登录
22. 如图，$PQ // MN$，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且$∠ BAN = 45°$，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A，B不停地旋转，若射线AM转动的速度是$a°/$秒，射线BQ转动的速度是$b°/$秒，且a，b满足$|a - 8| + (b - 2)^2 = 0$.
(1)$a =$
(2)若射线AM，BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM，BQ互相垂直；
(3)若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM，BQ互相平行？
(1)$a =$
8
，$b =$ 2
；(2)若射线AM，BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM，BQ互相垂直；
(3)若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM，BQ互相平行？
答案
22. 解：(1)8 2
(2)设至少旋转 $t$ 秒时，射线 $AM$、射线 $BQ$ 互相垂直，
如图①，设旋转后的射线 $AM$、射线 $BQ$ 交于点 $O$，则 $BO⊥ AO$,
$\therefore ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$.
$\because PQ// MN$,
$\therefore ∠ ABQ + ∠ BAM = 180°$,
$\therefore ∠ OBQ + ∠ OAM = 180° - (∠ ABO + ∠ BAO) = 180° - 90° = 90°$.
又$\because ∠ OBQ = 2t°$, $∠ OAM = 8t°$,
$\therefore 2t + 8t = 90$,
$\therefore 10t = 90$, $\therefore t = 9$,
$\therefore$ 至少旋转 9 秒时，射线 $AM$、射线 $BQ$ 互相垂直.
(3)设射线 $AM$ 再转动 $t$ 秒时，射线 $AM$、射线 $BQ$ 互相平行.
如图②，射线 $AM$ 绕点 $A$ 顺时针先转动 15 秒后，
$AM$ 转动至 $AM'$ 的位置，
则$∠ MAM' = 15 × 8° = 120°$,
$\therefore ∠ M'AB = 180° - 45° - 120° = 15°$.
分两种情况：
①当$\frac{180° - 45° - 120°}{8°} = 1.875 ＜ t ＜ 7.5$时，$∠ QBQ' = 2t°$, $∠ M'AM'' = 8t°$,
$\because PQ// MN$,
$\therefore ∠ BAN = 45° = ∠ ABQ$,
$\therefore ∠ ABQ' = 45° - 2t°$, $∠ BAM'' = ∠ M'AM'' - ∠ M'AB = 8t° - 15°$,
当$∠ ABQ' = ∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$,
$\therefore 45 - 2t = 8t - 15$,
$\therefore 10t = 60$,
解得 $t = 6$;
②当$7.5 ＜ t ＜ 13.125$时，$∠ QBQ' = 2t°$, $∠ NAM'' = 8(t - 7.5)° = 8t° - 60°$,
$\therefore ∠ ABQ' = 45° - 2t°$, $∠ BAM'' = 45° - (8t° - 60°) = 105° - 8t°$,
当$∠ ABQ' = ∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$,
此时，$45 - 2t = 105 - 8t$,
$\therefore 6t = 60$, 解得 $t = 10$.
综上，$t = 6$ 或 $10$.
解析
【分析】
(1) 利用非负数的性质求解：绝对值和偶次幂均为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此列等式即可求出a、b的值。
(2) 求两射线垂直的最短时间：首先根据垂直的性质得到相交形成的直角对应的两个锐角和为90°，再结合平行线同旁内角互补的性质，推导出两条射线转过的角度和为90°，根据旋转速度表示转过的角度，列方程求解即可。
(3) 求两射线平行的时间：先计算AM先转动15秒转过的角度，确定AM的初始位置。由于AM转动速度更快，在BQ第一次到达BA前，AM会经历“转到AN前”和“转到AN后回转”两个阶段，因此分两种情况讨论，根据两射线平行时内错角相等的关系列方程，求解后验证是否符合对应时间范围即可。
【解析】
(1) $\because \vert a - 8\vert + (b - 2)^2 = 0$，且$\vert a-8\vert≥0$，$(b-2)^2≥0$，
$\therefore a-8=0$，$b-2=0$，解得$a=8$，$b=2$。
(2) 设至少旋转$t$秒时，射线$AM$、射线$BQ$互相垂直，
如图①，设旋转后的射线$AM$、射线$BQ$交于点$O$，则$BO⊥ AO$，
$\therefore ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$。
$\because PQ// MN$，
$\therefore ∠ ABQ + ∠ BAM = 180°$，
$\therefore ∠ OBQ + ∠ OAM = 180° - (∠ ABO + ∠ BAO) = 180° - 90° = 90°$。
又$\because ∠ OBQ = 2t°$，$∠ OAM = 8t°$，
$\therefore 2t + 8t = 90$，
$\therefore 10t = 90$，$\therefore t = 9$。
(3) 设射线$AM$再转动$t$秒时，射线$AM$、射线$BQ$互相平行。
如图②，射线$AM$绕点$A$顺时针先转动15秒后，
$AM$转动至$AM'$的位置，
则$∠ MAM' = 15 × 8° = 120°$，
