二、填空题
7. 如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为5，则△ABC的周长为。

7. 10

【分析】
看到题目中给出点D、E、F是△ABC三边的中点，首先联想到三角形中位线的相关性质：三角形的中位线等于第三边的一半。我们可以先推导△DEF的三边与△ABC三边的数量关系，再结合周长是各边长度之和，就能得到两个三角形周长的关系，最后代入已知的△DEF的周长，即可求出△ABC的周长。
【解析】
∵点D、E、F分别为△ABC三边的中点
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线
根据三角形中位线定理可得：
$DE = \frac{1}{2}AC$，$EF = \frac{1}{2}AB$，$DF = \frac{1}{2}BC$
△DEF的周长 $= DE + EF + DF = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AB + BC + AC) = \frac{1}{2}×△ABC的周长$
已知△DEF的周长为5，代入得：
$5 = \frac{1}{2}×△ABC的周长$
解得△ABC的周长$=10$
【答案】
10
【知识点】
三角形中位线定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是掌握中位线与对应第三边的数量关系，进而推导得出两个三角形周长的倍数关系即可求解。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在$△ ABC$中，点$D$为边$AB$的中点，点$E$为边$AC$的中点. 若$∠ ADE=∠ CDB$，$CD=6$，则$DE$的长为________.

8. 3

【分析】
解题时先观察题干给出的中点条件，首先联想到三角形中位线定理，可得到DE与BC的平行关系及数量关系；再结合平行线的同位角相等的性质，将已知的等角条件转化为△CDB内的等角关系，利用等角对等边求出BC的长度，最后代入中位线的数量关系即可求出DE的长。
【解析】
∵点D为AB的中点，点E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ADE=∠B$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵$∠ADE=∠CDB$，
∴$∠CDB=∠B$，
∴$CD=BC$（等角对等边）。
已知$CD=6$，则$BC=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是利用中位线的性质完成角与线段的转化，将分散的已知条件关联起来，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

9. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC. 分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20 m，则A，B两点间的距离为 m.

9. 40

【分析】
首先观察题目给出的条件，D、E分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线的相关知识。三角形中位线的性质为：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。我们只需先判定DE是△ABC的中位线，就可以借助DE的长度求出AB的距离。
【解析】
解：
∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$AB=2DE$，
已知$DE=20\mathrm{m}$，
∴$AB=2×20=40(\mathrm{m})$。
【答案】
40
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线定理的实际应用类题目，解题核心是准确识别三角形的中位线，利用中位线和第三边的数量关系求解，侧重考察基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.9

10. 在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$∠ B=30°$，则$BC$边上的高$AD=$ 。

10. 3

【分析】
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，由此得到Rt△ABD。已知Rt△ABD中∠B=30°，斜边AB=6，结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可直接计算出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC=6，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB为斜边，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是通过等腰三角形的性质得到直角三角形，再利用特殊直角三角形的边角关系求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

三、解答题
11. 在$△ ABC$中，点M是边BC的中点，AD平分$∠ BAC$，$BD⊥ AD$，BD的延长线交AC于点E，$AB=12$，$AC=20$.
(1)求证：$BD=DE$；
(2)求DM的长.

11. (1) 证明：$\because AD$平分$∠ BAD$，$BD⊥ AD$. $\therefore ∠ BAD=∠ EAD$，$∠ ADB=∠ ADE=90°$.
$\therefore △ ABD≌△ AED$（ASA）. $\therefore BD=DE$.
(2) 解：$\because △ ABD≌△ AED$，$AB=12$，$\therefore AE=AB=12$，$\because AC=20$，$\therefore CE=AC-AE=8$，
$\therefore$ 点M是边BC的中点，$BD=DE$，$\therefore DM$是$△ BCE$的中位线，$\therefore DM=\frac{1}{2}CE=4$.

【分析】
(1) 要证明BD=DE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AD是角平分线，可得∠BAD=∠EAD；又BD⊥AD，可知∠ADB=∠ADE=90°，加上公共边AD，可通过ASA判定△ABD和△AED全等，由全等三角形对应边相等即可得到BD=DE。
(2) 求DM的长度时，已知M是BC中点，结合(1)得出的D是BE中点，可判断DM是△BCE的中位线，根据三角形中位线定理，DM等于CE的一半，因此只需先求CE的长即可。由△ABD≌△AED可得AE=AB，结合AC的长度即可算出CE，代入中位线公式就能得到DM的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°，
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠EAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADE\end{array} $
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE。
(2) 解：
∵△ABD≌△AED，AB=12，
∴AE=AB=12，
∵AC=20，
∴CE=AC-AE=20-12=8，
∵点M是BC的中点，BD=DE，
∴DM是△BCE的中位线，
∴DM=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
(1) 证明成立，BD=DE；
(2) DM的长为4。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形与中位线定理结合考察，解题的突破口是利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，再结合中点特征识别中位线，能够锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7