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1 [2026 崇川段测]下列各式中，$y$ 是 $x$ 的二次函数的是（
A.$y=3x+1$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=ax^2+bx+c$
C
）A.$y=3x+1$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=ax^2+bx+c$
答案
1. C
解析
【分析】要判断y是否为x的二次函数，需依据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数，需满足三个核心条件：①是整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来逐一分析选项是否符合这些条件。
【解析】
选项A：$y=3x+1$中，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含自变量$x$，是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义，排除；
选项C：将$y=(x-1)^2$展开得$y=x^2-2x+1$，是整式函数，$x$的最高次数为2，且二次项系数为1≠0，完全符合二次函数定义，正确；
选项D：$y=ax^2+bx+c$未明确$a≠0$，若$a=0$，则函数退化为一次函数或常数函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【点评】本题考查二次函数的定义，需准确把握整式形式、自变量最高次数、二次项系数不为0这三个关键要素，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：$y=3x+1$中，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含自变量$x$，是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义，排除；
选项C：将$y=(x-1)^2$展开得$y=x^2-2x+1$，是整式函数，$x$的最高次数为2，且二次项系数为1≠0，完全符合二次函数定义，正确；
选项D：$y=ax^2+bx+c$未明确$a≠0$，若$a=0$，则函数退化为一次函数或常数函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【点评】本题考查二次函数的定义，需准确把握整式形式、自变量最高次数、二次项系数不为0这三个关键要素，属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.7
2 [2026 海安段测]抛物线 $y=-3(x-2)^2$ 的对称轴是（
A.直线 $x=3$
B.直线 $x=2$
C.直线 $x=-3$
D.直线 $x=-2$
B
）A.直线 $x=3$
B.直线 $x=2$
C.直线 $x=-3$
D.直线 $x=-2$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定抛物线的对称轴，需掌握抛物线顶点式的对称轴规律：对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$。本题给出的抛物线$y=-3(x-2)^2$属于顶点式，只需找到对应$h$的值即可确定对称轴。
【解析】
抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴是直线$x=h$，本题中抛物线$y=-3(x-2)^2$的$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
抛物线的对称轴、顶点式
【点评】
本题考查抛物线顶点式的对称轴，属于基础知识点，牢记顶点式的对称轴公式即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线的对称轴，需掌握抛物线顶点式的对称轴规律：对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=h$。本题给出的抛物线$y=-3(x-2)^2$属于顶点式，只需找到对应$h$的值即可确定对称轴。
【解析】
抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴是直线$x=h$，本题中抛物线$y=-3(x-2)^2$的$h=2$，因此对称轴为直线$x=2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
抛物线的对称轴、顶点式
【点评】
本题考查抛物线顶点式的对称轴，属于基础知识点，牢记顶点式的对称轴公式即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.9
3 已知二次函数 $y=x^{2}-2x-1$. 当 $0 ≤ x ≤ 3$ 时, 函数的最大值为（
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
