12 已知二次函数 $y=(x-m)(x+m+4)$，其中 $m$ 为常数.
(1) 求证:不论 $m$ 为何值,该二次函数的图象与 $x$ 轴总有公共点;
(2) 若 $A(-1,a),B(1,b)$ 是该二次函数图象上的两个点,请判断 $a,b$ 的大小关系.

12. (1) $\because y=(x-m)(x+m+4)=x^{2}+4x-m^{2}-4m,\therefore$ 在方程 $x^{2}+4x-m^{2}-4m=0$ 中,$\Delta=4^{2}-4×1×(-m^{2}-4m)=4m^{2}+16m+16=4(m+2)^{2}≥0. \therefore$ 方程 $x^{2}+4x-m^{2}-4m=0$ 有两个实数根. $\therefore$ 不论 $m$ 为何值,该二次函数的图象与 $x$ 轴总有公共点
(2) $\because y=(x-m)(x+m+4)=x^{2}+4x-m^{2}-4m,\therefore$ 易得该函数图象的对称轴为直线 $x=-2,$ 且开口向上.$\therefore$ 易得 $b＞a$

【分析】
第(1)问要证明二次函数图象与x轴总有公共点，需转化为证明对应的一元二次方程有实数根，通过计算判别式判断；第(2)问需先将二次函数化为一般式，求出对称轴，结合开口方向，比较两点到对称轴的距离，距离越大函数值越大，从而判断a、b的大小关系。
【解析】
(1) 先将二次函数展开：
$y=(x-m)(x+m+4)=x^2 + 4x - m^2 - 4m$
令$y=0$，得一元二次方程$x^2 + 4x - m^2 - 4m = 0$
计算判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×(-m^2 - 4m) = 16 + 4m^2 + 16m = 4(m^2 + 4m + 4) = 4(m+2)^2$
因为$(m+2)^2 ≥ 0$，所以$\Delta = 4(m+2)^2 ≥ 0$，即方程总有两个实数根，因此不论$m$为何值，该二次函数的图象与$x$轴总有公共点。
(2) 由二次函数一般式$y=x^2 + 4x - m^2 - 4m$，得$a=1＞0$，函数图象开口向上；
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×1} = -2$；
点$A(-1,a)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-1 - (-2)| = 1$；
点$B(1,b)$到对称轴$x=-2$的距离为$|1 - (-2)| = 3$；
开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，因$3＞1$，故$b ＞ a$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $b ＞ a$
【知识点】
二次函数与x轴的交点、二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，包括利用判别式判定与x轴的交点，以及结合对称轴、开口方向比较函数值大小，属于常规基础题型，需掌握二次函数一般式的转化及相关性质的应用。
【难度系数】
0.6

13 商场将进价为每件 40 元的某商品以每件 50 元的价格售出,平均每月能售出 700 件. 调查表明:每件商品的售价在 50 元至 100 元范围内,售价每上涨 1 元,其销售量就将减少 10 件,设商场决定每件商品的售价为 $x$ $(50＜x＜100)$ 元.
(1) 该商场平均每月可售出件商品(用含 $x$ 的代数式表示).
(2) 当每件商品的售价定为多少元时,每月销售利润最大?
(3) 该商场决定每销售一件商品就捐赠 $a\ (a≥ 1)$ 元利润给希望工程,通过销售记录发现,当每件商品的售价大于 85 元时,扣除捐款后每天的利润随 $x$ 的增大而减小. 求 $a$ 的取值范围.

13. (1) $(-10x+1200)$
(2) 设每月销售利润为 $y$ 元. 由题意,得 $y=(x-40)(-10x+1\ 200)=-10x^{2}+1\ 600x-48\ 000=-10(x-80)^{2}+16\ 000. \because -10＜0,50＜x＜100,\therefore$ 当 $x=80$ 时,$y$ 有最大值,最大值为 $16\ 000. \therefore$ 当每件商品的售价定为80元时,每月销售利润最大
(3) 根据题意,得 $y=(x-40-a)(-10x+1\ 200)=-10x^{2}+(1\ 600+10a)x-48\ 000-1\ 200a,\therefore$ 对应二次函数图象的对称轴为直线 $x=\dfrac{1\ 600+10a}{2×(-10)}=80+\dfrac{a}{2}. \because -10＜0,\therefore$ 当 $x＞80+\dfrac{a}{2}$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 每件商品的售价大于 85 元时,扣除捐款后每天的利润随 $x$ 的增大而减小,$\therefore 80+\dfrac{a}{2}≤85,$ 解得 $a≤10.$ 又 $\because a≥1,\therefore 1≤ a≤10$

