×8}{8-4}=12$。
答：当$AN$的长为$8\ \mathrm{m}$，$AM$的长为$12\ \mathrm{m}$时，矩形花坛$AMPN$的面积最小，最小面积为$96\ \mathrm{m}^2$。