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1. 下列选项是二元一次方程的是 （
A.$x - 3y$
B.$xy + y = -1$
C.$x + y = z - 2$
D.$\frac{x + 1}{2} - y = 1$
D
）A.$x - 3y$
B.$xy + y = -1$
C.$x + y = z - 2$
D.$\frac{x + 1}{2} - y = 1$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个选项是二元一次方程，首先需要明确二元一次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有2个不同的未知数；③含有未知数的项的次数均为1。解题时我们可以逐个对照条件排查选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，我们逐个分析选项：
选项A：$x-3y$是代数式，没有等号，不属于方程，直接排除；
选项B：$xy + y = -1$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，排除；
选项C：$x + y = z - 2$中含有$x、y、z$共3个未知数，不符合“二元（2个未知数）”的要求，排除；
选项D：对$\frac{x + 1}{2} - y = 1$整理可得$x-2y=1$，满足：是整式方程，仅含$x、y$2个未知数，且含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的概念、单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程的三个判定条件，判断时要逐一核对所有条件，避免因遗漏某一条件而出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项是二元一次方程，首先需要明确二元一次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有2个不同的未知数；③含有未知数的项的次数均为1。解题时我们可以逐个对照条件排查选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，我们逐个分析选项：
选项A：$x-3y$是代数式，没有等号，不属于方程，直接排除；
选项B：$xy + y = -1$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，排除；
选项C：$x + y = z - 2$中含有$x、y、z$共3个未知数，不符合“二元（2个未知数）”的要求，排除；
选项D：对$\frac{x + 1}{2} - y = 1$整理可得$x-2y=1$，满足：是整式方程，仅含$x、y$2个未知数，且含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义、整式方程的概念、单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程的三个判定条件，判断时要逐一核对所有条件，避免因遗漏某一条件而出错。
【难度系数】
0.8
2. 若$(m-3)x^{|m-2|} + y = 0$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$m$的值为（
A.1
B.3
C.0
D.1或3
A
）A.1
B.3
C.0
D.1或3
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。解题时需要根据定义列出两个限制条件：一是x的次数必须等于1，二是x的系数不能为0（若系数为0，方程就只剩y一个未知数，不符合二元的要求），分别求解这两个条件后取公共解，就能得到m的取值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可列出两个限制条件：
1. 未知数x的次数为1：$\vert m-2\vert=1$
解绝对值方程：
若$m-2=1$，则$m=3$；
若$m-2=-1$，则$m=1$。
2. x的系数不为0：$m-3≠0$，解得$m≠3$。
结合两个条件，排除$m=3$，因此$m=1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题主要考查二元一次方程定义的应用，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选D选项，解题时要全面考虑定义中的所有要求，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。解题时需要根据定义列出两个限制条件：一是x的次数必须等于1，二是x的系数不能为0（若系数为0，方程就只剩y一个未知数，不符合二元的要求），分别求解这两个条件后取公共解，就能得到m的取值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可列出两个限制条件：
1. 未知数x的次数为1：$\vert m-2\vert=1$
解绝对值方程：
若$m-2=1$，则$m=3$；
若$m-2=-1$，则$m=1$。
2. x的系数不为0：$m-3≠0$，解得$m≠3$。
结合两个条件，排除$m=3$，因此$m=1$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题主要考查二元一次方程定义的应用，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选D选项，解题时要全面考虑定义中的所有要求，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
3. 已知$x=-3$，$y=5$是二元一次方程$2x + my + 1 = 0$的解，则$m$的値 为（
A.1
B.-1
C.3
D.-3
A
）A.1
B.-1
C.3
D.-3
答案
3.A
解析
【分析】
解题的核心是利用二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知$x=-3$，$y=5$是方程的解，所以将$x$和$y$的值代入原方程，原方程就会转化为只含有未知数$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$m$的值。
【解析】
因为$x=-3$，$y=5$是二元一次方程$2x + my + 1 = 0$的解，所以将$x=-3$，$y=5$代入方程得：
$2×(-3) + 5m + 1 = 0$