D
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案
3. D
解析
【分析】要确定二次函数在区间$0 ≤ x ≤ 3$的最大值，需先分析二次函数的开口方向、对称轴，结合区间位置判断最值所在点，再计算对应函数值比较得出结果。
【解析】先将二次函数配方：$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，其中$a=1＞0$，函数开口向上，对称轴为直线$x=1$。对称轴$x=1$在区间$0 ≤ x ≤ 3$内，开口向上的二次函数在闭区间上的最大值出现在区间端点处。分别计算端点函数值：当$x=0$时，$y=(0-1)^2-2=-1$；当$x=3$时，$y=(3-1)^2-2=2$。比较得最大值为2。
【答案】D
【知识点】二次函数的最值、二次函数的图像性质
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值求解，核心是利用二次函数的开口方向和对称轴确定最值位置，计算简单，属于基础题型，需注意区分区间端点与顶点的函数值，避免混淆最值。
【难度系数】0.7
【解析】先将二次函数配方：$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，其中$a=1＞0$，函数开口向上，对称轴为直线$x=1$。对称轴$x=1$在区间$0 ≤ x ≤ 3$内，开口向上的二次函数在闭区间上的最大值出现在区间端点处。分别计算端点函数值：当$x=0$时，$y=(0-1)^2-2=-1$；当$x=3$时，$y=(3-1)^2-2=2$。比较得最大值为2。
【答案】D
【知识点】二次函数的最值、二次函数的图像性质
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值求解，核心是利用二次函数的开口方向和对称轴确定最值位置，计算简单，属于基础题型，需注意区分区间端点与顶点的函数值，避免混淆最值。
【难度系数】0.7
4 小明准备画一个二次函数的图象,他首先列出下表,但在填写函数值时,不小心把其中一个滴上了墨水,那么这个被滴上了墨水的函数值是（
A.$-1$
B.$3$
C.$4$
D.$0$
D
）A.$-1$
B.$3$
C.$4$
D.$0$
答案
4. D
解析
【分析】要解决这个问题，需先根据表格中给出的二次函数对应点，用待定系数法求出二次函数的解析式，再代入$x=-1$计算对应的函数值，即可得到被墨水遮住的数值。
【解析】设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$，将表格中的点代入解析式：
1. 当$x=0$时，$y=3$，代入得$c=3$；
2. 当$x=1$时，$y=4$，代入得$a + b + c = 4$，结合$c=3$，得$a + b =1$；
3. 当$x=2$时，$y=3$，代入得$4a + 2b + c =3$，结合$c=3$，得$4a +2b=0$，化简为$2a + b=0$；
联立方程组$\begin{cases}a + b=1 \\2a + b=0\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程，得$a=-1$，将$a=-1$代入$a + b=1$，得$b=2$；
因此二次函数解析式为$y=-x^2 +2x +3$；
当$x=-1$时，代入解析式得：$y=-(-1)^2 +2×(-1)+3=-1-2+3=0$，即被墨水遮住的函数值为0。
【答案】0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数的函数值计算
【点评】本题是基础的二次函数应用题型，核心是掌握用待定系数法求二次函数解析式，再代入自变量求对应函数值，难度不大，属于常规题。
【难度系数】0.5
【解析】设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$，将表格中的点代入解析式：
1. 当$x=0$时，$y=3$，代入得$c=3$；
2. 当$x=1$时，$y=4$，代入得$a + b + c = 4$，结合$c=3$，得$a + b =1$；
3. 当$x=2$时，$y=3$，代入得$4a + 2b + c =3$，结合$c=3$，得$4a +2b=0$，化简为$2a + b=0$；
联立方程组$\begin{cases}a + b=1 \\2a + b=0\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程，得$a=-1$，将$a=-1$代入$a + b=1$，得$b=2$；
因此二次函数解析式为$y=-x^2 +2x +3$；
当$x=-1$时，代入解析式得：$y=-(-1)^2 +2×(-1)+3=-1-2+3=0$，即被墨水遮住的函数值为0。
【答案】0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数的函数值计算
【点评】本题是基础的二次函数应用题型，核心是掌握用待定系数法求二次函数解析式，再代入自变量求对应函数值，难度不大，属于常规题。
【难度系数】0.5
