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【变式4】已知函数$f(x)=(\log_{2}\dfrac{x}{2})·(\log_{0.5}\dfrac{4}{x}),x\in[\sqrt{2},16].$
(1)当$x\in[\sqrt{2},16]$时,求$y=\log_{2}x$的取值范围;
(2)求$f(x)$的值域.
(1)当$x\in[\sqrt{2},16]$时,求$y=\log_{2}x$的取值范围;
(2)求$f(x)$的值域.
答案
解:(1)因为$y=\log_2 x$在$[\sqrt{2},16]$上单调递增,所以$\log_2 x\in[\dfrac{1}{2},4]$.
(2)$f(x)=(\log_2 \dfrac{x}{2})·(\log_{0.5}\dfrac{4}{x})=(\log_2 x -1)(-2+\log_2 x),x\in[\sqrt{2},16]$.
令$t=\log_2 x,t\in[\dfrac{1}{2},4]$,则$f(x)=g(t)=(t-1)(-2+t)=t^2-3t+2$.
因为$g(t)=t^2-3t+2$在区间$[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}]$上单调递减,在$[\dfrac{3}{2},4]$上单调递增,且$g(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}$,$g(\dfrac{3}{2})=-\dfrac{1}{4}$,$g(4)=6$,
所以$g(t)\in[-\dfrac{1}{4},6]$,即$f(x)$的值域为$[-\dfrac{1}{4},6]$.
(2)$f(x)=(\log_2 \dfrac{x}{2})·(\log_{0.5}\dfrac{4}{x})=(\log_2 x -1)(-2+\log_2 x),x\in[\sqrt{2},16]$.
令$t=\log_2 x,t\in[\dfrac{1}{2},4]$,则$f(x)=g(t)=(t-1)(-2+t)=t^2-3t+2$.
因为$g(t)=t^2-3t+2$在区间$[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}]$上单调递减,在$[\dfrac{3}{2},4]$上单调递增,且$g(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}$,$g(\dfrac{3}{2})=-\dfrac{1}{4}$,$g(4)=6$,
所以$g(t)\in[-\dfrac{1}{4},6]$,即$f(x)$的值域为$[-\dfrac{1}{4},6]$.
【典例5】已知函数$f(x)=\ln(x+1)$.
(1)求函数$f(x)$的定义域、值域；
(2)求不等式$f(x)＜2$的解集；
(3)如果$f(3m)＜f(m+2)$,求$m$的取值范围.
解题指导 (1)利用真数大于零求解.
(2)将2化为$\ln \mathrm{e}^2$,结合函数$f(x)$的单调性即可求解.
(3)由单调性去掉对数符号,再结合定义域得不等式组求解.
答案 解:(1)由$x+1＞0$,得$x＞-1$,
所以$f(x)$的定义域为$(-1,+∞)$.
因为$x+1\in(0,+∞)$,所以$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$.
(2)因为$\ln(x+1)＜2$,所以$\ln(x+1)＜\ln \mathrm{e}^2$.
因为$f(x)$是增函数,所以$0＜x+1＜\mathrm{e}^2$,
即$-1＜x＜\mathrm{e}^2-1$,
所以不等式的解集为$(-1,\mathrm{e}^2-1)$.
(3)因为$y=\ln(x+1)$的定义域为$(-1,+∞)$,且是增函数,
所以$\begin{cases}3m＜m+2, \\3m＞-1, \\m+2＞-1,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{3}＜m＜1$,(忽视$3m,m+2$必须在定义域内这一条件致错)
所以$m$的取值范围是$(-\dfrac{1}{3},1)$.
(1)求函数$f(x)$的定义域、值域；
(2)求不等式$f(x)＜2$的解集；
(3)如果$f(3m)＜f(m+2)$,求$m$的取值范围.
解题指导 (1)利用真数大于零求解.
(2)将2化为$\ln \mathrm{e}^2$,结合函数$f(x)$的单调性即可求解.
(3)由单调性去掉对数符号,再结合定义域得不等式组求解.
答案 解:(1)由$x+1＞0$,得$x＞-1$,
所以$f(x)$的定义域为$(-1,+∞)$.
因为$x+1\in(0,+∞)$,所以$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$.
(2)因为$\ln(x+1)＜2$,所以$\ln(x+1)＜\ln \mathrm{e}^2$.
因为$f(x)$是增函数,所以$0＜x+1＜\mathrm{e}^2$,
即$-1＜x＜\mathrm{e}^2-1$,
所以不等式的解集为$(-1,\mathrm{e}^2-1)$.
(3)因为$y=\ln(x+1)$的定义域为$(-1,+∞)$,且是增函数,
所以$\begin{cases}3m＜m+2, \\3m＞-1, \\m+2＞-1,\end{cases}$解得$-\dfrac{1}{3}＜m＜1$,(忽视$3m,m+2$必须在定义域内这一条件致错)
所以$m$的取值范围是$(-\dfrac{1}{3},1)$.