计算得：$-6 + 5m + 1 = 0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
移项得：$5m = 5$
系数化为1得：$m = 1$
因此选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解满足原方程，通过代入即可将二元方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知$x=-3$，$y=5$是方程的解，所以将$x$和$y$的值代入原方程，原方程就会转化为只含有未知数$m$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$m$的值。
【解析】
因为$x=-3$，$y=5$是二元一次方程$2x + my + 1 = 0$的解，所以将$x=-3$，$y=5$代入方程得：
$2×(-3) + 5m + 1 = 0$
计算得：$-6 + 5m + 1 = 0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
移项得：$5m = 5$
系数化为1得：$m = 1$
因此选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解满足原方程，通过代入即可将二元方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
4.（环保理念）“践行垃圾分类·助力‘双碳’目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池.”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍.”设甲收集了x节废电池，乙收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（
A.$\begin{cases} y - x = 7, \\ x + 9 = 2(y - 9) \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 7, \\ 2(x - 9) = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - y = 7, \\ x - 9 = 2(y + 9) \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 7, \\ 2(x - 9) = y + 9 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} y - x = 7, \\ x + 9 = 2(y - 9) \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 7, \\ 2(x - 9) = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - y = 7, \\ x - 9 = 2(y + 9) \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 7, \\ 2(x - 9) = y + 9 \end{cases}$
答案
4.D
解析
【分析】
这是一道根据实际情境列二元一次方程组的题目，解题核心是找到题目对应的两个等量关系：第一个是甲收集的废电池数量比乙多7节，第二个是甲给乙9节后，乙的废电池数量是甲的2倍。我们先根据第一个等量关系列出第一个方程，再根据数量变化后的倍数关系列出第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步，根据甲的表述“我比你多收集了7节废电池”，已知甲收集x节，乙收集y节，可得甲的数量减去乙的数量等于7，即：
$x - y = 7$
第二步，分析甲给乙9节后的数量变化：甲给出9节后剩余$(x-9)$节，乙收到9节后共有$(y+9)$节，此时乙的数量是甲的2倍，即乙的数量等于2倍甲剩余的数量，可得：
$y + 9 = 2(x - 9)$，变形为$2(x - 9) = y + 9$
第三步，联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x - y = 7, \\ 2(x - 9) = y + 9 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，找等量关系列方程
【点评】
本题结合垃圾分类的环保热点命题，解题关键是准确梳理数量变化前后的对应关系，尤其要注意倍数关系的主体不要混淆，避免将第二个方程列反。
【难度系数】
0.7
这是一道根据实际情境列二元一次方程组的题目，解题核心是找到题目对应的两个等量关系：第一个是甲收集的废电池数量比乙多7节，第二个是甲给乙9节后，乙的废电池数量是甲的2倍。我们先根据第一个等量关系列出第一个方程，再根据数量变化后的倍数关系列出第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步，根据甲的表述“我比你多收集了7节废电池”，已知甲收集x节，乙收集y节，可得甲的数量减去乙的数量等于7，即：
$x - y = 7$
第二步，分析甲给乙9节后的数量变化：甲给出9节后剩余$(x-9)$节，乙收到9节后共有$(y+9)$节，此时乙的数量是甲的2倍，即乙的数量等于2倍甲剩余的数量，可得：
$y + 9 = 2(x - 9)$，变形为$2(x - 9) = y + 9$
第三步，联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x - y = 7, \\ 2(x - 9) = y + 9 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，找等量关系列方程
【点评】
本题结合垃圾分类的环保热点命题，解题关键是准确梳理数量变化前后的对应关系，尤其要注意倍数关系的主体不要混淆，避免将第二个方程列反。
【难度系数】
0.7
5.（古制度量）古代粮仓用大、小两种量器称米. 已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗. 管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的质量为230斤；第一次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的质量为220斤. 设每个大量器可装米$x$斤，每个小量器可装米$y$斤，则可列出方程组为（
A.$\begin{cases}30x + 12y = 230, \\20x + 18y = 220\end{cases}$
