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1. 化简：$\sqrt{(-2)^2} =$ （）
A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$4$
D.$2$
A.$\pm 2$
B.$-2$
C.$4$
D.$2$
答案
D
解析
先计算根号内的乘方运算：$(-2)^2=4$，原式转化为$\sqrt{4}$，根据算术平方根的定义，算术平方根的结果为非负数，可得$\sqrt{4}=2$。
2. $\sqrt{9}$的算术平方根是 （）
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$\pm \sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$\pm \sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
D
解析
先计算$\sqrt{9}=3$，再求3的算术平方根。根据算术平方根的定义：非负数的正的平方根为它的算术平方根，可得3的算术平方根是$\sqrt{3}$。
3. 下列说法中正确的是 （）
A.0.09的平方根是0.3
B.$\sqrt{16}=\pm4$
C.0的立方根是0
D.1的立方根是$\pm1$
A.0.09的平方根是0.3
B.$\sqrt{16}=\pm4$
C.0的立方根是0
D.1的立方根是$\pm1$
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：因为$(±0.3)^2=0.09$，所以0.09的平方根是$±0.3$，该说法错误。
2. 选项B：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，不是$±4$，该说法错误。
3. 选项C：因为$0^3=0$，所以0的立方根是0，该说法正确。
4. 选项D：因为$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，所以1的立方根是1，不是$±1$，该说法错误。
1. 选项A：因为$(±0.3)^2=0.09$，所以0.09的平方根是$±0.3$，该说法错误。
2. 选项B：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4，不是$±4$，该说法错误。
3. 选项C：因为$0^3=0$，所以0的立方根是0，该说法正确。
4. 选项D：因为$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，所以1的立方根是1，不是$±1$，该说法错误。
4. 下列各数中，是无理数的是 （）
A.3.14
B.$-\sqrt{9}$
C.$\sqrt{10}$
D.0
A.3.14
B.$-\sqrt{9}$
C.$\sqrt{10}$
D.0
答案
C
解析
根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐一判断选项：
1. 选项A：3.14是有限小数，属于有理数；
2. 选项B：$-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数；
3. 选项C：$\sqrt{10}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
4. 选项D：0是整数，属于有理数。
因此是无理数的是选项C。
1. 选项A：3.14是有限小数，属于有理数；
2. 选项B：$-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数；
3. 选项C：$\sqrt{10}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
4. 选项D：0是整数，属于有理数。
因此是无理数的是选项C。
5. 下列结果为－3 的是 （）
A.－3 的相反数
B.$|-3|$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt[3]{-27}$
A.－3 的相反数
B.$|-3|$
C.$\sqrt{9}$
D.$\sqrt[3]{-27}$
答案
D
解析
分别计算各选项：
A. -3的相反数是3，不符合要求；
B. 根据绝对值的性质，$|-3|=3$，不符合要求；
C. 根据算术平方根的定义，$\sqrt{9}=3$，不符合要求；
D. 根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-27}=-3$，符合结果为-3的要求。
A. -3的相反数是3，不符合要求；
B. 根据绝对值的性质，$|-3|=3$，不符合要求；
C. 根据算术平方根的定义，$\sqrt{9}=3$，不符合要求；
D. 根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-27}=-3$，符合结果为-3的要求。
6.已知边长为a的正方形面积为10,下列关于a的说法:①a是10的算术平方根;②a是10的平方根;③a介于3和4之间.其中正确的是（）
A.①②③
B.①②
C.②③
D.①③
A.①②③
B.①②
C.②③
D.①③
答案
D
解析
已知边长为a的正方形面积为10，因此$a^2=10$，且$a＞0$。
1. 根据算术平方根的定义：若非负数x的平方等于n，则x是n的算术平方根，可知a是10的算术平方根，①说法正确。
2. 10的平方根是$\pm\sqrt{10}$，共两个值，a仅为其中的正数值$\sqrt{10}$，不能说a是10的平方根，②说法错误。