答案
解：
(1) 要使函数$f(x)=\ln(x+1)$有意义，需满足$x+1＞0$，
解得$x＞-1$，所以$f(x)$的定义域为$(-1,+∞)$。
因为$x＞-1$时，$x+1\in(0,+∞)$，由对数函数的性质可知，$\ln t$在$t\in(0,+∞)$上的值域为$\mathbf{R}$，因此$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$。
(2) 不等式$f(x)＜2$即$\ln(x+1)＜2$，变形得$\ln(x+1)＜\ln e^2$。
因为$f(x)=\ln(x+1)$是定义域上的增函数，因此可得$0＜x+1＜e^2$，
解得$-1＜x＜e^2-1$，
所以不等式的解集为$(-1,e^2-1)$。
(3) 因为$f(x)=\ln(x+1)$的定义域为$(-1,+∞)$，且是增函数，因此不等式$f(3m)＜f(m+2)$等价于：
$\begin{cases}3m ＞ -1 \\m+2 ＞ -1 \\3m ＜ m+2\end{cases}$
分别解得$m＞-\frac{1}{3}$，$m＞-3$，$m＜1$，取交集得$-\frac{1}{3}＜m＜1$，
所以$m$的取值范围是$(-\frac{1}{3},1)$。
(1) 要使函数$f(x)=\ln(x+1)$有意义，需满足$x+1＞0$，
解得$x＞-1$，所以$f(x)$的定义域为$(-1,+∞)$。
因为$x＞-1$时，$x+1\in(0,+∞)$，由对数函数的性质可知，$\ln t$在$t\in(0,+∞)$上的值域为$\mathbf{R}$，因此$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$。
(2) 不等式$f(x)＜2$即$\ln(x+1)＜2$，变形得$\ln(x+1)＜\ln e^2$。
因为$f(x)=\ln(x+1)$是定义域上的增函数，因此可得$0＜x+1＜e^2$，
解得$-1＜x＜e^2-1$，
所以不等式的解集为$(-1,e^2-1)$。
(3) 因为$f(x)=\ln(x+1)$的定义域为$(-1,+∞)$，且是增函数，因此不等式$f(3m)＜f(m+2)$等价于：
$\begin{cases}3m ＞ -1 \\m+2 ＞ -1 \\3m ＜ m+2\end{cases}$
分别解得$m＞-\frac{1}{3}$，$m＞-3$，$m＜1$，取交集得$-\frac{1}{3}＜m＜1$，
所以$m$的取值范围是$(-\frac{1}{3},1)$。
【变式5】解下列不等式：
(1)$\log_{2}(2x+3)≥\log_{2}(5x-6)$；
(2)$\log_{a}(x-4)-\log_{a}(2x-1)＞0(a＞0,且a≠1)$。
(1)$\log_{2}(2x+3)≥\log_{2}(5x-6)$；
(2)$\log_{a}(x-4)-\log_{a}(2x-1)＞0(a＞0,且a≠1)$。
答案
解:(1)原不等式等价于$\begin{cases}2x+3＞0,\\5x-6＞0,\\2x+3≥5x-6,\end{cases}$ 解得$\dfrac{6}{5}＜x≤3$,
所以不等式的解集为$\{x∣ \dfrac{6}{5}＜x≤3\}$.
(2)原不等式可化为$\log_a(x-4)＞\log_a(2x-1)$.
当$a＞1$时,
原不等式等价于$\begin{cases}x-4＞0,\\2x-1＞0,\\x-4＞2x-1,\end{cases}$ 不等式组无解.
当$0＜a＜1$时,原不等式等价于$\begin{cases}x-4＞0,\\2x-1＞0,\\x-4＜2x-1,\end{cases}$
解得$x＞4$.
综上可知,当$a＞1$时,解集为$∅$;
当$0＜a＜1$时,解集为$\{x∣ x＞4\}$.(求得的解集,要分情况分别写出,不能求其并集或交集)
所以不等式的解集为$\{x∣ \dfrac{6}{5}＜x≤3\}$.
(2)原不等式可化为$\log_a(x-4)＞\log_a(2x-1)$.
当$a＞1$时,
原不等式等价于$\begin{cases}x-4＞0,\\2x-1＞0,\\x-4＞2x-1,\end{cases}$ 不等式组无解.
当$0＜a＜1$时,原不等式等价于$\begin{cases}x-4＞0,\\2x-1＞0,\\x-4＜2x-1,\end{cases}$
解得$x＞4$.
综上可知,当$a＞1$时,解集为$∅$;
当$0＜a＜1$时,解集为$\{x∣ x＞4\}$.(求得的解集,要分情况分别写出,不能求其并集或交集)
