登录
1.下列函数中,是对数函数的是 （
A.$y=\log_{\frac{2}{3}}x^2$
B.$y=\log_{3}(x-1)$
C.$y=\log_{(x+1)}x$
D.$y=\log_{π}x$
D
）A.$y=\log_{\frac{2}{3}}x^2$
B.$y=\log_{3}(x-1)$
C.$y=\log_{(x+1)}x$
D.$y=\log_{π}x$
答案
D
根据对数函数的概念,形如$y=\log_a x(a＞0,且a≠1)$的函数是对数函数.结合选项可知,$y=\log_π x$是对数函数.
根据对数函数的概念,形如$y=\log_a x(a＞0,且a≠1)$的函数是对数函数.结合选项可知,$y=\log_π x$是对数函数.
2.(山东卷)函数$f(x)=\frac{1}{\lg x}$的定义域是 （
A.$(0,+∞)$
B.$(0,1)\cup(1,+∞)$
C.$[0,1)\cup(1,+∞)$
D.$(1,+∞)$
B
）A.$(0,+∞)$
B.$(0,1)\cup(1,+∞)$
C.$[0,1)\cup(1,+∞)$
D.$(1,+∞)$
答案
B
由题,知$\begin{cases}x＞0,\\\lg x≠0,\end{cases}$ 解得$x＞0$,且$x≠1$,所以函数的定义域是$(0,1)\cup(1,+∞)$.
由题,知$\begin{cases}x＞0,\\\lg x≠0,\end{cases}$ 解得$x＞0$,且$x≠1$,所以函数的定义域是$(0,1)\cup(1,+∞)$.
3.已知函数$y=a^{x-3}-2(a＞0,且a≠1)$的图象过定点$P$，函数$y=\log_{m}x(m＞0,且m≠1)$的图象也过点$P$，则$m$的值为（
A.9
B.3
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
D
）A.9
B.3
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
D
当$x=3$时,$y=a^0-2=-1$,所以函数$y=a^{x-3}-2$($a＞0$,且$a≠1$)的图象过定点$P(3,-1)$.
将$(3,-1)$代入$y=\log_m x$($m＞0$,且$m≠1$)中,得$\log_m 3=-1$,解得$m=\dfrac{1}{3}$.
当$x=3$时,$y=a^0-2=-1$,所以函数$y=a^{x-3}-2$($a＞0$,且$a≠1$)的图象过定点$P(3,-1)$.
将$(3,-1)$代入$y=\log_m x$($m＞0$,且$m≠1$)中,得$\log_m 3=-1$,解得$m=\dfrac{1}{3}$.
4.函数$y=2^x$的图象与$g(x)$的图象关于$y$轴对称，则$g(x)$的图象与函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$的图象关于（
A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.直线$y=x$对称
D
）A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.直线$y=x$对称
答案
D
由题意,知$g(x)=2^{-x}=(\dfrac{1}{2})^x$.因为指数函数$y=a^x$($a＞0$,且$a≠1$)与对数函数$y=\log_a x$($a＞0$,且$a≠1$)互为反函数,图象关于直线$y=x$对称,所以$g(x)$的图象与函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$的图象关于直线$y=x$对称.
由题意,知$g(x)=2^{-x}=(\dfrac{1}{2})^x$.因为指数函数$y=a^x$($a＞0$,且$a≠1$)与对数函数$y=\log_a x$($a＞0$,且$a≠1$)互为反函数,图象关于直线$y=x$对称,所以$g(x)$的图象与函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$的图象关于直线$y=x$对称.
5.已知$a=0.7^2$，$b=2^{0.7}$，$c=\log_{0.7}2$，则$a,b,c$的大小关系为（
A.$c＞b＞a$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞a＞c$
D
）A.$c＞b＞a$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞a＞c$
答案
D
因为函数$y=0.7^x$在$(0,+∞)$上单调递减,
所以$0.7^2＜0.7^0=1$,故$0＜a＜1$.
因为函数$y=2^x$在$(0,+∞)$上单调递增,
所以$2^{0.7}＞2^0=1$,故$b＞1$.
因为函数$y=\log_{0.7}x$在$(0,+∞)$上单调递减,
所以$\log_{0.7}2＜\log_{0.7}1=0$,故$c＜0$.
综上,$b＞a＞c$.
因为函数$y=0.7^x$在$(0,+∞)$上单调递减,
所以$0.7^2＜0.7^0=1$,故$0＜a＜1$.
