21. 在三角形ABE中，$AE ⊥ BE$，直线$CD // AB$.
(1)如图①，点E在直线CD上，若$∠ BAE = 60°$，求$∠ BED$的度数.
(2)如图②，点E在直线CD的下方，EB交CD于点F，G是AB上一点，连接GE交CD于点H，点K在AB，CD之间且在GH的右侧，连接GK，FK. 若GE，FB分别是$∠ AGK$和$∠ KFD$的平分线，试说明$∠ GKF = 2∠ AEG$.
(3)在(1)的条件下，点P，Q在直线CD上，点P在点Q左侧，$∠ PAQ = 80°$，AM平分$∠ PAE$交CD于点M，N是直线AB上方一点，$∠ NAB = 2∠ BAQ$. 若$∠ NAM = 150°$，请直接写出$∠ AQC$的度数.

21. 解：(1)$∠ BED = 30°$.
(2)如图，作$EM// CD$，作$KN// AB$，
又$\because AB// CD$,
$\therefore EM// AB// CD// KN$.
设$∠ AGK=2x$，$∠ KFD=2y$,
又$\because GE$，$FB$分别平分$∠ AGK$，$∠ KFD$,
$\therefore ∠ AGE = ∠ KGE = \frac{1}{2}∠ AGK = x$,
$∠ KFB = ∠ DFB = \frac{1}{2}∠ KFD = y$.
$\because AB// EM$, $\therefore ∠ GEM = ∠ AGE = x$.
$\because CD// EM$, $\therefore ∠ FEM = ∠ DFB = y$.
$\therefore ∠ GEF = ∠ GEM - ∠ FEM = x - y$.
又$\because AE⊥ BE$,
$\therefore ∠ AEG = 90° - ∠ GEF = 90° - (x - y) = 90° - x + y$.
$\therefore 2∠ AEG = 2(90° - x + y) = 180° - 2x + 2y$.
$\because KN// AB$,
$\therefore ∠ GKN + ∠ AGK = 180°$.
$\therefore ∠ GKN = 180° - ∠ AGK = 180° - 2x$.
$\because KN// CD$, $\therefore ∠ NKF = ∠ KFD = 2y$.
$\therefore ∠ GKF = ∠ GKN + ∠ NKF = 180° - 2x + 2y$,
$\therefore ∠ GKF = 2∠ AEG$.
(3)$∠ AQC = 32°$.

【分析】
(1) 先由AE⊥BE得到∠AEB=90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABE的度数，再根据CD//AB的内错角相等性质计算∠BED即可。
(2) 要证角的倍数关系，通过作平行于AB、CD的辅助线转化角度，结合角平分线定义设未知数，分别用未知数表示出∠GKF和2∠AEG，验证二者相等即可完成证明。
(3) 结合(1)的已知角度，根据角平分线定义、给出的角度和差及倍数关系，先求出∠BAQ的度数，再利用平行线的性质求解∠AQC即可。
【解析】
(1) 解：
∵$AE ⊥ BE$，
∴$∠AEB=90°$，
在$Rt△ABE$中，$∠BAE + ∠ABE=90°$，
∵$∠BAE=60°$，
∴$∠ABE=90°-60°=30°$，
又
∵$CD// AB$，
∴$∠BED=∠ABE=30°$。
(2) 证明：
如图，作$EM// CD$，作$KN// AB$，
又$\because AB// CD$,
$\therefore EM// AB// CD// KN$。
设$∠ AGK=2x$，$∠ KFD=2y$,
又$\because GE$，$FB$分别平分$∠ AGK$，$∠ KFD$,
$\therefore ∠ AGE = ∠ KGE = \frac{1}{2}∠ AGK = x$,
$∠ KFB = ∠ DFB = \frac{1}{2}∠ KFD = y$。
$\because AB// EM$, $\therefore ∠ GEM = ∠ AGE = x$。
$\because CD// EM$, $\therefore ∠ FEM = ∠ DFB = y$。
$\therefore ∠ GEF = ∠ GEM - ∠ FEM = x - y$。
又$\because AE⊥ BE$,
$\therefore ∠ AEG = 90° - ∠ GEF = 90° - (x - y) = 90° - x + y$。
$\therefore 2∠ AEG = 2(90° - x + y) = 180° - 2x + 2y$。
$\because KN// AB$,
$\therefore ∠ GKN + ∠ AGK = 180°$。
$\therefore ∠ GKN = 180° - ∠ AGK = 180° - 2x$。
$\because KN// CD$, $\therefore ∠ NKF = ∠ KFD = 2y$。
$\therefore ∠ GKF = ∠ GKN + ∠ NKF = 180° - 2x + 2y$,
$\therefore ∠ GKF = 2∠ AEG$。
(3) 解：根据角度和差、角平分线及平行线性质计算可得$∠AQC=32°$。
【答案】
(1) $∠ BED = 30°$
(2) 证明如上，辅助线如图
(3) $∠ AQC = 32°$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何基础知识点，解题时需要合理构造辅助线转化角度关系，梳理角度的和差运算，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6