5 如图所示为函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象,则下列式子能成立的是 （
A.$abc＞0$
B.$a+b+c＜0$
C.$b＜a+c$
D.$2c＜3b$
D
）A.$abc＞0$
B.$a+b+c＜0$
C.$b＜a+c$
D.$2c＜3b$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决本题，需先根据二次函数图像确定a、b、c的符号及关系：由抛物线开口向下得a＜0；对称轴为直线x=1，结合对称轴公式x=-b/(2a)=1，得b=-2a，故b＞0；抛物线与y轴交于正半轴，得c＞0。再结合特殊点（如x=1、x=-1）的函数值，逐一分析各选项。
【解析】
解：根据二次函数图像性质：
1. 抛物线开口向下，因此a＜0；
2. 对称轴为直线x=1，由对称轴公式x=-b/(2a)=1，可得b=-2a，结合a＜0，推出b＞0；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0。
对各选项逐一分析：
选项A：abc的符号：a＜0，b＞0，c＞0，故abc=负×正×正=负，即abc＜0，A错误；
选项B：a+b+c是x=1时的函数值，由图像可知x=1时抛物线在x轴上方，即y=a+b+c＞0，B错误；
选项C：当x=-1时，函数值为y=a×(-1)² + b×(-1)+c = a - b + c，由图像可知x=-1时抛物线在x轴下方，即y=a - b + c ＜0，整理得a + c ＜ b，与选项C的b ＜ a+c矛盾，C错误；
选项D：由b=-2a得a=-b/2，代入x=-1时的函数值不等式a - b + c ＜0：
(-b/2) - b + c ＜ 0 → (-3b/2) + c ＜0 → c ＜ (3b)/2，两边同乘2得2c ＜3b，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；系数符号判断；函数值与x的关系
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，需熟练掌握开口方向、对称轴、与坐标轴交点对a、b、c符号的影响，结合特殊点的函数值分析选项，是二次函数的常考题型，需注意逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先根据二次函数图像确定a、b、c的符号及关系：由抛物线开口向下得a＜0；对称轴为直线x=1，结合对称轴公式x=-b/(2a)=1，得b=-2a，故b＞0；抛物线与y轴交于正半轴，得c＞0。再结合特殊点（如x=1、x=-1）的函数值，逐一分析各选项。
【解析】
解：根据二次函数图像性质：
1. 抛物线开口向下，因此a＜0；
2. 对称轴为直线x=1，由对称轴公式x=-b/(2a)=1，可得b=-2a，结合a＜0，推出b＞0；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0。
对各选项逐一分析：
选项A：abc的符号：a＜0，b＞0，c＞0，故abc=负×正×正=负，即abc＜0，A错误；
选项B：a+b+c是x=1时的函数值，由图像可知x=1时抛物线在x轴上方，即y=a+b+c＞0，B错误；
选项C：当x=-1时，函数值为y=a×(-1)² + b×(-1)+c = a - b + c，由图像可知x=-1时抛物线在x轴下方，即y=a - b + c ＜0，整理得a + c ＜ b，与选项C的b ＜ a+c矛盾，C错误；
选项D：由b=-2a得a=-b/2，代入x=-1时的函数值不等式a - b + c ＜0：
(-b/2) - b + c ＜ 0 → (-3b/2) + c ＜0 → c ＜ (3b)/2，两边同乘2得2c ＜3b，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；系数符号判断；函数值与x的关系
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，需熟练掌握开口方向、对称轴、与坐标轴交点对a、b、c符号的影响，结合特殊点的函数值分析选项，是二次函数的常考题型，需注意逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.5
6 [2026 崇川段测]已知二次函数 $y=(m-1)x^{2}+3x-1$ 的图象与 $x$ 轴有交点,则 $m$ 的取值范围是
$m≥-\dfrac{5}{4}$ 且 $m≠1$
.答案
6. $m≥-\dfrac{5}{4}$ 且 $m≠1$
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确二次函数与x轴有交点的两个关键条件：一是该函数为二次函数，二次项系数不能为0；二是对应的一元二次方程有实根，判别式Δ≥0。先分别确定这两个条件，再综合得出m的取值范围。
【解析】
1. 确定二次函数的条件：因为函数是二次函数，所以二次项系数不为0，即 $ m - 1 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 1 $。
