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7. 已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程$kx - y = 3$的解，则$k=$ ______ .
答案
7.2
解析
【分析】
根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边的值相等，因此我们可以把已知的x、y的值直接代入原方程，得到一个仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出k的取值。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入方程$kx - y = 3$，可得：
$2k - 1 = 3$
移项得：$2k = 3 + 1$
合并同类项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类考题，核心考查二元一次方程解的概念的应用，代入法是解决这类问题的通用方法，熟练掌握相关概念和一元一次方程解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边的值相等，因此我们可以把已知的x、y的值直接代入原方程，得到一个仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出k的取值。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入方程$kx - y = 3$，可得：
$2k - 1 = 3$
移项得：$2k = 3 + 1$
合并同类项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类考题，核心考查二元一次方程解的概念的应用，代入法是解决这类问题的通用方法，熟练掌握相关概念和一元一次方程解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8. 七年级某班的学生都是两人一桌，与女生同桌的男生占男生人数的$\frac{3}{4}$，与男生同桌的女生占女生人数的$\frac{3}{5}$。本学年该班新转入4个男生后，男、女生刚好一样多。设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为。
答案
8.$\begin{cases} \frac{3}{4}x = \frac{3}{5}y, \\ x + 4 = y \end{cases}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先从题干中挖掘两个核心等量关系：第一，男女同桌是一一配对的，因此与女生同桌的男生人数和与男生同桌的女生人数完全相等，这是隐藏的等量关系；第二，新转入4个男生后男女生人数刚好相等，这是直观给出的等量关系。我们用已知的男生人数x、女生人数y分别表示出两个等量关系对应的代数式，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 推导第一个方程：
已知与女生同桌的男生占男生人数的$\frac{3}{4}$，上学年男生有x人，因此这部分男生人数为$\frac{3}{4}x$；
已知与男生同桌的女生占女生人数的$\frac{3}{5}$，上学年女生有y人，因此这部分女生人数为$\frac{3}{5}y$；
因为男女同桌一一对应，所以两类人数相等，可得方程：$\frac{3}{4}x = \frac{3}{5}y$。
2. 推导第二个方程：
新转入4个男生后男女生人数相等，即原来的男生人数+4 = 原来的女生人数，可得方程：$x + 4 = y$。
3. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} \frac{3}{4}x = \frac{3}{5}y, \\ x + 4 = y \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，等量关系识别，列代数式
【点评】
本题是方程实际应用的常规题型，解题的关键是准确找到隐藏的配对等量关系，结合题干给出的人数变化条件即可正确列方程组，主要考查学生的审题能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先从题干中挖掘两个核心等量关系：第一，男女同桌是一一配对的，因此与女生同桌的男生人数和与男生同桌的女生人数完全相等，这是隐藏的等量关系；第二，新转入4个男生后男女生人数刚好相等，这是直观给出的等量关系。我们用已知的男生人数x、女生人数y分别表示出两个等量关系对应的代数式，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 推导第一个方程：
已知与女生同桌的男生占男生人数的$\frac{3}{4}$，上学年男生有x人，因此这部分男生人数为$\frac{3}{4}x$；
已知与男生同桌的女生占女生人数的$\frac{3}{5}$，上学年女生有y人，因此这部分女生人数为$\frac{3}{5}y$；
因为男女同桌一一对应，所以两类人数相等，可得方程：$\frac{3}{4}x = \frac{3}{5}y$。
2. 推导第二个方程：
新转入4个男生后男女生人数相等，即原来的男生人数+4 = 原来的女生人数，可得方程：$x + 4 = y$。
3. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} \frac{3}{4}x = \frac{3}{5}y, \\ x + 4 = y \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，等量关系识别，列代数式
【点评】
本题是方程实际应用的常规题型，解题的关键是准确找到隐藏的配对等量关系，结合题干给出的人数变化条件即可正确列方程组，主要考查学生的审题能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
9. 七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母. 1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为.
学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为.
