登录
【学以致用2】(1)已知$a=\log_{3}5,b=\log_{3}4,c=5^{\frac{1}{2}}$，则（
A.$b＜a＜c$
B.$a＜b＜c$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜c＜b$
(2)已知$a＞0$，且$a≠1$，则函数$f(x)=\log_{a}(x+2)-1$的图象经过定点
A
）A.$b＜a＜c$
B.$a＜b＜c$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜c＜b$
(2)已知$a＞0$，且$a≠1$，则函数$f(x)=\log_{a}(x+2)-1$的图象经过定点
(-1,-1)
。答案
(1)A (2)$(-1,-1)$
(1)因为函数$y=\log_3 x$在$(0,+∞)$上单调递增，
所以$2＞\log_3 5＞\log_3 4$,即$2＞a＞b$.
又因为$c=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}＞2$,所以$b＜a＜c$.
(2)令$x+2=1$,得$x=-1$,此时$f(-1)=-1$,
所以函数$f(x)=\log_a(x+2)-1$的图象经过定点$(-1,-1)$.
(1)因为函数$y=\log_3 x$在$(0,+∞)$上单调递增，
所以$2＞\log_3 5＞\log_3 4$,即$2＞a＞b$.
又因为$c=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}＞2$,所以$b＜a＜c$.
(2)令$x+2=1$,得$x=-1$,此时$f(-1)=-1$,
所以函数$f(x)=\log_a(x+2)-1$的图象经过定点$(-1,-1)$.
【学以致用3】已知函数$y=f(x)$与$y=3^x$互为反函数，则$f(\dfrac{1}{3})=$（
A.－1
B.－2
C.3
D.1
A
）A.－1
B.－2
C.3
D.1
答案
A
根据题意可知,$f(x)=\log_3 x$,则$f(\dfrac{1}{3})=\log_3 \dfrac{1}{3}=-1$.
根据题意可知,$f(x)=\log_3 x$,则$f(\dfrac{1}{3})=\log_3 \dfrac{1}{3}=-1$.
【典例1】函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{\log_{\sqrt{3}}x - 2}$的定义域为（）
A.$[1,+∞)$
B.$(3,+∞)$
C.$(1,3)\cup(3,+∞)$
D.$[1,3)\cup(3,+∞)$
解题指导 根据偶次方根下非负、分母不为0以及真数大于0列出不等式组求解即可.
解析 由题意,得$\begin{cases}x-1≥0,\\\log_{\sqrt{3}}x - 2≠0,\\x＞0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x≥1,\\x≠3,\\x＞0,\end{cases}$
所以$x\in[1,3)\cup(3,+∞)$,所以函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{\log_{\sqrt{3}}x - 2}$的定义域为$[1,3)\cup(3,+∞)$.
答案 D
A.$[1,+∞)$
B.$(3,+∞)$
C.$(1,3)\cup(3,+∞)$
D.$[1,3)\cup(3,+∞)$
解题指导 根据偶次方根下非负、分母不为0以及真数大于0列出不等式组求解即可.
解析 由题意,得$\begin{cases}x-1≥0,\\\log_{\sqrt{3}}x - 2≠0,\\x＞0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x≥1,\\x≠3,\\x＞0,\end{cases}$
所以$x\in[1,3)\cup(3,+∞)$,所以函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{\log_{\sqrt{3}}x - 2}$的定义域为$[1,3)\cup(3,+∞)$.
答案 D
答案
D
解析
要使该函数有意义，需同时满足三个条件：1. 偶次根号下被开方数非负：$x-1\ge0$，解得$x\ge1$；2. 对数的真数大于0：$x＞0$；3. 分母不为0：$\log_{\sqrt{3}}x - 2\ne0$，即$\log_{\sqrt{3}}x\ne2$，解得$x\ne3$。联立三个条件取交集，可得函数的定义域为$[1,3)\cup(3,+∞)$。
【变式1】函数$f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\lg (x+|x|)}$的定义域为
$(0,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},2]$
。答案
$(0,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},2]$
由题意可得,$\begin{cases}4-x^2≥0,①\\x+|x|＞0,②\\x+|x|≠1.③\end{cases}$
对于①,由$4-x^2≥0$,解得$-2≤ x≤2$.
对于②,当$x≤0$时,$x+|x|=x-x=0$(舍去);
当$x＞0$时,$x+|x|=x+x=2x＞0$,即$x＞0$.