2. 利用判别式求交点条件：二次函数与x轴有交点，等价于一元二次方程 $ (m-1)x^2 + 3x -1 = 0 $ 有实根，判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac ≥ 0 $。其中 $ a = m-1 $，$ b=3 $，$ c=-1 $，代入得：
$ \Delta = 3^2 - 4 × (m-1) × (-1) = 9 + 4(m-1) = 4m +5 ≥ 0 $
解不等式 $ 4m +5 ≥0 $，得 $ m ≥ -\frac{5}{4} $。
3. 综合两个条件，m的取值范围是 $ m ≥ -\frac{5}{4} $ 且 $ m ≠ 1 $。
【答案】
$ m ≥ -\dfrac{5}{4} $ 且 $ m ≠ 1 $
【知识点】
二次函数与x轴交点、判别式应用
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的性质，需注意二次项系数不为0的隐含条件，避免遗漏，属于基础题型，需仔细审题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确二次函数与x轴有交点的两个关键条件：一是该函数为二次函数，二次项系数不能为0；二是对应的一元二次方程有实根，判别式Δ≥0。先分别确定这两个条件，再综合得出m的取值范围。
【解析】
1. 确定二次函数的条件：因为函数是二次函数，所以二次项系数不为0，即 $ m - 1 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 1 $。
2. 利用判别式求交点条件：二次函数与x轴有交点，等价于一元二次方程 $ (m-1)x^2 + 3x -1 = 0 $ 有实根，判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac ≥ 0 $。其中 $ a = m-1 $，$ b=3 $，$ c=-1 $，代入得：
$ \Delta = 3^2 - 4 × (m-1) × (-1) = 9 + 4(m-1) = 4m +5 ≥ 0 $
解不等式 $ 4m +5 ≥0 $，得 $ m ≥ -\frac{5}{4} $。
3. 综合两个条件，m的取值范围是 $ m ≥ -\frac{5}{4} $ 且 $ m ≠ 1 $。
【答案】
$ m ≥ -\dfrac{5}{4} $ 且 $ m ≠ 1 $
【知识点】
二次函数与x轴交点、判别式应用
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的性质，需注意二次项系数不为0的隐含条件，避免遗漏，属于基础题型，需仔细审题。
【难度系数】
0.6
7 二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的部分图象如图所示.当$y＞0$时,$x$的取值范围是
$-1＜x＜3$
.答案
7. $-1＜x＜3$
解析
【分析】要确定当$y＞0$时$x$的取值范围，需先找到二次函数与$x$轴的所有交点。已知图像显示二次函数的对称轴为直线$x=1$，且与$x$轴的一个交点是$(-1,0)$，根据二次函数的对称性，可求出另一个与$x$轴的交点，再结合图像中$y＞0$的部分（即$x$轴上方的图像），即可得到$x$的取值范围。
【解析】由二次函数的图像可知，其对称轴为直线$x=1$，且与$x$轴的一个交点坐标为$(-1,0)$。根据二次函数图像的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，设另一个交点的横坐标为$m$，则$\frac{-1 + m}{2}=1$，解得$m=3$，即二次函数与$x$轴的另一个交点为$(3,0)$。观察图像，当$y＞0$时，图像位于$x$轴上方，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】$-1＜x＜3$
【知识点】二次函数图像与性质、二次函数的对称性
【点评】本题考查二次函数的对称性，利用对称轴求出二次函数与$x$轴的另一个交点，进而确定$y＞0$时的$x$范围，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】由二次函数的图像可知，其对称轴为直线$x=1$，且与$x$轴的一个交点坐标为$(-1,0)$。根据二次函数图像的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，设另一个交点的横坐标为$m$，则$\frac{-1 + m}{2}=1$，解得$m=3$，即二次函数与$x$轴的另一个交点为$(3,0)$。观察图像，当$y＞0$时，图像位于$x$轴上方，对应的$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】$-1＜x＜3$
【知识点】二次函数图像与性质、二次函数的对称性
【点评】本题考查二次函数的对称性，利用对称轴求出二次函数与$x$轴的另一个交点，进而确定$y＞0$时的$x$范围，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
8 已知二次函数 $y=x^{2}-(m-2)x+4$ 的图象的顶点在 $x$ 轴上,则 $m$ 的值为
