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1. 填空题(将正确答案填在括号里)。
(1)找规律填数。
①1，4，9，16，(
②1，3，7，15，31，(
③$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{9}{8}}$，$\boldsymbol{\frac{27}{16}}$，(
(2)由2、3、5组成的没有重复数字的三位数共有(
(3)如图，从A地到B地有两条路，从B地到C地有三条路，从A地到B地再到C地共有(
(4)4个点最多可以连(
(5)学校为艺术节选送节目，要从5个节目中选出2个，一共有(
(6)三角形的内角和是$180°$，四边形的内角和是$(4-2)×180°$，六边形的内角和是(
(1)找规律填数。
①1，4，9，16，(
25
)，(36
)，49，…②1，3，7，15，31，(
63
)，(127
)，255，…③$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{9}{8}}$，$\boldsymbol{\frac{27}{16}}$，(
$\frac{81}{32}$
)，($\frac{243}{64}$
)，…(2)由2、3、5组成的没有重复数字的三位数共有(
6
)个。(3)如图，从A地到B地有两条路，从B地到C地有三条路，从A地到B地再到C地共有(
6
)种走法。(4)4个点最多可以连(
6
)条线段，7个点最多可以连(21
)条线段。(5)学校为艺术节选送节目，要从5个节目中选出2个，一共有(
10
)种选送方案。(6)三角形的内角和是$180°$，四边形的内角和是$(4-2)×180°$，六边形的内角和是(
$720°$
)。答案
(1) ①25 36 ②63 127
③$\frac{81}{32}$ $\frac{243}{64}$
(2) 6
(3) 6
(4) 6 21
(5) 10
(6) $720°$
③$\frac{81}{32}$ $\frac{243}{64}$
(2) 6
(3) 6
(4) 6 21
(5) 10
(6) $720°$
解析
【分析】
1. 对于找规律填数的题目：
①观察数列中的数字，发现每个数都是对应序号的平方，即第n个数为n²，据此计算后续数字。
②分析相邻数字的差，差依次为2、4、8、16，后一个差是前一个的2倍，也可总结为第n个数是2ⁿ-1，据此推导后续数字。
③分别观察分子和分母的规律，分子是前一个分子的3倍，分母是前一个分母的2倍，按此规律计算后续分数。
2. 组成无重复数字的三位数：利用排列思想，百位有3种选择，十位有2种剩余选择，个位有1种选择，用乘法计算总数。
3. 路线搭配问题：根据乘法原理，A到B的每条路都能搭配B到C的所有路线，用A到B的路线数乘B到C的路线数即可。
4. 点连线段问题：n个点最多连线段数的公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入点数计算即可。
5. 节目选送方案：属于组合问题，用组合公式$\frac{n(n-1)}{2}$（n为总数）计算选法数量。
6. 多边形内角和：利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$（n为边数），代入六边形的边数计算。
【解析】
(1) ①
观察数列：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，因此第5个数为$5^2=25$，第6个数为$6^2=36$。
②
观察数列相邻项的差：$3-1=2$，$7-3=4$，$15-7=8$，$31-15=16$，差依次为2的倍数且后一个差是前一个的2倍，下一个差为$16×2=32$，则$31+32=63$；再下一个差为$32×2=64$，则$63+64=127$。
③
分子规律：后一个分子是前一个的3倍，$27×3=81$，$81×3=243$；
分母规律：后一个分母是前一个的2倍，$16×2=32$，$32×2=64$；
因此这两个分数为$\frac{81}{32}$，$\frac{243}{64}$。