【分析】
本题是二次函数在销售利润问题中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“售价每上涨1元，销售量减少10件”，先算出售价从50元涨到x元时的上涨额，再求出减少的销售量，用原销售量减去减少量，化简得到含x的销售量代数式。
2. 第(2)问：利用“销售利润=每件利润×销售量”，结合第(1)问的销售量，建立利润的二次函数表达式；根据二次函数开口方向（a＜0），顶点处取最大值，计算顶点横坐标，判断是否在x的取值范围内，确定最大利润时的售价。
3. 第(3)问：捐赠a元后，每件利润变为“售价-进价-捐赠额”，同理建立新的利润二次函数；求出对称轴，结合二次函数开口向下时“对称轴右侧函数随x增大而减小”的性质，根据题目条件得到对称轴的范围，进而求出a的取值范围，同时结合题目给出的a≥1的条件确定最终范围。
【解析】
(1) 售价为x元时，比50元上涨了$(x-50)$元，因此销售量减少$10(x-50)$件，每月销售量为：
$700 - 10(x-50) = 700 -10x +500 = -10x +1200$（件）。
(2) 设每月销售利润为$y$元，根据利润公式：
$y=(x-40)(-10x+1200)$
展开整理得：
$y=-10x^2 +1600x -48000$
配方得：
$y=-10(x-80)^2 +16000$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值，且$50＜x＜100$，
$\therefore$当$x=80$时，$y$有最大值16000，即售价定为80元时，每月销售利润最大。
(3) 捐赠$a$元后，每件利润为$(x-40-a)$元，利润为：
$y=(x-40-a)(-10x+1200)$
展开整理得：
$y=-10x^2 +(1600+10a)x -48000 -1200a$
二次函数对称轴为：
$x=\frac{1600+10a}{2×(-10)}=80+\frac{a}{2}$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，当$x＞80+\frac{a}{2}$时，$y$随$x$增大而减小，
又$\because$售价大于85元时利润随$x$增大而减小，
$\therefore 80+\frac{a}{2}≤85$，解得$a≤10$，
结合$a≥1$，得$1≤a≤10$。
【答案】
(1) $(-10x+1200)$；
(2) 当每件商品的售价定为80元时，每月销售利润最大；
(3) $1≤a≤10$。
【知识点】
二次函数的应用、销售利润问题、二次函数的性质。
【点评】
本题是二次函数在实际销售场景中的典型应用题，考查学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，需掌握利润问题的基本公式及二次函数的增减性、最值性质，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5

14 分类讨论思想 [2026 海门段测]如图,抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0),B(3,0)$,与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式.
(2) $Q$ 是位于第一象限内抛物线上的一个动点,当$△ BCQ$ 的面积最大时,求此时点 $Q$ 的坐标及$△ BCQ$ 的面积.
(3) 抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$,使得$△ PBC$ 是等腰三角形? 若存在,直接写出点 $P$ 的坐标;若不存在,请说明理由.

