10 [2026 海安期中]2025 年 5 月 10 日江苏省城市足球联赛(“苏超”)开幕.某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫,平均每天可售出 40 件,每件盈利 30 元.为了尽快减少库存、增加盈利,该经销商采取了降价措施,经过一段时间的销售发现,销售单价每降低 1 元,平均每天可多售出 4 件.设每件T恤衫降价$x$元.
(1) 降价后每件T恤衫的利润为元,平均每天可售出件(用含$x$的代数式表示);
(2) 若该经销商每天获得的利润为 1 500 元,则每件T恤衫应降价多少元?

10. (1) $(30-x)$ $(40+4x)$ (2) 依题意,得$(30-x)(40+4x)=1\ 500$,解得$x_1=5,x_2=15$. 又$\because$ 要尽快减少库存、增加盈利,$\therefore x=15$. $\therefore$ 每件T恤衫应降价15元

【分析】
首先，第(1)问需根据“利润=原盈利-降价金额”“销售量=原销售量+因降价多售的数量”直接推导代数式；第(2)问利用“总利润=每件利润×销售量”建立一元二次方程，再结合题目“尽快减少库存”的条件，对求出的方程解进行合理取舍，得到最终答案。
【解析】
(1) 原每件盈利30元，降价x元后，每件利润为$(30-x)$元；原每天售40件，每降1元多售4件，降价x元后多售$4x$件，故日均销售量为$(40+4x)$件。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(30-x)(40+4x)=1500$
整理得：$x^2-20x+75=0$
因式分解得：$(x-5)(x-15)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=15$。
因要尽快减少库存，需销售量尽可能大：$x=5$时销量为$40+4×5=60$件，$x=15$时销量为$40+4×15=100$件，故取$x=15$。
【答案】
(1) $(30-x)$；$(40+4x)$ (2) 每件T恤衫应降价15元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题，代数式的表示
【点评】
本题为典型的销售利润类应用题，考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时需结合题目隐含条件（减少库存）取舍解，避免错解。
【难度系数】
0.7

11 [2026 海安段测]设 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(x-1)(x-2)=m^{2}$ 的两个根.
(1) 当 $x_{1}=-1$ 时,求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值;
(2) 求证: $(x_{1}-1)(x_{2}-1) ≤ 0$.

11. (1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,$\therefore m=\pm\sqrt{6}$. $\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,解得$x_1=-1,x_2=4$. $\therefore x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$ (2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$. $\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. $\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根为$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$. $\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$. $\because m^2≥0$,$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$

【分析】
第(1)问，已知方程的一个根，将其代入原方程可求出$m$的值，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）或解方程即可求得另一个根$x_2$；第(2)问，先将原方程整理为标准一元二次方程形式，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再将待证式子展开，代入韦达定理的结果化简，结合平方的非负性完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)(-1-2)=m^2$，即$6=m^2$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
原方程化为$(x-1)(x-2)=6$，展开得$x^2-3x-4=0$。
由韦达定理，方程两根之和$x_1+x_2=3$，已知$x_1=-1$，故$x_2=3 - (-1)=4$。
(2) 将原方程整理为标准一元二次方程：$x^2-3x+2-m^2=0$。
因为$x_1,x_2$是方程的两根，由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
展开$(x_1-1)(x_2-1)$：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，代入韦达定理结果得：
$=(2-m^2)-3+1=-m^2$。
由于$m^2≥0$，故$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) $(x_1-1)(x_2-1)≤0$成立
【知识点】一元二次方程的根，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】本题综合考查一元二次方程的根的代入求解、韦达定理的应用，难度适中，关键是熟练掌握韦达定理及代数式化简技巧，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6

12 已知 $x_1,x_2$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 的两个实数根,若满足 $|x_1-x_2|=1$,则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义,解决下列问题:
(1) 通过计算,判断下面的方程是否为“差根方程”:
① $x^2-4x-5=0$;
② $2x^2-2\sqrt{3}x+1=0$.
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $x^2+2ax=0$ 是“差根方程”,求 $a$ 的值.
(3) 若关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+1=0$($a,b$ 是常数,$a＞0$)是“差根方程”,请探索 $a$ 与 $b$ 之间的数量关系.

12. (1) ① 解方程得$x_1=5,x_2=-1$,$\therefore |x_1-x_2|=6$. $\therefore$ 方程$x^2-4x-5=0$不是“差根方程” ② 解方程得$x_1=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$,$x_2=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$,$\therefore |x_1-x_2|=1$. $\therefore$ 方程$2x^2-2\sqrt{3}x+1=0$是“差根方程” (2) 解方程$x^2+2ax=0$,得$x_1=0,x_2=-2a$. $\because$ 关于$x$的方程$x^2+2ax=0$是“差根方程”,$\therefore |-2a|=1$. $\therefore a=\pm\dfrac{1}{2}$ (3) 设$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+1=0$($a,b$是常数,$a＞0$)的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{1}{a}$. $\because$ 关于$x$的方程$ax^2+bx+1=0$($a,b$是常数,$a＞0$)是“差根方程”,$\therefore |x_1-x_2|=1$. $\therefore |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=1$,即$\sqrt{(-\dfrac{b}{a})^2-4·\dfrac{1}{a}}=1$. $\therefore b^2=a^2+4a$

【分析】
首先明确“差根方程”的定义：若一元二次方程的两个实数根满足$|x_1 - x_2|=1$，则该方程为“差根方程”。解题时，对于具体方程，可先求出两个根，计算其差的绝对值判断是否为1；若已知方程是差根方程求参数，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将$|x_1 - x_2|$转化为$\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}$，再结合条件列方程求解。
【解析】
(1) 判断方程是否为“差根方程”
① 解方程$x^2 -4x -5=0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
计算根的差的绝对值：$|x_1 -x_2|=|5 - (-1)|=6≠1$，因此该方程不是“差根方程”。
② 解方程$2x^2 -2\sqrt{3}x +1=0$，由求根公式，判别式$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 -4×2×1=4$，则根为$x=\frac{2\sqrt{3}±2}{4}=\frac{\sqrt{3}±1}{2}$，即$x_1=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
计算根的差的绝对值：$|x_1 -x_2|=\left|\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right|=1$，因此该方程是“差根方程”。
(2) 求参数$a$的值
解方程$x^2 +2ax=0$，因式分解得$x(x+2a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2a$。
因方程是“差根方程”，故$|0 - (-2a)|=1$，即$|2a|=1$，解得$a=±\frac{1}{2}$。
(3) 探索$a$与$b$的数量关系
设$x_1,x_2$是方程$ax^2 +bx +1=0(a＞0)$的两个实根，由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{1}{a}$。
因方程是“差根方程”，故$|x_1 -x_2|=1$，结合公式$|x_1 -x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2}$，代入得：
$\sqrt{(-\frac{b}{a})^2 -4×\frac{1}{a}}=1$，两边平方后整理得：$b^2=a^2 +4a$。
【答案】
(1) ① 不是；② 是；(2) $a=±\frac{1}{2}$；(3) $b^2=a^2+4a$
【知识点】
一元二次方程解法、韦达定理、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“差根方程”的定义，将根的差的绝对值转化为可计算的代数形式，考查一元二次方程求解与韦达定理的应用，需具备转化思想，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5