对于③,当$x+|x|≠1$时,解得$x≠\dfrac{1}{2}$.
综上,函数的定义域为$(0,\dfrac{1}{2})\cup(\dfrac{1}{2},2]$.
由题意可得,$\begin{cases}4-x^2≥0,①\\x+|x|＞0,②\\x+|x|≠1.③\end{cases}$
对于①,由$4-x^2≥0$,解得$-2≤ x≤2$.
对于②,当$x≤0$时,$x+|x|=x-x=0$(舍去);
当$x＞0$时,$x+|x|=x+x=2x＞0$,即$x＞0$.
对于③,当$x+|x|≠1$时,解得$x≠\dfrac{1}{2}$.
综上,函数的定义域为$(0,\dfrac{1}{2})\cup(\dfrac{1}{2},2]$.
【典例2】(一题多解)若函数$f(x)=\log_{a}x - a$,则$f(x)$的大致图象可能为 ()
解题指导 方法1:由基础函数$y=\log_{a}x$,结合图象平移的性质,判断函数的大致图象.
方法2:由特殊值$f(1)=-a$,结合$a$的取值范围,判断函数的大致图象.
解析 方法1:当$a＞0$时,$-a＜0$,故函数
$f(x)=\log_{a}x - a$的图象可由$y=\log_{a}x$的图象向下平移$a$个单位长度得到,当$0＜a＜1$时同理.故$f(x)$的大致图象可能为B.(图象平移规律为"左加右减,上加下减")
方法2:$f(1)=\log_{a}1 - a=-a＜0$,故$f(x)$的大致图象可能为B.
答案 B
解题指导 方法1:由基础函数$y=\log_{a}x$,结合图象平移的性质,判断函数的大致图象.
方法2:由特殊值$f(1)=-a$,结合$a$的取值范围,判断函数的大致图象.
解析 方法1:当$a＞0$时,$-a＜0$,故函数
$f(x)=\log_{a}x - a$的图象可由$y=\log_{a}x$的图象向下平移$a$个单位长度得到,当$0＜a＜1$时同理.故$f(x)$的大致图象可能为B.(图象平移规律为"左加右减,上加下减")
方法2:$f(1)=\log_{a}1 - a=-a＜0$,故$f(x)$的大致图象可能为B.
答案 B
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
解：
方法1：
由对数函数的定义，得$a＞0$且$a≠1$。
根据函数图象平移的“上加下减”规律，$f(x)=\log_a x - a$的图象可由$y=\log_a x$的图象向下平移$a$个单位得到：
1. 若$a＞1$，$y=\log_a x$是过点$(1,0)$的增函数，向下平移$a(a＞1)$个单位后，图象与$x$轴的交点横坐标大于1，排除选项A；
2. 若$0＜a＜1$，$y=\log_a x$是过点$(1,0)$的减函数，向下平移$a(0＜a＜1)$个单位后，函数仍单调递减，与选项C、D的图象特征矛盾。
综上仅选项B符合要求。
方法2：
代入特殊值$x=1$，得$f(1)=\log_a 1 - a = -a$。
由对数底数的取值范围$a＞0$且$a≠1$，可知$f(1)=-a＜0$，即$x=1$时函数值小于0。
选项A中$f(1)=0$，选项C、D中$f(1)＞0$，均不满足条件，只有B符合。
最终
方法1：
由对数函数的定义，得$a＞0$且$a≠1$。
根据函数图象平移的“上加下减”规律，$f(x)=\log_a x - a$的图象可由$y=\log_a x$的图象向下平移$a$个单位得到：
1. 若$a＞1$，$y=\log_a x$是过点$(1,0)$的增函数，向下平移$a(a＞1)$个单位后，图象与$x$轴的交点横坐标大于1，排除选项A；
2. 若$0＜a＜1$，$y=\log_a x$是过点$(1,0)$的减函数，向下平移$a(0＜a＜1)$个单位后，函数仍单调递减，与选项C、D的图象特征矛盾。
综上仅选项B符合要求。
方法2：
代入特殊值$x=1$，得$f(1)=\log_a 1 - a = -a$。
由对数底数的取值范围$a＞0$且$a≠1$，可知$f(1)=-a＜0$，即$x=1$时函数值小于0。
选项A中$f(1)=0$，选项C、D中$f(1)＞0$，均不满足条件，只有B符合。
最终