3. 因为$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，所以$3＜a＜4$，即a介于3和4之间，③说法正确。
综上，正确的是①③。
1. 根据算术平方根的定义：若非负数x的平方等于n，则x是n的算术平方根，可知a是10的算术平方根，①说法正确。
2. 10的平方根是$\pm\sqrt{10}$，共两个值，a仅为其中的正数值$\sqrt{10}$，不能说a是10的平方根，②说法错误。
3. 因为$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜10＜16$，所以$3＜a＜4$，即a介于3和4之间，③说法正确。
综上，正确的是①③。
7.2 是的算术平方根.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是2，则这个数等于2的平方。
计算得 $2^2 = 4$，因此2是4的算术平方根。
根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是2，则这个数等于2的平方。
计算得 $2^2 = 4$，因此2是4的算术平方根。
8.一个正数a的两个平方根是2b－1和b＋4，则a＋b的立方根为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ $(2b - 1) + (b + 4) = 0$
解得：$b = -1$
将$b=-1$代入$b+4$，得其中一个平方根为$3$
∴ $a = 3^2 = 9$
∴ $a + b = 9 + (-1) = 8$
∴ $a+b$的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ $(2b - 1) + (b + 4) = 0$
解得：$b = -1$
将$b=-1$代入$b+4$，得其中一个平方根为$3$
∴ $a = 3^2 = 9$
∴ $a + b = 9 + (-1) = 8$
∴ $a+b$的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$
9. 在实数 $0, -3.14159, \frac{π}{3}, \sqrt{2}, -\sqrt{\frac{1}{16}}, \frac{22}{7}, \sqrt[3]{9}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -0.\dot{7}$ 中，是有理数，是无理数。
答案
解：
$0,-3.14159,-\sqrt{\frac{1}{16}},\frac{22}{7},-0.\dot{7}$是有理数，
$\frac{π}{3},\sqrt{2},\sqrt[3]{9},\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数。
$0,-3.14159,-\sqrt{\frac{1}{16}},\frac{22}{7},-0.\dot{7}$是有理数，
$\frac{π}{3},\sqrt{2},\sqrt[3]{9},\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数。
10.代数式$\sqrt{n^2 + 4}$的最小值为.
答案
解：
∵ 任意实数的平方都非负，即 $n^2 \ge 0$，
∴ $n^2 + 4 \ge 4$，
∴ $\sqrt{n^2 + 4} \ge \sqrt{4} = 2$，
当 $n=0$ 时，代数式可取到最小值。
故答案为：$\boldsymbol{2}$。
∵ 任意实数的平方都非负，即 $n^2 \ge 0$，
∴ $n^2 + 4 \ge 4$，
∴ $\sqrt{n^2 + 4} \ge \sqrt{4} = 2$，
当 $n=0$ 时，代数式可取到最小值。
故答案为：$\boldsymbol{2}$。
11.如图,有一个数值转换器:
(1)当输入$x=625$时,输出的$y$等于;
(2)若输出的$y$值为$\sqrt{3}$,请写出输入的$x$的两个值:和.
(1)当输入$x=625$时,输出的$y$等于;
(2)若输出的$y$值为$\sqrt{3}$,请写出输入的$x$的两个值:和.
答案
(1) $\sqrt{5}$
(2) $3$；$9$
(2) $3$；$9$
解析
解：
(1) 输入$x=625$，
第一次取算术平方根：$\sqrt{625}=25$，25是有理数，返回继续运算；
第二次取算术平方根：$\sqrt{25}=5$，5是有理数，返回继续运算；
第三次取算术平方根得到$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是无理数，因此输出的$y=\sqrt{5}$。
(2) 若输出$y=\sqrt{3}$：
若仅运算1次就输出，则输入$x=(\sqrt{3})^2=3$；
若运算2次后输出，第一次取算术平方根得到有理数3，则输入$x=3^2=9$。
（答案不唯一，合理即可）
(1) 输入$x=625$，
第一次取算术平方根：$\sqrt{625}=25$，25是有理数，返回继续运算；
第二次取算术平方根：$\sqrt{25}=5$，5是有理数，返回继续运算；
第三次取算术平方根得到$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$是无理数，因此输出的$y=\sqrt{5}$。
(2) 若输出$y=\sqrt{3}$：
若仅运算1次就输出，则输入$x=(\sqrt{3})^2=3$；
若运算2次后输出，第一次取算术平方根得到有理数3，则输入$x=3^2=9$。
（答案不唯一，合理即可）