答案
9.$\begin{cases} x + y = 22, \\ 2 × 1\ 200x = 2\ 000y \end{cases}$
解析
【分析】
要列二元一次方程组，首先需要找到题目中的两个等量关系：①总共有22名工人，即生产螺栓的工人数量+生产螺母的工人数量=22；②生产的螺栓和螺母刚好配套，1个螺栓配2个螺母，说明螺母的总数量是螺栓总数量的2倍。结合设出的未知数，分别用含x、y的式子表示两个等量关系即可列出方程组。
【解析】
第一步，根据总人数的等量关系列方程：
已知安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，总共有22名工人，因此可得：$x + y = 22$。
第二步，根据配套的数量关系列方程：
每人每天生产1200个螺栓，x名工人每天生产螺栓总数为$1200x$个；每人每天生产2000个螺母，y名工人每天生产螺母总数为$2000y$个。因为1个螺栓需要配2个螺母，要刚好配套则螺母总数=2×螺栓总数，因此可得：$2×1200x = 2000y$。
第三步，联立两个方程得到最终的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x + y = 22, \\ 2 × 1\ 200x = 2\ 000y \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题，等量关系寻找
【点评】
本题是配套类应用题的基础题型，解题的关键是准确提炼两个等量关系，尤其注意配套关系中倍数的对应，避免将2错乘到螺母数量一侧导致列式错误。
【难度系数】
0.8
要列二元一次方程组，首先需要找到题目中的两个等量关系：①总共有22名工人，即生产螺栓的工人数量+生产螺母的工人数量=22；②生产的螺栓和螺母刚好配套，1个螺栓配2个螺母，说明螺母的总数量是螺栓总数量的2倍。结合设出的未知数，分别用含x、y的式子表示两个等量关系即可列出方程组。
【解析】
第一步，根据总人数的等量关系列方程：
已知安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，总共有22名工人，因此可得：$x + y = 22$。
第二步，根据配套的数量关系列方程：
每人每天生产1200个螺栓，x名工人每天生产螺栓总数为$1200x$个；每人每天生产2000个螺母，y名工人每天生产螺母总数为$2000y$个。因为1个螺栓需要配2个螺母，要刚好配套则螺母总数=2×螺栓总数，因此可得：$2×1200x = 2000y$。
第三步，联立两个方程得到最终的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x + y = 22, \\ 2 × 1\ 200x = 2\ 000y \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题，等量关系寻找
【点评】
本题是配套类应用题的基础题型，解题的关键是准确提炼两个等量关系，尤其注意配套关系中倍数的对应，避免将2错乘到螺母数量一侧导致列式错误。
【难度系数】
0.8
10. (民族文化)我国古代夏禹时期的“洛书”(如图①所示)，就是一个三阶“幻方”(如图②所示)，观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”(如图③所示)中，根据寻找出的关系，可推算出x，y的值分别为
$x = -2, y = -6$
.答案
10.$x = -2, y = -6$
解析
【分析】
解题时首先观察已知的三阶幻方（图②），总结核心规律：三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数字之和（称为幻和）相等，且幻和等于中间数的3倍。接下来先利用图③的中间数-1求出幻和，再结合对角线上的已知数求出y，最后根据行的和的规律求出x即可。
【解析】
1. 总结幻方规律：观察图②，计算得每行和为$4+9+2=15$，每列、对角线和也为15，且$15=3×$中间数5，可得三阶幻方的幻和$=3×$中间数，且每行、每列、对角线的和均等于幻和。
2. 计算图③的幻和：图③中间数为$-1$，因此幻和$=3×(-1)=-3$。
3. 求y的值：左上角到右下角的对角线上三个数为4、$-1$、y，和为$-3$，列方程：
$4 + (-1) + y = -3$
解得：$y = -3 - 3 = -6$
4. 求x的值：先计算第二行第三列的数，第三列三个数和为$-3$，设该数为m，则：
$3 + m + y = -3$，代入$y=-6$，得$3+m-6=-3$，解得$m=0$
第二行三个数和为$-3$，列方程：
$x + (-1) + 0 = -3$
解得：$x = -2$
【答案】
$x=-2,y=-6$
【知识点】
三阶幻方规律、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合传统“洛书”文化考查规律探究与方程应用，解题核心是掌握三阶幻方的和的规律，通过已知中间数确定幻和，再逐步推导未知量，兼具文化性和基础性，能较好考查学生的规律总结和计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知的三阶幻方（图②），总结核心规律：三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数字之和（称为幻和）相等，且幻和等于中间数的3倍。接下来先利用图③的中间数-1求出幻和，再结合对角线上的已知数求出y，最后根据行的和的规律求出x即可。
