1.若$x＞-3$，则$2x+\frac{1}{x+3}$的最小值为（）

A.$2\sqrt{2}+6$
B.$2\sqrt{2}-6$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}+2$

由$x＞-3$,得$x+3＞0$,$2x+\frac{1}{x+3}=2(x+3)+\frac{1}{x+3}-6≥2\sqrt{2(x+3)·\frac{1}{x+3}}-6=2\sqrt{2}-6$,当且仅当$2(x+3)=\frac{1}{x+3}$,即$x=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}$时,等号成立,所以$2x+\frac{1}{x+3}$的最小值为$2\sqrt{2}-6$.

2.(一题多解)已知$x＞0,y＞0$,且$x+2y=2$,则$xy$的（）

A.最大值为1
B.最小值为1
C.最大值为$\frac{1}{2}$
D.最小值为$\frac{1}{2}$

方法1:因为$x＞0$,$y＞0$,且$x+2y=2$,所以$xy=\frac{1}{2}x·2y≤\frac{1}{2}×(\frac{x+2y}{2})^2=\frac{1}{2}×1^2=\frac{1}{2}$,当且仅当$x=2y$,即$x=1$,$y=\frac{1}{2}$时,等号成立,故$xy$的最大值为$\frac{1}{2}$.
方法2:因为$x＞0$,$y＞0$,且$x+2y=2$,所以$x+2y≥2\sqrt{2xy}$,当且仅当$x=2y$,即$x=1$,$y=\frac{1}{2}$时,等号成立,故$xy≤\frac{1}{2}$,即$xy$的最大值为$\frac{1}{2}$.

3.(多选)已知$a,b\in\mathbf{R}$，且$ab＞0$，则下列不等式恒成立的是（）

A.$\dfrac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$
B.$2(a^2+b^2)≥(a+b)^2$
C.$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}≥2$
D.$(a+\dfrac{1}{a})(b+\dfrac{1}{b})≥4$

对于A,当$a,b$都为负数时不成立,故该选项错误;
对于B,$2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2≥0$,则$2(a^2+b^2)≥(a+b)^2$,故该选项正确;
对于C,$ab＞0$,则$\frac{b}{a}$,$\frac{a}{b}$都为正数,则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2\sqrt{\frac{b}{a}·\frac{a}{b}}=2$,当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$,即$a=b$时,等号成立,故该选项正确;
对于D,$(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})=ab+\frac{1}{ab}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2+2=4$,当且仅当$ab=\frac{1}{ab}$且$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$,即$a=b=\pm1$时,等号成立,故该选项正确.

4.若$x＞0$，则$2\sqrt{x}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}$的最小值为。

由题意,得$2\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}≥2\sqrt{2\sqrt{x}·\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{6}$,当且仅当$2\sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}$,即$x=\frac{3}{2}$时,等号成立,所以$2\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$的最小值为$2\sqrt{6}$.

5.(一题多解)已知$0＜x＜\frac{1}{3}$，则$x(1-3x)$的最大值为。

方法1:因为$0＜x＜\frac{1}{3}$,所以$1-3x＞0$,所以$x(1-3x)=\frac{1}{3}×3x(1-3x)≤\frac{1}{3}×(\frac{3x+1-3x}{2})^2=\frac{1}{12}$,当且仅当$3x=1-3x$,即$x=\frac{1}{6}$时,等号成立,所以$x(1-3x)$的最大值为$\frac{1}{12}$.
方法2:令$y=x(1-3x)=-3x^2+x=-3(x-\frac{1}{6})^2+\frac{1}{12}$,其图象开口向下,对称轴为$x=\frac{1}{6}$.
因为$0＜x＜\frac{1}{3}$,所以当$x=\frac{1}{6}$时,$y=x(1-3x)$取得最大值,最大值为$\frac{1}{12}$.

6.已知$x＞0$，求证：$x+\dfrac{2}{2x+1}≥\dfrac{3}{2}$。

因为$x＞0$,所以$x+\frac{1}{2}＞0$,
所以$x+\frac{2}{2x+1}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}=(x+\frac{1}{2})+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}≥2\sqrt{(x+\frac{1}{2})·\frac{1}{x+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,当且仅当$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}$,即$x=\frac{1}{2}$时,等号成立,故不等式得证.

