【变式2】（多选）已知$a＞0$，且$a≠1$，则函数$f(x)=\log_a(|x|+a+1)$的大致图象可能为（）

AC
(先判断函数的奇偶性,可排除D;再分$a＞1$,$0＜a＜1$两种情况判断即可)
由$f(x)=\log_a(|x|+a+1)$,得该函数的定义域为$\mathbf{R}$,定义域关于原点对称.
因为$f(-x)=\log_a(|-x|+a+1)=\log_a(|x|+a+1)=f(x)$,所以$f(x)$是偶函数,故D不符合题意;
当$a＞1$时,$f(0)=\log_a(a+1)＞\log_a 1=0$,
且$f(x)=\log_a(|x|+a+1)$在$(0,+∞)$上单调递增,故A符合题意,B不符合题意;
当$0＜a＜1$时,$f(0)=\log_a(a+1)＜\log_a 1=0$,
且$f(x)=\log_a(|x|+a+1)$在$(0,+∞)$上单调递减,故C符合题意.

【典例3】已知$a=(\dfrac{1}{2})^{\frac{1}{3}},b=\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{3},c=\log_{\frac{1}{3}}2,$
则 （）

A.$c ＜ b ＜ a$
B.$c ＜ a ＜ b$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$a ＜ c ＜ b$
解题指导 利用指数函数和对数函数的单调性，判断$a,b,c$的范围，从而确定大小关系。
解析 因为$0 ＜ a=(\dfrac{1}{2})^{\frac{1}{3}} ＜ (\dfrac{1}{2})^0=1,b=\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{3} ＞ \log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2}=1,c=\log_{\frac{1}{3}}2 ＜ \log_{\frac{1}{3}}1=0,$
所以$c ＜ a ＜ b.$
答案 B

B

由指数函数$y=(\frac{1}{2})^x$是R上的单调减函数，得$0＜ a=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} ＜ (\frac{1}{2})^0=1$；由对数函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$是$(0,+∞)$上的单调减函数，得$b=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3} ＞ \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$；由对数函数$y=\log_{\frac{1}{3}}x$是$(0,+∞)$上的单调减函数，得$c=\log_{\frac{1}{3}}2 ＜ \log_{\frac{1}{3}}1=0$；因此$c ＜ a ＜ b$。

【变式3】设$a=0.3^{0.4}$，$b=\log_{0.4}0.3$，则（）

A.$1＜a＜2$
B.$0＜b＜1$
C.$1＜a+b＜3$
D.$3＜a+b＜4$

C
因为函数$y=0.3^x$是减函数,所以$a=0.3^{0.4}＜0.3^0=1$,故A错误;
因为函数$y=\log_{0.4}x$在$(0,+∞)$上为减函数,所以$b=\log_{0.4}0.3＞\log_{0.4}0.4=1$,故B错误;
由以上分析可得,$0＜a＜1,1＜b=\log_{0.4}0.3＜\log_{0.4}0.16=2$,所以$1＜a+b＜3$,故C正确,D错误.

【典例4】已知函数$y=\log_{4}(2x+3-x^2)$.
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的单调区间及最大值.
解题指导 (1)根据对数的真数大于0列式求函数的定义域.
(2)根据“同增异减”判断复合函数的单调区间,并根据单调性求函数的最大值.
答案 解:(1)由$2x+3-x^2＞0$,得$x^2-2x-3＜0$,即$(x+1)(x-3)＜0$,解得$-1＜x＜3$,故函数的定义域为$(-1,3)$.
(2)因为函数$u(x)=2x+3-x^2$在$(-1,1]$上单调递增,在$(1,3)$上单调递减,且当$x\in(-1,3)$时,$u(x)\in(0,4]$,当$x=1$时,$u(x)$取得最大值,最大值为4,
$y=\log_{4}u$在$u\in(0,4]$上单调递增,
所以函数$y=\log_{4}(2x+3-x^2)$在$(-1,1]$上单调递增,在$(1,3)$上单调递减,且当$x=1$时,函数取得最大值,最大值为$\log_{4}4=1$.
▶方法总结
求形如$y=\log_{a}f(x)(a＞0,且a≠1)$的复合函数最值(值域)的一般步骤:
①分解成$y=\log_{a}u,u=f(x)$两个函数;
②求$f(x)$的定义域;
③求$u$的取值范围;
④利用$y=\log_{a}u$的单调性求解.

解：
(1) 由对数的真数大于0，得
$2x + 3 - x^2 ＞ 0$，
整理得$x^2 - 2x - 3 ＜ 0$，
即$(x+1)(x-3) ＜ 0$，
解得$-1 ＜ x ＜ 3$，
故函数的定义域为$(-1,3)$。
(2) 令$u(x) = 2x + 3 - x^2$，$x\in(-1,3)$，
则$u(x) = -(x-1)^2 + 4$，该二次函数图象开口向下，对称轴为$x=1$，
因此$u(x)$在$(-1,1]$上单调递增，在$(1,3)$上单调递减，
且当$x\in(-1,3)$时，$0 ＜ u(x) ≤ 4$，当$x=1$时，$u(x)$取得最大值4。
又外层函数$y = \log_4 u$在$u\in(0,4]$上单调递增，
由复合函数“同增异减”的单调性规则可得：
函数$y=\log_4(2x+3-x^2)$的单调递增区间为$(-1,1]$，单调递减区间为$(1,3)$；
当$x=1$时，函数取得最大值，最大值为$\log_4 4 = 1$。