(2)
百位有3种选择，十位有2种选择，个位有1种选择，总个数为：$3×2×1=6$（个）。
(3)
根据乘法原理，总走法为：$2×3=6$（种）。
(4)
n个点最多连线段数公式：$\frac{n(n-1)}{2}$
4个点：$\frac{4×(4-1)}{2}=\frac{12}{2}=6$（条）
7个点：$\frac{7×(7-1)}{2}=\frac{42}{2}=21$（条）
(5)
从5个节目选2个，组合数为：$\frac{5×4}{2×1}=10$（种）
(6)
六边形边数$n=6$，代入多边形内角和公式：$(6-2)×180°=4×180°=720°$
【答案】
(1) ①25 36 ②63 127 ③$\frac{81}{32}$ $\frac{243}{64}$
(2) 6
(3) 6
(4) 6 21
(5) 10
(6) $720°$
【知识点】
数字规律探索、排列组合、多边形内角和公式
【点评】
本题涵盖数字规律、排列组合、乘法原理、多边形内角和等多个基础知识点，既考查学生的观察推理能力，也考查对基础公式的应用能力，题目注重基础知识的巩固，题型较为典型。
【难度系数】
0.6
1. 对于找规律填数的题目：
①观察数列中的数字，发现每个数都是对应序号的平方，即第n个数为n²，据此计算后续数字。
②分析相邻数字的差，差依次为2、4、8、16，后一个差是前一个的2倍，也可总结为第n个数是2ⁿ-1，据此推导后续数字。
③分别观察分子和分母的规律，分子是前一个分子的3倍，分母是前一个分母的2倍，按此规律计算后续分数。
2. 组成无重复数字的三位数：利用排列思想，百位有3种选择，十位有2种剩余选择，个位有1种选择，用乘法计算总数。
3. 路线搭配问题：根据乘法原理，A到B的每条路都能搭配B到C的所有路线，用A到B的路线数乘B到C的路线数即可。
4. 点连线段问题：n个点最多连线段数的公式为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入点数计算即可。
5. 节目选送方案：属于组合问题，用组合公式$\frac{n(n-1)}{2}$（n为总数）计算选法数量。
6. 多边形内角和：利用多边形内角和公式$(n-2)×180°$（n为边数），代入六边形的边数计算。
【解析】
(1) ①
观察数列：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$，$16=4^2$，因此第5个数为$5^2=25$，第6个数为$6^2=36$。
②
观察数列相邻项的差：$3-1=2$，$7-3=4$，$15-7=8$，$31-15=16$，差依次为2的倍数且后一个差是前一个的2倍，下一个差为$16×2=32$，则$31+32=63$；再下一个差为$32×2=64$，则$63+64=127$。
③
分子规律：后一个分子是前一个的3倍，$27×3=81$，$81×3=243$；
分母规律：后一个分母是前一个的2倍，$16×2=32$，$32×2=64$；
因此这两个分数为$\frac{81}{32}$，$\frac{243}{64}$。
(2)
百位有3种选择，十位有2种选择，个位有1种选择，总个数为：$3×2×1=6$（个）。
(3)
根据乘法原理，总走法为：$2×3=6$（种）。
(4)
n个点最多连线段数公式：$\frac{n(n-1)}{2}$
4个点：$\frac{4×(4-1)}{2}=\frac{12}{2}=6$（条）
7个点：$\frac{7×(7-1)}{2}=\frac{42}{2}=21$（条）
(5)
从5个节目选2个，组合数为：$\frac{5×4}{2×1}=10$（种）
(6)
六边形边数$n=6$，代入多边形内角和公式：$(6-2)×180°=4×180°=720°$
【答案】
(1) ①25 36 ②63 127 ③$\frac{81}{32}$ $\frac{243}{64}$
(2) 6
(3) 6
(4) 6 21
(5) 10
(6) $720°$
【知识点】
数字规律探索、排列组合、多边形内角和公式
【点评】