6或-2
.答案
8. 6或-2
解析
【分析】首先明确二次函数顶点在x轴上的条件：二次函数图象与x轴只有一个交点，对应判别式Δ=b²-4ac=0。接下来确定该二次函数的a、b、c的值，代入判别式公式求解即可得到m的值。
【解析】对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点在x轴上时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中，$a=1$，$b=-(m-2)$，$c=4$，代入得：
$[-(m-2)]^2 - 4×1×4 = 0$
化简得：
$(m-2)^2 - 16 = 0 \implies (m-2)^2 = 16$
开平方得：
$m-2=4$ 或 $m-2=-4$
解得：$m=6$ 或 $m=-2$
【答案】6或-2
【知识点】二次函数顶点性质、判别式应用
【点评】本题考查二次函数顶点在x轴上的核心性质，利用判别式等于0的条件求解，属于基础题型，需熟练掌握二次函数与一元二次方程的关联。
【难度系数】0.6
【解析】对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点在x轴上时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中，$a=1$，$b=-(m-2)$，$c=4$，代入得：
$[-(m-2)]^2 - 4×1×4 = 0$
化简得：
$(m-2)^2 - 16 = 0 \implies (m-2)^2 = 16$
开平方得：
$m-2=4$ 或 $m-2=-4$
解得：$m=6$ 或 $m=-2$
【答案】6或-2
【知识点】二次函数顶点性质、判别式应用
【点评】本题考查二次函数顶点在x轴上的核心性质，利用判别式等于0的条件求解，属于基础题型，需熟练掌握二次函数与一元二次方程的关联。
【难度系数】0.6
9 若不论 $m$ 取何实数,抛物线 $y=(x-m+1)^2+3m-1$($x$ 为自变量)的顶点都在同一条直线上,则这条直线对应的函数解析式为
$y=3x+2$
.答案
9. $y=3x+2$
解析
【分析】要找到不论m取何实数时抛物线顶点所在的直线，需先利用抛物线顶点式的性质确定顶点坐标，再消去顶点坐标中的参数m，得到x与y的关系式，即为所求直线的解析式。
【解析】对于抛物线的顶点式$y=(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线$y=(x-m+1)^2+3m-1$，可得顶点的横坐标$h=m-1$，纵坐标$k=3m-1$，即顶点坐标为$(m-1, 3m-1)$。
设顶点的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则：
$x = m - 1$ ①
$y = 3m - 1$ ②
由①式变形得$m = x + 1$，将其代入②式：
$y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 3 - 1 = 3x + 2$
因此这条直线对应的函数解析式为$y=3x+2$。
【答案】$y=3x+2$
【知识点】抛物线顶点式，参数消元法
【点评】本题考查抛物线顶点式的应用及参数消元求直线解析式，关键是将顶点坐标转化为含参数的表达式并消参，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】对于抛物线的顶点式$y=(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线$y=(x-m+1)^2+3m-1$，可得顶点的横坐标$h=m-1$，纵坐标$k=3m-1$，即顶点坐标为$(m-1, 3m-1)$。
设顶点的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则：
$x = m - 1$ ①
$y = 3m - 1$ ②
由①式变形得$m = x + 1$，将其代入②式：
$y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 3 - 1 = 3x + 2$
因此这条直线对应的函数解析式为$y=3x+2$。
【答案】$y=3x+2$
【知识点】抛物线顶点式，参数消元法
【点评】本题考查抛物线顶点式的应用及参数消元求直线解析式，关键是将顶点坐标转化为含参数的表达式并消参，难度适中。
【难度系数】0.5
10 小王要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为$x\ \mathrm{cm}$的边与这条边上的高之和为$40\ \mathrm{cm}$,这个三角形的面积$S(\mathrm{cm^2})$随$x$的变化而变化.
(1) $S$与$x$之间的函数解析式为;
(2) 当$x=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm^2}$.
(1) $S$与$x$之间的函数解析式为;
(2) 当$x=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm^2}$.
