12. 如图，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD=BC，MN⊥EF，垂足为N. 求证：EN=FN.

12. 证明：连接MF，ME，$\because E$，$M$是$AB$，$BD$的中点，$\therefore EM=\frac{1}{2}AD$，$\therefore FM=\frac{1}{2}BC$.
$\because AD=BC$，$\therefore ME=MF$. $\because MN⊥ EF$，$\therefore EN=FN$.

【分析】
要证明EN=FN，已知MN⊥EF，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△MEF为等腰三角形，即ME=MF即可。题目给出多个中点的条件，可利用三角形中位线定理，得到ME与AD、MF与BC的数量关系，再结合已知AD=BC，即可推出ME=MF，进而完成求证。
【解析】
证明：连接MF，ME，
∵E，M分别是AB，BD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，因此$EM=\frac{1}{2}AD$，
同理，F，M分别是CD，BD的中点，
∴FM是△BCD的中位线，因此$FM=\frac{1}{2}BC$，
∵AD=BC，
∴ME=MF，即△MEF是等腰三角形，
又
∵MN⊥EF，根据等腰三角形三线合一的性质，N为EF中点，
∴EN=FN。
【答案】
证明：连接MF，ME，$\because E$，$M$是$AB$，$BD$的中点，$\therefore EM=\frac{1}{2}AD$，同理可得$FM=\frac{1}{2}BC$.$\because AD=BC$，$\therefore ME=MF$. $\because MN⊥ EF$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$EN=FN$.
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过构造辅助线得到三角形中位线，将已知的线段相等关系转化为待证等腰三角形的边相等，再结合等腰三角形的性质完成求证，对辅助线构造和性质的灵活应用有一定要求。
【难度系数】
0.7

13. 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，求∠PFE的度数.

13. 解：$\because$ 在四边形$ABCD$中，$P$是对角线$BD$的中点，$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，$\therefore PF$，$PE$分别是$△ CDB$与$△ DAB$的中位线，$\therefore PF=\frac{1}{2}BC$，$PE=\frac{1}{2}AD$. $\because AD=BC$. $\therefore PF=PE$，$△ EPF$是等腰三角形，$\because ∠ PEF=30°$，$∠ PFE=∠ PEF=30°$.

【分析】
遇到题干中存在多个中点的几何问题，首先优先考虑三角形中位线定理：①先判断PE、PF所属的中位线：点P是BD中点，E是AB中点，因此PE是△ABD的中位线；点P是BD中点，F是CD中点，因此PF是△BCD的中位线。②根据中位线性质可得PE与AD、PF与BC的数量关系，结合已知AD=BC，可推出PE=PF，即△EPF为等腰三角形。③最后利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠PEF的度数，即可求出∠PFE的度数。
【解析】
∵ 在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴ PF，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴ $PF=\frac{1}{2}BC$，$PE=\frac{1}{2}AD$。
∵ $AD=BC$，
∴ $PF=PE$，即△EPF是等腰三角形，
∵ $∠PEF=30°$，
∴ $∠PFE=∠PEF=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是中点类几何题的典型考法，解题核心是利用中点构造三角形中位线，建立线段间的等量关系，再结合等腰三角形的性质转化为角度关系，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8