7.(1)已知$t＞0$，求$y=\frac{t^2 -4t +1}{t}$的最小值；
(2)已知$x＜3$，求$y=x+\frac{4}{x-3}$的最大值。

(1)因为$y=\frac{t^2-4t+1}{t}$,$t＞0$,
所以$y=t+\frac{1}{t}-4≥2\sqrt{t·\frac{1}{t}}-4=-2$,
当且仅当$t=\frac{1}{t}$,即$t=1$时,等号成立,
故$y=\frac{t^2-4t+1}{t}$的最小值为$-2$.
(2)因为$x＜3$,所以$3-x＞0$,所以$\frac{4}{3-x}＞0$,
所以$(3-x)+\frac{4}{3-x}≥2\sqrt{(3-x)·\frac{4}{3-x}}=4$,
当且仅当$3-x=\frac{4}{3-x}$,即$x=1$时,等号成立,
所以$(x-3)+\frac{4}{x-3}≤-4$,
所以$y=x+\frac{4}{x-3}=(x-3)+\frac{4}{x-3}+3≤-1$,故其最大值为$-1$.

8.已知$0＜x＜1$，则$\frac{1}{x}+\frac{2}{1-x}$的最小值为（）

A.6
B.$2\sqrt{2}+3$
C.$2\sqrt{3}+2$
D.4

因为$0＜x＜1$,所以$1-x＞0$,所以$\frac{1}{x}+\frac{2}{1-x}=(\frac{1}{x}+\frac{2}{1-x})(x+1-x)=1+\frac{1-x}{x}+\frac{2x}{1-x}+2=\frac{1-x}{x}+\frac{2x}{1-x}+3≥2\sqrt{\frac{1-x}{x}·\frac{2x}{1-x}}+3=2\sqrt{2}+3$,当且仅当$\frac{1-x}{x}=\frac{2x}{1-x}$,即$x=\sqrt{2}-1$时,等号成立,故$\frac{1}{x}+\frac{2}{1-x}$的最小值为$2\sqrt{2}+3$.

9.若$0＜x＜1$，则$\frac{x^2 + 2x + 3}{2x + 2}$的最小值为。

$\frac{x^2+2x+3}{2x+2}=\frac{1}{2}(x+1+\frac{2}{x+1})≥\frac{1}{2}×2\sqrt{(x+1)·\frac{2}{x+1}}=\sqrt{2}$,当且仅当$x+1=\frac{2}{x+1}$,即$x=\sqrt{2}-1$时,等号成立,所以$\frac{x^2+2x+3}{2x+2}$的最小值为$\sqrt{2}$.

10.已知$a＞0,b＞0$,且$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,有下列结论:
①$2a+b$的最小值是$9$;②$ab$的最大值是$8$;
③$a^2 + b^2$的最小值是$16$;
④$\frac{2}{b-1}+\frac{4b}{a}$的最小值是$4$.其中正确的结论是.(填序号)
(提示:①$2a+b=(2a+b)·1=(2a+b)·(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})$;②$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{a}·\frac{1}{b}}$(当且仅当$\frac{2}{a}=\frac{1}{b}$时,等号成立);③$a^2 + b^2≥2ab$(当且仅当$a=b$时,等号成立);④由$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,得$\frac{2}{b-1}=\frac{a}{b}$)
答案 P15

因为$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,$a＞0$,$b＞0$,所以$2a+b=(2a+b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}+5≥2\sqrt{\frac{2b}{a}·\frac{2a}{b}}+5=4+5=9$,当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{2a}{b}$,即$a=b=3$时,等号成立,故①正确;因为$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,所以$2\sqrt{\frac{2}{ab}}≤\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,所以$ab≥8$,当且仅当$\frac{2}{a}=\frac{1}{b}$,即$a=4$,$b=2$时,等号成立,故②错误;因为$a^2+b^2≥2ab$,$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,当且仅当$a=b$,即$a=b=3$时,等号成立,所以$a^2+b^2≥18＞16$,故③错误;因为$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$,所以$\frac{2}{a}=1-\frac{1}{b}=\frac{b-1}{b}$,所以$\frac{2}{b-1}=\frac{a}{b}$,所以$\frac{2}{b-1}+\frac{4b}{a}=\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}≥2\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{4b}{a}}=4$,当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{4b}{a}$,即$a=4$,$b=2$时,等号成立,故④正确.故正确的结论是①④.