【解析】
1. 总结幻方规律：观察图②，计算得每行和为$4+9+2=15$，每列、对角线和也为15，且$15=3×$中间数5，可得三阶幻方的幻和$=3×$中间数，且每行、每列、对角线的和均等于幻和。
2. 计算图③的幻和：图③中间数为$-1$，因此幻和$=3×(-1)=-3$。
3. 求y的值：左上角到右下角的对角线上三个数为4、$-1$、y，和为$-3$，列方程：
$4 + (-1) + y = -3$
解得：$y = -3 - 3 = -6$
4. 求x的值：先计算第二行第三列的数，第三列三个数和为$-3$，设该数为m，则：
$3 + m + y = -3$，代入$y=-6$，得$3+m-6=-3$，解得$m=0$
第二行三个数和为$-3$，列方程：
$x + (-1) + 0 = -3$
解得：$x = -2$
【答案】
$x=-2,y=-6$
【知识点】
三阶幻方规律、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合传统“洛书”文化考查规律探究与方程应用，解题核心是掌握三阶幻方的和的规律，通过已知中间数确定幻和，再逐步推导未知量，兼具文化性和基础性，能较好考查学生的规律总结和计算能力。
【难度系数】
0.7
11. 已知关于$x$，$y$的方程$(k^2 - 4)x^2 + (k + 2)x + (k - 6)y = k + 8$，试问：
(1)当$k$为何值时此方程为一元一次方程？
(2)当$k$为何值时此方程为二元一次方程？
(1)当$k$为何值时此方程为一元一次方程？
(2)当$k$为何值时此方程为二元一次方程？
答案
11.(1)$k = -2$ (2)$k = 2$
解析
【分析】
要判断方程是一元一次方程还是二元一次方程，首先明确一次方程的前提：方程中未知数的最高次数为1，因此首先要让二次项（即$x^2$项）的系数为0，先求出$k$的初步取值范围；再结合一元一次方程（仅含1个未知数，且未知数最高次数为1）、二元一次方程（含2个未知数，且未知数最高次数为1）的定义，分别判断剩余未知数的系数不能为0的条件，筛选出符合要求的$k$值即可。
【解析】
首先，方程为一次方程的前提是无二次项，即二次项系数为0：
$k^2 - 4 = 0$，解得$k=2$或$k=-2$。
(1) 若方程为一元一次方程，则仅含1个未知数：
① 当$k=2$时，代入得$x$的系数为$2+2=4≠0$，$y$的系数为$2-6=-4≠0$，此时方程同时含$x、y$两个未知数，不符合一元一次方程要求；
② 当$k=-2$时，代入得$x$的系数为$-2+2=0$，$y$的系数为$-2-6=-8≠0$，此时方程仅含$y$一个未知数，符合一元一次方程要求。
因此当$k=-2$时，方程为一元一次方程。
(2) 若方程为二元一次方程，则需同时含$x、y$两个未知数，即$x$和$y$的系数都不为0：
由一次方程前提得$k=2$或$k=-2$，
需满足：$k+2≠0$（即$k≠-2$），且$k-6≠0$（即$k≠6$），因此仅$k=2$符合要求。
代入验证：$k=2$时，方程化简为$4x-4y=10$，是二元一次方程，符合要求。
因此当$k=2$时，方程为二元一次方程。
【答案】
(1) $k=-2$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 二元一次方程的定义
3. 含参数方程判定
【点评】
本题主要考查一次方程的分类判定，解题核心是先消去二次项确定参数的初步范围，再根据未知数的个数限制筛选参数取值，容易出错的地方是忽略未知数的系数不能为0的要求。
【难度系数】
0.7
要判断方程是一元一次方程还是二元一次方程，首先明确一次方程的前提：方程中未知数的最高次数为1，因此首先要让二次项（即$x^2$项）的系数为0，先求出$k$的初步取值范围；再结合一元一次方程（仅含1个未知数，且未知数最高次数为1）、二元一次方程（含2个未知数，且未知数最高次数为1）的定义，分别判断剩余未知数的系数不能为0的条件，筛选出符合要求的$k$值即可。
【解析】
首先，方程为一次方程的前提是无二次项，即二次项系数为0：
$k^2 - 4 = 0$，解得$k=2$或$k=-2$。
(1) 若方程为一元一次方程，则仅含1个未知数：
① 当$k=2$时，代入得$x$的系数为$2+2=4≠0$，$y$的系数为$2-6=-4≠0$，此时方程同时含$x、y$两个未知数，不符合一元一次方程要求；
② 当$k=-2$时，代入得$x$的系数为$-2+2=0$，$y$的系数为$-2-6=-8≠0$，此时方程仅含$y$一个未知数，符合一元一次方程要求。
因此当$k=-2$时，方程为一元一次方程。
(2) 若方程为二元一次方程，则需同时含$x、y$两个未知数，即$x$和$y$的系数都不为0：
由一次方程前提得$k=2$或$k=-2$，
需满足：$k+2≠0$（即$k≠-2$），且$k-6≠0$（即$k≠6$），因此仅$k=2$符合要求。
代入验证：$k=2$时，方程化简为$4x-4y=10$，是二元一次方程，符合要求。
因此当$k=2$时，方程为二元一次方程。
【答案】
(1) $k=-2$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 二元一次方程的定义
3. 含参数方程判定
【点评】
本题主要考查一次方程的分类判定，解题核心是先消去二次项确定参数的初步范围，再根据未知数的个数限制筛选参数取值，容易出错的地方是忽略未知数的系数不能为0的要求。
【难度系数】
0.7