答案
10. (1) $S=-\dfrac{1}{2}x^2+20x(0＜x＜40)$ (2) 20 200
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据“长度为$x\ \mathrm{cm}$的边与这条边上的高之和为$40\ \mathrm{cm}$”，求出这条边上的高为$(40 - x)\ \mathrm{cm}$；再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入底和高得到$S$与$x$的函数解析式。对于第二问，该函数是二次函数，根据二次函数开口向下的性质，顶点处取最大值，计算顶点横坐标得到$x$的值，再代入函数求面积。
【解析】
(1) 由题意，长度为$x\ \mathrm{cm}$的边上的高为$(40 - x)\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× x×(40 - x)=-\frac{1}{2}x^2 + 20x$，
由于边长和高均为正数，故$0 ＜ x ＜ 40$，因此函数解析式为$S=-\frac{1}{2}x^2 + 20x(0 ＜ x ＜ 40)$。
(2) 函数$S=-\frac{1}{2}x^2 + 20x$是开口向下的二次函数，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$，
将$x=20$代入函数得：$S=-\frac{1}{2}×20^2 +20×20=200$，
故当$x=20\ \mathrm{cm}$时，面积为$200\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+20x(0＜x＜40)$；(2)$20$，$200$
【知识点】
二次函数的应用，三角形面积公式
【点评】
本题结合三角形面积考查二次函数的实际应用，核心是根据题意建立函数关系，再利用二次函数的性质求解最值，属于基础题型，需掌握二次函数顶点式的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先根据“长度为$x\ \mathrm{cm}$的边与这条边上的高之和为$40\ \mathrm{cm}$”，求出这条边上的高为$(40 - x)\ \mathrm{cm}$；再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入底和高得到$S$与$x$的函数解析式。对于第二问，该函数是二次函数，根据二次函数开口向下的性质，顶点处取最大值，计算顶点横坐标得到$x$的值，再代入函数求面积。
【解析】
(1) 由题意，长度为$x\ \mathrm{cm}$的边上的高为$(40 - x)\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× x×(40 - x)=-\frac{1}{2}x^2 + 20x$，
由于边长和高均为正数，故$0 ＜ x ＜ 40$，因此函数解析式为$S=-\frac{1}{2}x^2 + 20x(0 ＜ x ＜ 40)$。
(2) 函数$S=-\frac{1}{2}x^2 + 20x$是开口向下的二次函数，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$，
将$x=20$代入函数得：$S=-\frac{1}{2}×20^2 +20×20=200$，
故当$x=20\ \mathrm{cm}$时，面积为$200\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1)$S=-\dfrac{1}{2}x^2+20x(0＜x＜40)$；(2)$20$，$200$
【知识点】
二次函数的应用，三角形面积公式
【点评】
本题结合三角形面积考查二次函数的实际应用，核心是根据题意建立函数关系，再利用二次函数的性质求解最值，属于基础题型，需掌握二次函数顶点式的应用。
【难度系数】
0.6
11 在平面直角坐标系中,抛物线 $y=ax^{2}-4ax-1$ 经过点 $(2,7)$. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-$$4ax-1-t=0$($t$ 为实数)在 $\dfrac{1}{2}＜ x＜ 4$ 的范围内有实数根,则 $t$ 的取值范围是
$-1＜t≤7$
.答案
11. $-1＜t≤7$
【解析】$\because$ 抛物线 $y=ax^{2}-4ax-1$ 经过点$(2,7),\therefore 7=4a-8a-1,$解得 $a=-2. \therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-2x^{2}+8x-1=-2(x-2)^{2}+7. \because 4-2＞2-\dfrac{1}{2},$当 $x=4$ 时,$y=-2×4^{2}+8×4-1=-1,\therefore$ 当 $\dfrac{1}{2}＜x＜4$ 时,$-1＜y≤7. \because$ 方程在 $\dfrac{1}{2}＜x＜4$ 的范围内有实数根,即直线$y=t$ 在 $\dfrac{1}{2}＜x＜4$ 的范围内与抛物线 $y=ax^{2}-4ax-1$ 有交点,$\therefore -1＜t≤7.$