B.$\begin{cases}3x + 2y = 220, \\2x + 3y = 230\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 2y = 230, \\2x + 3y = 220\end{cases}$
D.$\begin{cases}10x + 6y = 230, \\10x + 6y = 220\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}30x + 12y = 230, \\20x + 18y = 220\end{cases}$
B.$\begin{cases}3x + 2y = 220, \\2x + 3y = 230\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 2y = 230, \\2x + 3y = 220\end{cases}$
D.$\begin{cases}10x + 6y = 230, \\10x + 6y = 220\end{cases}$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是找准题目中的两个等量关系。首先明确两次称量的情况：第一次是3个大量器和2个小量器总装米质量为230斤，第二次是2个大量器和3个小量器总装米质量为220斤。我们将设好的未知数x（每个大量器装米的斤数）、y（每个小量器装米的斤数）分别代入两个等量关系，就能得到对应的方程组，再匹配选项即可。
【解析】
根据题意，先分析第一次称量的等量关系：
3个大量器装米的总质量 + 2个小量器装米的总质量 = 230斤
代入未知数可得第一个方程：$3x + 2y = 230$
再分析第二次称量的等量关系：
2个大量器装米的总质量 + 3个小量器装米的总质量 = 220斤
代入未知数可得第二个方程：$2x + 3y = 220$
联立得到方程组：$\begin{cases}3x + 2y = 230, \\2x + 3y = 220\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 等量关系识别
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确梳理两次称量的量器数量和对应总质量，避免将两次的数量和总质量对应错误即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是找准题目中的两个等量关系。首先明确两次称量的情况：第一次是3个大量器和2个小量器总装米质量为230斤，第二次是2个大量器和3个小量器总装米质量为220斤。我们将设好的未知数x（每个大量器装米的斤数）、y（每个小量器装米的斤数）分别代入两个等量关系，就能得到对应的方程组，再匹配选项即可。
【解析】
根据题意，先分析第一次称量的等量关系：
3个大量器装米的总质量 + 2个小量器装米的总质量 = 230斤
代入未知数可得第一个方程：$3x + 2y = 230$
再分析第二次称量的等量关系：
2个大量器装米的总质量 + 3个小量器装米的总质量 = 220斤
代入未知数可得第二个方程：$2x + 3y = 220$
联立得到方程组：$\begin{cases}3x + 2y = 230, \\2x + 3y = 220\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 等量关系识别
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确梳理两次称量的量器数量和对应总质量，避免将两次的数量和总质量对应错误即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 若方程$(m + 1)x + 3y^{|m|} = 5$是关于x，y的二元一次方程，则m的值为
1
。答案
6.1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆二元一次方程的定义要求：一是方程含有2个未知数，二是每个未知数的最高次数都是1，三是含有未知数的项的系数不能为0。我们可以分两步推导：第一步先根据y的次数是1，列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值；第二步再根据x的系数不能为0，排除不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(m + 1)x + 3y^{|m|} = 5$是关于x，y的二元一次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为1：$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 含未知数的项的系数不为0：x的系数$m+1≠0$，解得$m≠-1$
结合两个条件可得，$m=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值的性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于二元一次方程定义的基础应用题型，解题核心是牢记二元一次方程的两个限制条件，易错点是容易忽略x的系数不能为0的要求，误把m=-1也当作符合条件的解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要回忆二元一次方程的定义要求：一是方程含有2个未知数，二是每个未知数的最高次数都是1，三是含有未知数的项的系数不能为0。我们可以分两步推导：第一步先根据y的次数是1，列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值；第二步再根据x的系数不能为0，排除不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(m + 1)x + 3y^{|m|} = 5$是关于x，y的二元一次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为1：$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 含未知数的项的系数不为0：x的系数$m+1≠0$，解得$m≠-1$
结合两个条件可得，$m=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值的性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于二元一次方程定义的基础应用题型，解题核心是牢记二元一次方程的两个限制条件，易错点是容易忽略x的系数不能为0的要求，误把m=-1也当作符合条件的解。
【难度系数】
0.7