$\therefore ∠ M'AB = 180° - 45° - 120° = 15°$。
分两种情况：
①当$1.875 ＜ t ＜ 7.5$时，$∠ QBQ' = 2t°$，$∠ M'AM'' = 8t°$，
$\because PQ// MN$，
$\therefore ∠ BAN = 45° = ∠ ABQ$，
$\therefore ∠ ABQ' = 45° - 2t°$，$∠ BAM'' = ∠ M'AM'' - ∠ M'AB = 8t° - 15°$，
当$∠ ABQ' = ∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$，
$\therefore 45 - 2t = 8t - 15$，
$\therefore 10t = 60$，
解得$t = 6$，符合区间要求；
②当$7.5 ＜ t ＜ 13.125$时，$∠ QBQ' = 2t°$，$∠ NAM'' = 8(t - 7.5)° = 8t° - 60°$，
$\therefore ∠ ABQ' = 45° - 2t°$，$∠ BAM'' = 45° - (8t° - 60°) = 105° - 8t°$，
当$∠ ABQ' = ∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$，
此时，$45 - 2t = 105 - 8t$，
$\therefore 6t = 60$，解得$t = 10$，符合区间要求。
综上，$t = 6$或$10$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{2}$；
(2) $\boxed{9}$秒；
(3) $\boxed{6}$秒或$\boxed{10}$秒。
【知识点】
非负数的性质，平行线的性质，动态角度计算
【点评】
本题属于动态几何综合题，结合了代数中非负数的运算和几何中平行线的判定、旋转角度计算，解题的关键是对旋转过程进行分类讨论，根据平行、垂直的几何性质找到角度等量关系建立方程，同时要注意验证解是否符合给定的时间范围。
【难度系数】
0.3
(1) 利用非负数的性质求解：绝对值和偶次幂均为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此列等式即可求出a、b的值。
(2) 求两射线垂直的最短时间：首先根据垂直的性质得到相交形成的直角对应的两个锐角和为90°，再结合平行线同旁内角互补的性质，推导出两条射线转过的角度和为90°，根据旋转速度表示转过的角度，列方程求解即可。
(3) 求两射线平行的时间：先计算AM先转动15秒转过的角度，确定AM的初始位置。由于AM转动速度更快，在BQ第一次到达BA前，AM会经历“转到AN前”和“转到AN后回转”两个阶段，因此分两种情况讨论，根据两射线平行时内错角相等的关系列方程，求解后验证是否符合对应时间范围即可。
【解析】
(1) $\because \vert a - 8\vert + (b - 2)^2 = 0$，且$\vert a-8\vert≥0$，$(b-2)^2≥0$，
$\therefore a-8=0$，$b-2=0$，解得$a=8$，$b=2$。
(2) 设至少旋转$t$秒时，射线$AM$、射线$BQ$互相垂直，
如图①，设旋转后的射线$AM$、射线$BQ$交于点$O$，则$BO⊥ AO$，
$\therefore ∠ ABO + ∠ BAO = 90°$。
$\because PQ// MN$，
$\therefore ∠ ABQ + ∠ BAM = 180°$，
$\therefore ∠ OBQ + ∠ OAM = 180° - (∠ ABO + ∠ BAO) = 180° - 90° = 90°$。
又$\because ∠ OBQ = 2t°$，$∠ OAM = 8t°$，
$\therefore 2t + 8t = 90$，
$\therefore 10t = 90$，$\therefore t = 9$。
(3) 设射线$AM$再转动$t$秒时，射线$AM$、射线$BQ$互相平行。
如图②，射线$AM$绕点$A$顺时针先转动15秒后，
$AM$转动至$AM'$的位置，
则$∠ MAM' = 15 × 8° = 120°$，
$\therefore ∠ M'AB = 180° - 45° - 120° = 15°$。
分两种情况：
①当$1.875 ＜ t ＜ 7.5$时，$∠ QBQ' = 2t°$，$∠ M'AM'' = 8t°$，
$\because PQ// MN$，
$\therefore ∠ BAN = 45° = ∠ ABQ$，
$\therefore ∠ ABQ' = 45° - 2t°$，$∠ BAM'' = ∠ M'AM'' - ∠ M'AB = 8t° - 15°$，
当$∠ ABQ' = ∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$，
$\therefore 45 - 2t = 8t - 15$，
$\therefore 10t = 60$，
解得$t = 6$，符合区间要求；
②当$7.5 ＜ t ＜ 13.125$时，$∠ QBQ' = 2t°$，$∠ NAM'' = 8(t - 7.5)° = 8t° - 60°$，
$\therefore ∠ ABQ' = 45° - 2t°$，$∠ BAM'' = 45° - (8t° - 60°) = 105° - 8t°$，
当$∠ ABQ' = ∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$，
此时，$45 - 2t = 105 - 8t$，
$\therefore 6t = 60$，解得$t = 10$，符合区间要求。
综上，$t = 6$或$10$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{2}$；
(2) $\boxed{9}$秒；
(3) $\boxed{6}$秒或$\boxed{10}$秒。
【知识点】
非负数的性质，平行线的性质，动态角度计算
【点评】
本题属于动态几何综合题，结合了代数中非负数的运算和几何中平行线的判定、旋转角度计算，解题的关键是对旋转过程进行分类讨论，根据平行、垂直的几何性质找到角度等量关系建立方程，同时要注意验证解是否符合给定的时间范围。
【难度系数】
0.3