本题涵盖数字规律、排列组合、乘法原理、多边形内角和等多个基础知识点，既考查学生的观察推理能力，也考查对基础公式的应用能力，题目注重基础知识的巩固，题型较为典型。
【难度系数】
0.6
2. 找规律，画一画。
（1）请你画出第4个图形。
$\boldsymbol{①}$ $\boldsymbol{②}$ $\boldsymbol{③}$ $\boldsymbol{④}$
（2）第10个图形有多少个小三角形？第n个图形有多少个小三角形？
（1）请你画出第4个图形。
$\boldsymbol{①}$ $\boldsymbol{②}$ $\boldsymbol{③}$ $\boldsymbol{④}$
提示：16个小三角形（图略）
（2）第10个图形有多少个小三角形？第n个图形有多少个小三角形？
答案
(1) 提示：16个小三角形（图略）
(2) $10^{2}=100$（个） $n^{2}$个
(2) $10^{2}=100$（个） $n^{2}$个
解析
【分析】
首先观察已知的三个图形，数出每个图形中小三角形的数量：第①个图形有1个小三角形，即$1^2$；第②个图形有4个小三角形，即$2^2$；第③个图形有9个小三角形，即$3^2$。由此可总结规律：第$m$个图形中小三角形的数量为$m^2$个。
对于(1)，第4个图形对应的$m=4$，所以小三角形数量是$4^2=16$个，按照前面图形的排列方式，画出由16个小三角形组成的大三角形即可；
对于(2)，根据总结的规律，将$m=10$代入规律式计算第10个图形的小三角形数量，用$n$表示第$n$个图形的小三角形数量。
【解析】
(1) 分析图形数量规律：
第①个图形：$1=1^2$个小三角形；
第②个图形：$4=2^2$个小三角形；
第③个图形：$9=3^2$个小三角形；
因此第4个图形的小三角形数量为$4^2=16$个，画出由16个小三角形组成的大三角形（图形为在第③个图形基础上，外层再增加一圈小三角形，形成边长为4个小三角形边长的大三角形）。
(2) 根据总结的规律计算：
第10个图形的小三角形数量：$10^2=100$（个）；
第$n$个图形的小三角形数量：$n^2$个。
【答案】
(1) 画出由16个小三角形组成的大三角形（图略）；
(2) 第10个图形有100个小三角形，第$n$个图形有$n^2$个小三角形。
【知识点】
图形规律探究，平方数应用
【点评】
本题通过观察图形中小三角形的数量变化，总结出平方数的对应规律，考查了学生的观察能力与归纳推理能力，需要准确建立图形序号和小三角形数量之间的对应关系。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的三个图形，数出每个图形中小三角形的数量：第①个图形有1个小三角形，即$1^2$；第②个图形有4个小三角形，即$2^2$；第③个图形有9个小三角形，即$3^2$。由此可总结规律：第$m$个图形中小三角形的数量为$m^2$个。
对于(1)，第4个图形对应的$m=4$，所以小三角形数量是$4^2=16$个，按照前面图形的排列方式，画出由16个小三角形组成的大三角形即可；
对于(2)，根据总结的规律，将$m=10$代入规律式计算第10个图形的小三角形数量，用$n$表示第$n$个图形的小三角形数量。
【解析】
(1) 分析图形数量规律：
第①个图形：$1=1^2$个小三角形；
第②个图形：$4=2^2$个小三角形；
第③个图形：$9=3^2$个小三角形；
因此第4个图形的小三角形数量为$4^2=16$个，画出由16个小三角形组成的大三角形（图形为在第③个图形基础上，外层再增加一圈小三角形，形成边长为4个小三角形边长的大三角形）。
(2) 根据总结的规律计算：
第10个图形的小三角形数量：$10^2=100$（个）；
第$n$个图形的小三角形数量：$n^2$个。
【答案】
(1) 画出由16个小三角形组成的大三角形（图略）；
(2) 第10个图形有100个小三角形，第$n$个图形有$n^2$个小三角形。
【知识点】
图形规律探究，平方数应用
【点评】
本题通过观察图形中小三角形的数量变化，总结出平方数的对应规律，考查了学生的观察能力与归纳推理能力，需要准确建立图形序号和小三角形数量之间的对应关系。
【难度系数】
0.7
