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3. 先仔细观察下列各图中正方形的个数与直角三角形的个数有什么关系，再把下表填写完整。
答案
12 36 $4(n-1)$
解析
【分析】
首先我们需要先观察不同正方形个数对应的直角三角形数量，建立两者的对应关系：
1. 当正方形个数为1时，直角三角形个数是0；
2. 当正方形个数为2时，直角三角形个数是4；
3. 当正方形个数为3时，直角三角形个数是8；
接着对比这几组数据，尝试找规律：$0=4×(1-1)$，$4=4×(2-1)$，$8=4×(3-1)$，可以发现直角三角形个数等于4乘以（正方形个数-1）。之后利用这个规律，就可以计算出表格中未知的直角三角形个数，同时总结出通用的表达式。
【解析】
1. 观察图形，列出对应数据：
正方形个数$n=1$，直角三角形个数：$4×(1-1)=0$
正方形个数$n=2$，直角三角形个数：$4×(2-1)=4$
正方形个数$n=3$，直角三角形个数：$4×(3-1)=8$
2. 推导规律：直角三角形个数与正方形个数$n$的关系为$4(n-1)$（$n≥1$，$n$为正整数）
3. 计算表格中的数值：
当正方形个数为4时，直角三角形个数：$4×(4-1)=12$
当正方形个数为10时，直角三角形个数：$4×(10-1)=36$
【答案】
12 36 $4(n-1)$
【知识点】
图形规律探索、代数式表示规律
【点评】
本题通过观察正方形个数与直角三角形个数的对应关系，考查学生的观察能力与归纳总结能力，需要从具体图形中抽象出通用的数学表达式，有助于培养逻辑推理和抽象思维能力。
【难度系数】
0.7
首先我们需要先观察不同正方形个数对应的直角三角形数量，建立两者的对应关系：
1. 当正方形个数为1时，直角三角形个数是0；
2. 当正方形个数为2时，直角三角形个数是4；
3. 当正方形个数为3时，直角三角形个数是8；
接着对比这几组数据，尝试找规律：$0=4×(1-1)$，$4=4×(2-1)$，$8=4×(3-1)$，可以发现直角三角形个数等于4乘以（正方形个数-1）。之后利用这个规律，就可以计算出表格中未知的直角三角形个数，同时总结出通用的表达式。
【解析】
1. 观察图形，列出对应数据：
正方形个数$n=1$，直角三角形个数：$4×(1-1)=0$
正方形个数$n=2$，直角三角形个数：$4×(2-1)=4$
正方形个数$n=3$，直角三角形个数：$4×(3-1)=8$
2. 推导规律：直角三角形个数与正方形个数$n$的关系为$4(n-1)$（$n≥1$，$n$为正整数）
3. 计算表格中的数值：
当正方形个数为4时，直角三角形个数：$4×(4-1)=12$
当正方形个数为10时，直角三角形个数：$4×(10-1)=36$
【答案】
12 36 $4(n-1)$
【知识点】
图形规律探索、代数式表示规律
【点评】
本题通过观察正方形个数与直角三角形个数的对应关系，考查学生的观察能力与归纳总结能力，需要从具体图形中抽象出通用的数学表达式，有助于培养逻辑推理和抽象思维能力。
【难度系数】
0.7
4. 按下面方式摆桌子和椅子，1张桌子可坐4人，2张桌子可坐6人，……
按照上面的方式继续摆下去，6张桌子可坐多少人？15张桌子呢？
按照上面的方式继续摆下去，6张桌子可坐多少人？15张桌子呢？
答案
14人 32人
解析
【分析】
首先观察桌子数量与可坐人数的对应关系：1张桌子坐4人，2张桌子坐6人，3张桌子坐8人。可以发现每增加1张桌子，可坐人数增加2人。进一步推导通用公式：设桌子数量为$n$，1张桌子时$4=2×1+2$，2张桌子时$6=2×2+2$，3张桌子时$8=2×3+2$，因此可得出$n$张桌子可坐人数的公式为$2n+2$。最后分别代入$n=6$和$n=15$计算即可。
【解析】
步骤1：推导规律公式
观察已知条件：
1张桌子：$4 = 2×1 + 2$
2张桌子：$6 = 2×2 + 2$
3张桌子：$8 = 2×3 + 2$
由此可得，$n$张桌子可坐人数的公式为：$\mathrm{人数}=2n+2$（$n$为桌子数量）
步骤2：计算6张桌子可坐人数
将$n=6$代入公式：
$2×6 + 2 = 12 + 2 = 14$（人）
步骤3：计算15张桌子可坐人数
将$n=15$代入公式：
$2×15 + 2 = 30 + 2 = 32$（人）
【答案】