14. (1) 把 $A(-1,0),B(3,0)$ 代入 $y=-x^{2}+bx+c,$ 得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^{2}+2x+3$
(2) 如图,过点 $Q$ 作 $MQ// y$ 轴,交 $BC$ 于点 $M$. 由(1),易得 $C(0,3).$ 设直线 $BC$ 对应的函数解析式为 $y=mx+n.$ 将 $B(3,0),C(0,3)$ 代入,得 $\begin{cases}0=3m+n,\\n=3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}m=-1,\\n=3.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $BC$ 对应的函数解析式为 $y=-x+3. \therefore$ 设 $Q(t,-t^{2}+2t+3),$ 则 $M(t,-t+3),$ 其中 $0＜t＜3. \therefore MQ=-t^{2}+2t+3+t-3=-t^{2}+3t. \therefore S_{△ BCQ}=S_{△ BMQ}+S_{△ CMQ}=\dfrac{1}{2}(-t^{2}+3t)×3=-\dfrac{3}{2}(t-\dfrac{3}{2})^{2}+\dfrac{27}{8}. \therefore$ 当 $t=\dfrac{3}{2}$ 时,$S_{△ BCQ}$ 取得最大值,最大值为 $\dfrac{27}{8}. \therefore$ 当 $△ BCQ$ 的面积最大时,点 $Q$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4}),△ BCQ$ 的面积为 $\dfrac{27}{8}$
(3) 存在 点 $P$ 的坐标为 $(1,1)$或$(1,\sqrt{14})$或$(1,-\sqrt{14})$或$(1,3+\sqrt{17})$或$(1,3-\sqrt{17})$

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知抛物线与x轴的两个交点坐标，使用待定系数法，将A、B两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式。
2. 第(2)问：先求出C点坐标和直线BC的解析式，设第一象限内Q点坐标，作平行于y轴的线段MQ交BC于M，将△BCQ的面积转化为以MQ为底、水平长度为高的三角形面积之和，得到关于Q点横坐标的二次函数，利用二次函数的性质求最大值，进而得到Q点坐标和最大面积。
3. 第(3)问：先确定抛物线的对称轴，得到P点横坐标，设P点坐标，根据等腰三角形三边相等的关系，分三种情况（PB=PC、PB=BC、PC=BC）列方程求解，得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -1 - b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$，
用第二个方程减第一个方程得：$-8 + 4b = 0$，解得$b=2$，代入第一个方程得$c=3$，
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 由(1)知，当$x=0$时，$y=3$，故$C(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=mx+n$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$得：
$\begin{cases} 3m + n = 0 \\ n=3 \end{cases}$，解得$m=-1$，$n=3$，故直线BC解析式为$y=-x+3$。
设第一象限内Q点坐标为$(t, -t^2+2t+3)$（$0＜t＜3$），过Q作$MQ// y$轴交BC于M，则$M(t, -t+3)$，
$MQ = (-t^2+2t+3) - (-t+3) = -t^2+3t$，
$△ BCQ$的面积$S_{△ BCQ} = \frac{1}{2} × MQ × 3 = \frac{3}{2}(-t^2+3t) = -\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$，
因为$-\frac{3}{2}＜0$，当$t=\frac{3}{2}$时，S最大为$\frac{27}{8}$，此时Q点坐标为$(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
(3) 抛物线$y=-x^2+2x+3$的对称轴为$x=1$，设$P(1,p)$，
计算得：$PB^2=4+p^2$，$PC^2=p^2-6p+10$，$BC^2=18$，
分三种情况：
① 当$PB=PC$时，$4+p^2=p^2-6p+10$，解得$p=1$，故$P(1,1)$；
② 当$PB=BC$时，$4+p^2=18$，解得$p=\pm\sqrt{14}$，故$P(1,\sqrt{14})$或$(1,-\sqrt{14})$；
③ 当$PC=BC$时，$p^2-6p+10=18$，解得$p=3\pm\sqrt{17}$，故$P(1,3+\sqrt{17})$或$(1,3-\sqrt{17})$。
【答案】
14. (1) $y=-x^2+2x+3$；
(2) 点Q坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$△ BCQ$面积为$\frac{27}{8}$；
(3) 存在，点P坐标为$(1,1)$或$(1,\sqrt{14})$或$(1,-\sqrt{14})$或$(1,3+\sqrt{17})$或$(1,3-\sqrt{17})$；

【知识点】
二次函数解析式、三角形面积计算、等腰三角形存在性
【点评】
本题是二次函数综合题，融合待定系数法、二次函数最值、等腰三角形分类讨论，考查数形结合与分类讨论思想，解题时需全面考虑等腰三角形的三边相等情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6