因为函数$y=2^x$在$(0,+∞)$上单调递增,
所以$2^{0.7}＞2^0=1$,故$b＞1$.
因为函数$y=\log_{0.7}x$在$(0,+∞)$上单调递减,
所以$\log_{0.7}2＜\log_{0.7}1=0$,故$c＜0$.
综上,$b＞a＞c$.
6.已知$f(x)$是奇函数，且在$\mathbb{R}$上单调递增，若$f(-2)=-3$，则不等式$f(\log_{4}x)-3＞0$的解集为（
A.$(\dfrac{1}{16},+∞)$
B.$(16,+∞)$
C.$(0,16)$
D.$(0,\dfrac{1}{16})$
B
）A.$(\dfrac{1}{16},+∞)$
B.$(16,+∞)$
C.$(0,16)$
D.$(0,\dfrac{1}{16})$
答案
B
因为$f(x)$是奇函数,$f(-2)=-3$,
所以$f(2)=-f(-2)=3$.
由$f(\log_4 x)-3＞0$可得,$f(\log_4 x)＞3=f(2)$.
又$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增,
所以$\log_4 x＞2=\log_4 4^2$,即$x＞16$,
所以不等式的解集为$(16,+∞)$.
因为$f(x)$是奇函数,$f(-2)=-3$,
所以$f(2)=-f(-2)=3$.
由$f(\log_4 x)-3＞0$可得,$f(\log_4 x)＞3=f(2)$.
又$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增,
所以$\log_4 x＞2=\log_4 4^2$,即$x＞16$,
所以不等式的解集为$(16,+∞)$.
7.若函数$y=\log_{a}x$在区间$[2,4]$上的最大值比最小值大1，则实数$a=$
$2或\dfrac{1}{2}$
。答案
$2或\dfrac{1}{2}$
当$a＞1$时,函数$f(x)=\log_a x$在区间$[2,4]$上单调递增,
所以$\log_a 4-\log_a 2=\log_a 2=1$,解得$a=2$.
当$0＜a＜1$时,函数$f(x)=\log_a x$在区间$[2,4]$上单调递减,
所以$\log_a 2-\log_a 4=\log_a \dfrac{1}{2}=1$,所以$a=\dfrac{1}{2}$.
综上所述,$a=2$或$a=\dfrac{1}{2}$.
当$a＞1$时,函数$f(x)=\log_a x$在区间$[2,4]$上单调递增,
所以$\log_a 4-\log_a 2=\log_a 2=1$,解得$a=2$.
当$0＜a＜1$时,函数$f(x)=\log_a x$在区间$[2,4]$上单调递减,
所以$\log_a 2-\log_a 4=\log_a \dfrac{1}{2}=1$,所以$a=\dfrac{1}{2}$.
综上所述,$a=2$或$a=\dfrac{1}{2}$.
8.设函数$f(x)=\log_{a}(2+x)+\log_{a}(2-x)$，且$f(0)=2$.
(1)求实数$a$的值及函数$f(x)$的定义域；
(2)求函数$f(x)$在区间$[0,\sqrt{3}]$上的最小值及此时$x$的值.
(1)求实数$a$的值及函数$f(x)$的定义域；
(2)求函数$f(x)$在区间$[0,\sqrt{3}]$上的最小值及此时$x$的值.
答案
解:(1)由题意,得$f(0)=2\log_a 2=2$,解得$a=2$.
由$\begin{cases}2+x＞0,\\2-x＞0,\end{cases}$ 解得$-2＜x＜2$,
所以$f(x)$的定义域为$(-2,2)$.
(2)由(1),得$f(x)=\log_2(2+x)+\log_2(2-x)=\log_2(4-x^2)$.
令$t=4-x^2$,因为$x\in[0,\sqrt{3}]$,且二次函数在$[0,\sqrt{3}]$上单调递减,所以$t\in[1,4]$.
令$g(t)=\log_2 t$,则函数$g(t)$在$[1,4]$上单调递增,
故$g(t)_{\mathrm{min}}=g(1)=0$,
所以当$t=1$,即$x=\sqrt{3}$时,$f(x)$取得最小值,最小值为0.
由$\begin{cases}2+x＞0,\\2-x＞0,\end{cases}$ 解得$-2＜x＜2$,
所以$f(x)$的定义域为$(-2,2)$.
(2)由(1),得$f(x)=\log_2(2+x)+\log_2(2-x)=\log_2(4-x^2)$.
令$t=4-x^2$,因为$x\in[0,\sqrt{3}]$,且二次函数在$[0,\sqrt{3}]$上单调递减,所以$t\in[1,4]$.