6张桌子可坐14人，15张桌子可坐32人
【知识点】
找规律、代数式求值
【点评】
本题属于典型的找规律问题，解题关键是通过观察已知数量关系，归纳出通用表达式，再利用表达式计算。既考查了归纳总结能力，也锻炼了代数运算能力，是基础的规律探究题型。
【难度系数】
0.7
首先观察桌子数量与可坐人数的对应关系：1张桌子坐4人，2张桌子坐6人，3张桌子坐8人。可以发现每增加1张桌子，可坐人数增加2人。进一步推导通用公式：设桌子数量为$n$，1张桌子时$4=2×1+2$，2张桌子时$6=2×2+2$，3张桌子时$8=2×3+2$，因此可得出$n$张桌子可坐人数的公式为$2n+2$。最后分别代入$n=6$和$n=15$计算即可。
【解析】
步骤1：推导规律公式
观察已知条件：
1张桌子：$4 = 2×1 + 2$
2张桌子：$6 = 2×2 + 2$
3张桌子：$8 = 2×3 + 2$
由此可得，$n$张桌子可坐人数的公式为：$\mathrm{人数}=2n+2$（$n$为桌子数量）
步骤2：计算6张桌子可坐人数
将$n=6$代入公式：
$2×6 + 2 = 12 + 2 = 14$（人）
步骤3：计算15张桌子可坐人数
将$n=15$代入公式：
$2×15 + 2 = 30 + 2 = 32$（人）
【答案】
6张桌子可坐14人，15张桌子可坐32人
【知识点】
找规律、代数式求值
【点评】
本题属于典型的找规律问题，解题关键是通过观察已知数量关系，归纳出通用表达式，再利用表达式计算。既考查了归纳总结能力，也锻炼了代数运算能力，是基础的规律探究题型。
【难度系数】
0.7
5. 小芳有1角、5角、1元的硬币各10枚，要取出1.5元，共有多少种不同的组合方法？
答案
5种
解析
【分析】
我们可以采用分类讨论的思路，从面值最大的1元硬币入手，因为大面值硬币的使用数量限制更明确，能有效避免重复或遗漏。首先确定1元硬币的使用数量：最多用1枚（2枚1元超过1.5元），然后分“使用1元硬币”和“不使用1元硬币”两种情况，分别计算剩下的金额用5角、1角硬币的组合方式，最后汇总所有符合条件的组合。
【解析】
我们分两种情况进行列举：
1. 使用1枚1元硬币，需凑剩余的0.5元：
组合1：1元 + 1枚5角，总金额为$1+0.5=1.5$元，符合要求；
组合2：1元 + 5枚1角，总金额为$1+0.1×5=1.5$元，符合要求；
2. 不使用1元硬币，需凑1.5元：
组合3：3枚5角，总金额为$0.5×3=1.5$元，符合要求；
组合4：2枚5角 + 5枚1角，总金额为$0.5×2+0.1×5=1.5$元，符合要求；
组合5：1枚5角 + 10枚1角，总金额为$0.5+0.1×10=1.5$元，符合要求；
综上，一共有5种不同的组合方法。
【答案】
5种
【知识点】
分类讨论思想，人民币组合计算
【点评】
本题考查有序思考和分类讨论的能力，通过从大面值到小面值的分类列举，能清晰梳理出所有符合条件的组合，解题时需注意每种硬币的数量限制（各10枚），本题列举的组合均未超过数量上限，确保了结果的正确性。
【难度系数】
0.6
我们可以采用分类讨论的思路，从面值最大的1元硬币入手，因为大面值硬币的使用数量限制更明确，能有效避免重复或遗漏。首先确定1元硬币的使用数量：最多用1枚（2枚1元超过1.5元），然后分“使用1元硬币”和“不使用1元硬币”两种情况，分别计算剩下的金额用5角、1角硬币的组合方式，最后汇总所有符合条件的组合。
【解析】
我们分两种情况进行列举：
1. 使用1枚1元硬币，需凑剩余的0.5元：
组合1：1元 + 1枚5角，总金额为$1+0.5=1.5$元，符合要求；
组合2：1元 + 5枚1角，总金额为$1+0.1×5=1.5$元，符合要求；
2. 不使用1元硬币，需凑1.5元：
组合3：3枚5角，总金额为$0.5×3=1.5$元，符合要求；
组合4：2枚5角 + 5枚1角，总金额为$0.5×2+0.1×5=1.5$元，符合要求；
组合5：1枚5角 + 10枚1角，总金额为$0.5+0.1×10=1.5$元，符合要求；
综上，一共有5种不同的组合方法。
【答案】
5种
【知识点】
分类讨论思想，人民币组合计算
【点评】
本题考查有序思考和分类讨论的能力，通过从大面值到小面值的分类列举，能清晰梳理出所有符合条件的组合，解题时需注意每种硬币的数量限制（各10枚），本题列举的组合均未超过数量上限，确保了结果的正确性。
【难度系数】
0.6