【解析】$\because$ 抛物线 $y=ax^{2}-4ax-1$ 经过点$(2,7),\therefore 7=4a-8a-1,$解得 $a=-2. \therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-2x^{2}+8x-1=-2(x-2)^{2}+7. \because 4-2＞2-\dfrac{1}{2},$当 $x=4$ 时,$y=-2×4^{2}+8×4-1=-1,\therefore$ 当 $\dfrac{1}{2}＜x＜4$ 时,$-1＜y≤7. \because$ 方程在 $\dfrac{1}{2}＜x＜4$ 的范围内有实数根,即直线$y=t$ 在 $\dfrac{1}{2}＜x＜4$ 的范围内与抛物线 $y=ax^{2}-4ax-1$ 有交点,$\therefore -1＜t≤7.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先确定抛物线的解析式，再通过配方分析其在给定区间内的函数值范围，最后将一元二次方程有实根的问题转化为函数图像的交点问题，进而求出t的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线参数a：
已知抛物线$y=ax^2 -4ax -1$经过点$(2,7)$，将点代入解析式得：
$7 = 4a - 8a -1$，解得$a=-2$，因此抛物线解析式为$y=-2x^2 +8x -1$。
2. 配方分析抛物线性质：
将抛物线配方为顶点式：$y=-2(x-2)^2 +7$，可知抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，顶点坐标为$(2,7)$，顶点处取得最大值7。
3. 确定区间内函数值范围：
计算区间端点的函数值：当$x=4$时，$y=-2×(4-2)^2 +7=-1$；当$x=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{5}{2}$。
由于抛物线开口向下，对称轴$x=2$到$x=4$的距离大于到$x=\frac{1}{2}$的距离，因此在$\frac{1}{2}＜x＜4$范围内，函数值的最小值大于$-1$，最大值为7，即$-1＜y≤7$。
4. 转化方程问题：
一元二次方程$ax^2 -4ax -1 -t=0$有实根，等价于抛物线$y=-2x^2 +8x -1$与直线$y=t$在$\frac{1}{2}＜x＜4$范围内有交点，因此t的取值范围为$-1＜t≤7$。
【答案】
$-1＜t≤7$
【知识点】
二次函数解析式确定、二次函数图像性质、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题将一元二次方程根的问题转化为函数图像交点问题，核心是利用二次函数的配方、对称轴及区间函数值分析，需掌握知识点的综合运用，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先确定抛物线的解析式，再通过配方分析其在给定区间内的函数值范围，最后将一元二次方程有实根的问题转化为函数图像的交点问题，进而求出t的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线参数a：
已知抛物线$y=ax^2 -4ax -1$经过点$(2,7)$，将点代入解析式得：
$7 = 4a - 8a -1$，解得$a=-2$，因此抛物线解析式为$y=-2x^2 +8x -1$。
2. 配方分析抛物线性质：
将抛物线配方为顶点式：$y=-2(x-2)^2 +7$，可知抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，顶点坐标为$(2,7)$，顶点处取得最大值7。
3. 确定区间内函数值范围：
计算区间端点的函数值：当$x=4$时，$y=-2×(4-2)^2 +7=-1$；当$x=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{5}{2}$。
由于抛物线开口向下，对称轴$x=2$到$x=4$的距离大于到$x=\frac{1}{2}$的距离，因此在$\frac{1}{2}＜x＜4$范围内，函数值的最小值大于$-1$，最大值为7，即$-1＜y≤7$。
4. 转化方程问题：
一元二次方程$ax^2 -4ax -1 -t=0$有实根，等价于抛物线$y=-2x^2 +8x -1$与直线$y=t$在$\frac{1}{2}＜x＜4$范围内有交点，因此t的取值范围为$-1＜t≤7$。
【答案】
$-1＜t≤7$
【知识点】
二次函数解析式确定、二次函数图像性质、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题将一元二次方程根的问题转化为函数图像交点问题，核心是利用二次函数的配方、对称轴及区间函数值分析，需掌握知识点的综合运用，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