令$g(t)=\log_2 t$,则函数$g(t)$在$[1,4]$上单调递增,
故$g(t)_{\mathrm{min}}=g(1)=0$,
所以当$t=1$,即$x=\sqrt{3}$时,$f(x)$取得最小值,最小值为0.
9.(多选)若函数$f(x)=\log_{a}(1-ax)$（$a＞0$，且$a≠1$）在$[1,2]$上单调递增，则$a$的可能取值为（
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
CD
）A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
CD
因为$a＞0,a≠1$,所以函数$u=1-ax$在$[1,2]$上单调递减.
因为函数$f(x)=\log_a(1-ax)$在$[1,2]$上单调递增,所以函数$y=\log_a u$为减函数,且$∀ x\in[1,2]$,$1-ax＞0$恒成立,
因此$\begin{cases}1-2a＞0,\\0＜a＜1,\end{cases}$ 解得$0＜a＜\dfrac{1}{2}$,则A,B不可能,C,D可能.(忽视真数大于0致错)
因为$a＞0,a≠1$,所以函数$u=1-ax$在$[1,2]$上单调递减.
因为函数$f(x)=\log_a(1-ax)$在$[1,2]$上单调递增,所以函数$y=\log_a u$为减函数,且$∀ x\in[1,2]$,$1-ax＞0$恒成立,
因此$\begin{cases}1-2a＞0,\\0＜a＜1,\end{cases}$ 解得$0＜a＜\dfrac{1}{2}$,则A,B不可能,C,D可能.(忽视真数大于0致错)
10.函数$f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2}$的大致图象为（
A
）答案
A
因为$f(x)$的定义域是$\{x∣ x≠0\}$,
$f(-x)=\dfrac{\ln|-x|}{(-x)^2}=\dfrac{\ln|x|}{x^2}=f(x)$,
所以$f(x)$是偶函数,图象关于$y$轴对称,所以C,D选项错误.
因为$f(\dfrac{1}{\mathrm{e}})=\dfrac{\ln\left|\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right|}{(\dfrac{1}{\mathrm{e}})^2}=-\mathrm{e}^2＜0$,所以B选项错误.
因为$f(x)$的定义域是$\{x∣ x≠0\}$,
$f(-x)=\dfrac{\ln|-x|}{(-x)^2}=\dfrac{\ln|x|}{x^2}=f(x)$,
所以$f(x)$是偶函数,图象关于$y$轴对称,所以C,D选项错误.
因为$f(\dfrac{1}{\mathrm{e}})=\dfrac{\ln\left|\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right|}{(\dfrac{1}{\mathrm{e}})^2}=-\mathrm{e}^2＜0$,所以B选项错误.
11.函数$f(x)=\log_{2}(-x^{2}+4x)$的单调递减区间是
$[2,4)$
，值域是$(-∞,2]$
。答案
$[2,4)$ $(-∞,2]$
设$g(x)=-x^2+4x$.
令$g(x)＞0$可得,$-x^2+4x＞0$,即$x(x-4)＜0$,解得$0＜x＜4$,所以函数$f(x)$的定义域是$(0,4)$.
又因为函数$g(x)=-x^2+4x$的图象开口向下,对称轴为$x=2$,所以$g(x)$在$(0,2]$上单调递增,在$[2,4)$上单调递减,且$g(x)_{\mathrm{max}}=4$,
所以函数$g(x)$在$(0,4)$上的值域是$(0,4]$.
又因为函数$y=\log_2 x$是增函数,
所以函数$f(x)$的值域是$(-∞,2]$,
根据复合函数单调性的判定方法可得,函数$f(x)$的单调递减区间是$[2,4)$.
设$g(x)=-x^2+4x$.
令$g(x)＞0$可得,$-x^2+4x＞0$,即$x(x-4)＜0$,解得$0＜x＜4$,所以函数$f(x)$的定义域是$(0,4)$.
又因为函数$g(x)=-x^2+4x$的图象开口向下,对称轴为$x=2$,所以$g(x)$在$(0,2]$上单调递增,在$[2,4)$上单调递减,且$g(x)_{\mathrm{max}}=4$,
所以函数$g(x)$在$(0,4)$上的值域是$(0,4]$.
又因为函数$y=\log_2 x$是增函数,
所以函数$f(x)$的值域是$(-∞,2]$,
根据复合函数单调性的判定方法可得,函数$f(x)$的单调递减区间是$[2,4)$.