6. 下面的图形是由边长为1 cm的小正方形按某种规律排列而成的。
$\boldsymbol{①}$ $\boldsymbol{②}$ $\boldsymbol{③}$ $\boldsymbol{④}$
(1)观察图形，填写下表。
(2)按上面的排法，第10个图形中，正方形的个数是(
$\boldsymbol{①}$ $\boldsymbol{②}$ $\boldsymbol{③}$ $\boldsymbol{④}$
(1)观察图形，填写下表。
(2)按上面的排法，第10个图形中，正方形的个数是(
48
)，周长是(98
)cm。答案
(1) 8 18 13 28 18 38
(2) 48 98
(2) 48 98
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要通过观察图形的变化，分别找出正方形个数和周长的规律：
1. 正方形个数规律：对比相邻图形，发现后一个图形的正方形个数比前一个多5个，属于公差为5的等差数列。
2. 周长规律：相邻图形的周长依次增加10cm，属于公差为10的等差数列。
3. 填写表格：根据观察到的规律，对应填入每个图形的正方形个数和周长。
4. 计算第10个图形：先推导正方形个数和周长的通项公式，再代入n=10计算出结果。
【解析】
(1) 观察图形的变化规律：
图形②的正方形个数为8，周长为18cm；
图形③的正方形个数比图形②多5，即 $8+5=13$，周长比图形②多10，即 $18+10=28$cm；
图形④的正方形个数比图形③多5，即 $13+5=18$，周长比图形③多10，即 $28+10=38$cm；
因此表格填写结果为8、18、13、28、18、38。
(2) 推导通项公式并计算第10个图形：
正方形个数：第$n$个图形的正方形个数为 $5n-2$（验证：$n=1$时，$5×1-2=3$，符合图形①；$n=2$时，$5×2-2=8$，符合图形②）；
当$n=10$时，$5×10-2=48$；
周长：第$n$个图形的周长为 $10n-2$（验证：$n=1$时，$10×1-2=8$，符合图形①；$n=2$时，$10×2-2=18$，符合图形②）；
当$n=10$时，$10×10-2=98$；
【答案】
(1) 8 18 13 28 18 38
(2) 48 98
【知识点】
等差数列找规律、图形规律探究
【点评】
本题重点考查图形规律的探究能力，需要通过观察相邻图形的数量和周长变化，归纳出等差数列规律，再利用通项公式求解后续图形的数值，锻炼学生的观察归纳与数学运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要通过观察图形的变化，分别找出正方形个数和周长的规律：
1. 正方形个数规律：对比相邻图形，发现后一个图形的正方形个数比前一个多5个，属于公差为5的等差数列。
2. 周长规律：相邻图形的周长依次增加10cm，属于公差为10的等差数列。
3. 填写表格：根据观察到的规律，对应填入每个图形的正方形个数和周长。
4. 计算第10个图形：先推导正方形个数和周长的通项公式，再代入n=10计算出结果。
【解析】
(1) 观察图形的变化规律：
图形②的正方形个数为8，周长为18cm；
图形③的正方形个数比图形②多5，即 $8+5=13$，周长比图形②多10，即 $18+10=28$cm；
图形④的正方形个数比图形③多5，即 $13+5=18$，周长比图形③多10，即 $28+10=38$cm；
因此表格填写结果为8、18、13、28、18、38。
(2) 推导通项公式并计算第10个图形：
正方形个数：第$n$个图形的正方形个数为 $5n-2$（验证：$n=1$时，$5×1-2=3$，符合图形①；$n=2$时，$5×2-2=8$，符合图形②）；
当$n=10$时，$5×10-2=48$；
周长：第$n$个图形的周长为 $10n-2$（验证：$n=1$时，$10×1-2=8$，符合图形①；$n=2$时，$10×2-2=18$，符合图形②）；
当$n=10$时，$10×10-2=98$；
【答案】
(1) 8 18 13 28 18 38
(2) 48 98
【知识点】
等差数列找规律、图形规律探究
【点评】
本题重点考查图形规律的探究能力，需要通过观察相邻图形的数量和周长变化，归纳出等差数列规律，再利用通项公式求解后续图形的数值，锻炼学生的观察归纳与数学运算能力。
【难度系数】
0.6
