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1. (2026·连云港期末)设$x,y,a$是有理数,则下列结论正确的是 (
A.若$x=y$,则$x-a=y+a$
B.若$\frac{x}{6a}=\frac{y}{7a}$,则$6x=7y$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$
D.若$x=y$,则$ax=ay$
D
)A.若$x=y$,则$x-a=y+a$
B.若$\frac{x}{6a}=\frac{y}{7a}$,则$6x=7y$
C.若$x=y$,则$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$
D.若$x=y$,则$ax=ay$
答案
1. D 解析:因为x=y,所以x-a=y-a,故A项错误;因为$\frac{x}{6a}=\frac{y}{7a}$,所以两边同乘42a得7x=6y,故B项错误;因为当a=0时,$\frac{x}{a}$和$\frac{y}{a}$无意义,所以选项C中$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$不一定成立,故C项错误;因为x=y,所以两边同乘a,得ax=ay,故D项正确.故选D.
2. (2025·大庆校级月考)已知 $12x = 4 × 9$，下面能成立的是 (
A.$\frac{4}{x} = \frac{12}{9}$
B.$\frac{x}{12} = \frac{4}{9}$
C.$4:x = 9:12$
D.$4x = 12:9$
A
)A.$\frac{4}{x} = \frac{12}{9}$
B.$\frac{x}{12} = \frac{4}{9}$
C.$4:x = 9:12$
D.$4x = 12:9$
答案
2. A 解析:因为12x=4×9,所以x≠0,所以等式两边同时除以9x得$\frac{12x}{9x}=\frac{4×9}{9x}$,所以$\frac{12}{9}=\frac{4}{x}$,即$\frac{4}{x}=\frac{12}{9}$.故选A.
3. (2024·贵州中考)小红学习了等式的基本性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“□”“○”“△”三种物体，如图所示，天平都保持平衡。若设“□”与“○”的质量分别为x,y，则下列关系式正确的是 (
A.$x=y$
B.$x=2y$
C.$x=4y$
D.$x=5y$
C
)A.$x=y$
B.$x=2y$
C.$x=4y$
D.$x=5y$
答案
3. C 解析:设“$△$”的质量为a,由甲图可得x+y=y+2a,即x=2a,由乙图可得x+a=x+2y,即a=2y,所以x=4y.故选C.
4. (1)已知等式$3x=2x-2$,两边同时________,得$x=\_\_\_\_\_\_$,依据是________.
(2)已知等式$-\dfrac{2}{5}x=\dfrac{1}{5}$,两边同时________,得$x=\_\_\_\_\_\_$,依据是________.
(2)已知等式$-\dfrac{2}{5}x=\dfrac{1}{5}$,两边同时________,得$x=\_\_\_\_\_\_$,依据是________.
答案
4. (1)减去2x -2 等式两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得结果仍是等式
(2)乘$-\frac{5}{2}(或除以-\frac{2}{5})$ $-\frac{1}{2}$ 等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式
(2)乘$-\frac{5}{2}(或除以-\frac{2}{5})$ $-\frac{1}{2}$ 等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式
5.（教材P108练习T1变式）根据下列情境中的等量关系列出等式.
(1)a的一半比它的3倍少5：
(2)一个长方形的周长为26 cm，长方形的长为x cm，如果长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形：
(3)按如图的方式搭“金鱼”，搭n个“金鱼”恰好用了702根小棒：
(1)a的一半比它的3倍少5：
$\frac{1}{2}a=3a-5$
；(2)一个长方形的周长为26 cm，长方形的长为x cm，如果长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形：
$x-1=13-x+2$
；(3)按如图的方式搭“金鱼”，搭n个“金鱼”恰好用了702根小棒：
$2+7n=702$
；答案
5. (1)$\frac{1}{2}a=3a-5$ 解析:a的一半为$\frac{1}{2}a$,则$\frac{1}{2}a=3a-5$.
(2)$x-1=13-x+2$ 解析:26÷2=13,长方形的宽为13-x,则x-1=13-x+2.
(3)$2+7n=702$ 解析:观察题图,由规律可得,第$n$个图形中共有$(2+7n)$根木棒,则$2+7n=702$.
(2)$x-1=13-x+2$ 解析:26÷2=13,长方形的宽为13-x,则x-1=13-x+2.
(3)$2+7n=702$ 解析:观察题图,由规律可得,第$n$个图形中共有$(2+7n)$根木棒,则$2+7n=702$.
6. 已知$3m^2 - 2n + 3 = 9$,根据等式的性质可得$3m^2 - 2n = \_\_\_\_\_\_$,则$(m^2 - \frac{2}{3}n + 3) · (6m^2 - 4n + 3) = \_\_\_\_\_\_$.
答案
6. 6 75 解析:由$3m^2-2n+3=9$,得$3m^2-2n=6$①.①式两边同时除以3,得$m^2-\frac{2}{3}n=2$.①式两边同时乘2,得$6m^2-4n=12$.故$(m^2-\frac{2}{3}n+3)(6m^2-4n+3)=(2+3)×(12+3)=5×15=75$.
7. 教材P108练习T2变式 运用等式的基本性质，将下面的等式变形为$x=c$（$c$为常数）的形式：
(1) $7x=6x-3$；
(2) $-2=-\dfrac{1}{2}x$；
(3) $3x-8=x$；
(4) $7-\dfrac{3}{4}x=4$。
(1) $7x=6x-3$；
(2) $-2=-\dfrac{1}{2}x$；
(3) $3x-8=x$；
(4) $7-\dfrac{3}{4}x=4$。
答案
7. (1)两边同时减去6x得x=-3.
(2)两边同时乘-2得x=4.
(3)两边同时减去x得2x-8=0,然后两边同时加8得2x=8,最后两边同时除以2得x=4.
(4)两边同时减7得$-\frac{3}{4}x=-3$,然后两边同时乘$-\frac{4}{3}$得x=4.
(2)两边同时乘-2得x=4.
(3)两边同时减去x得2x-8=0,然后两边同时加8得2x=8,最后两边同时除以2得x=4.
(4)两边同时减7得$-\frac{3}{4}x=-3$,然后两边同时乘$-\frac{4}{3}$得x=4.
8. (1)已知代数式$3a+2b$与$2a+3b$相等，试用等式的性质比较$a,b$的大小关系；
(2)已知$\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n -1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m$，试用等式的性质比较$m,n$的大小关系。
(2)已知$\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n -1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m$，试用等式的性质比较$m,n$的大小关系。
答案
8. (1)由题意得3a+2b=2a+3b,等式两边同时减去(2a+3b),得3a+2b-(2a+3b)=0,整理得a-b=0,所以a=b.
(2)$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,根据等式的性质可得3m-2n-6=3n-2m,整理得5m-5n=6,即5(m-n)=6,故可知$m-n=\frac{6}{5}＞0$,所以m＞n.
(2)$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,根据等式的性质可得3m-2n-6=3n-2m,整理得5m-5n=6,即5(m-n)=6,故可知$m-n=\frac{6}{5}＞0$,所以m＞n.
