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例 1 输入 $ x $，按如图所示的程序进行计算后，输出的式子化简后的结果为
$2x - 8$
。答案
解析
【分析】首先根据题意明确计算顺序：先计算$(x^2 - 4x)$与$2x$的乘积，再将所得结果除以$x^2$，最后通过整式乘除运算法则逐步化简式子，即可得到最终结果。
【解析】根据题意，列出算式：
$(x^2 - 4x) × 2x ÷ x^2$
1. 计算乘法：根据单项式乘多项式法则，用$2x$分别乘多项式的每一项，得：
$(2x^3 - 8x^2) ÷ x^2$
2. 计算除法：根据多项式除以单项式法则，用多项式的每一项分别除以单项式$x^2$，得：
$2x^3 ÷ x^2 - 8x^2 ÷ x^2 = 2x - 8$
【答案】
【知识点】整式的乘法、整式的除法
【点评】本题考查整式乘除的基础运算，关键是理清运算顺序，熟练运用单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，属于常规基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】根据题意，列出算式：
$(x^2 - 4x) × 2x ÷ x^2$
1. 计算乘法：根据单项式乘多项式法则，用$2x$分别乘多项式的每一项，得：
$(2x^3 - 8x^2) ÷ x^2$
2. 计算除法：根据多项式除以单项式法则，用多项式的每一项分别除以单项式$x^2$，得：
$2x^3 ÷ x^2 - 8x^2 ÷ x^2 = 2x - 8$
【答案】
【知识点】整式的乘法、整式的除法
【点评】本题考查整式乘除的基础运算，关键是理清运算顺序，熟练运用单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，属于常规基础题型。
【难度系数】0.7
【变式训练 1】一个运算程序的示意图如图所示，若输入的整式 $ m $ 为 $ 9a^{2}-3ab $，输出的整式 $ x $ 为 $ 3a $，则 $ p $ 为
$3a - b + 2a^{2}$
。答案
变式训练1 $3a - b + 2a^{2}$
解析
由题意得：$n = m + 6a^3 = 9a^2 - 3ab + 6a^3$，$x = n ÷ p$，则$p = n ÷ x$。
$p=(9a^2 - 3ab + 6a^3) ÷ 3a$
$=9a^2÷3a - 3ab÷3a + 6a^3÷3a$
$=3a - b + 2a^2$
$3a - b + 2a^2$
$p=(9a^2 - 3ab + 6a^3) ÷ 3a$
$=9a^2÷3a - 3ab÷3a + 6a^3÷3a$
$=3a - b + 2a^2$
$3a - b + 2a^2$
例 2 邓老师设计了一个运算程序，输入和输出的数据如下表，则当输入的数据是正整数 $ n $ 时，输出的数据是
$\frac{n}{3n - 1}$
。答案
【点拨】本题主要考查数字、字母规律的有关知识，先根据表格中的数据找出规律，再进行求解即可。
解析
【分析】先分别观察输入数据n与输出数据的分子、分母的对应关系：分子直接和输入的n相等，再分析分母的变化规律，通过计算相邻分母的差值找到分母与n的关系，最终推导输出数据的表达式。
【解析】1. 找分子规律：输入数据为n时，输出数据的分子与输入的n相同，即分子为n；2. 找分母规律：当n=1时，分母为2，满足3×1 -1=2；n=2时，分母为5，满足3×2 -1=5；n=3时，分母为8，满足3×3 -1=8；……，由此可得分母的规律为3n -1；3. 综上，输入正整数n时，输出的数据为分子是n、分母是3n-1的分数，即$\frac{n}{3n-1}$。
【答案】$\frac{n}{3n -1}$
【知识点】数字规律探究，代数式表示规律
【点评】本题是基础的规律探究题，通过观察输入输出数据的分子、分母的变化特征，归纳出通用表达式，考查学生的观察与归纳能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 找分子规律：输入数据为n时，输出数据的分子与输入的n相同，即分子为n；2. 找分母规律：当n=1时，分母为2，满足3×1 -1=2；n=2时，分母为5，满足3×2 -1=5；n=3时，分母为8，满足3×3 -1=8；……，由此可得分母的规律为3n -1；3. 综上，输入正整数n时，输出的数据为分子是n、分母是3n-1的分数，即$\frac{n}{3n-1}$。
【答案】$\frac{n}{3n -1}$
【知识点】数字规律探究，代数式表示规律
【点评】本题是基础的规律探究题，通过观察输入输出数据的分子、分母的变化特征，归纳出通用表达式，考查学生的观察与归纳能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【变式训练 2】按下列程序计算，然后探究规律。
(1) 填写表格：
(2) 发现规律：输入数据 $ x $，输出的答案是
(3) 验证你发现的规律。
(1) 填写表格：
(2) 发现规律：输入数据 $ x $，输出的答案是
$x^{2}$
。(3) 验证你发现的规律。
答案
变式训练2 解:(1)
|输入$x$|-3|-2|-1|0|…|
|----|----|----|----|----|----|
|答案|9|4|1|0|…|
(2)$x^{2}$
(3)当输入的数据为$x$时,将进行以下运算:
$\begin{aligned}&\frac{1}{3}[6×(-x)+3(x^{2}+2x)]\\=&\frac{1}{3}(-6x + 3x^{2}+6x)\\=&x^{2}\end{aligned}$
|输入$x$|-3|-2|-1|0|…|
|----|----|----|----|----|----|
|答案|9|4|1|0|…|
(2)$x^{2}$
(3)当输入的数据为$x$时,将进行以下运算:
$\begin{aligned}&\frac{1}{3}[6×(-x)+3(x^{2}+2x)]\\=&\frac{1}{3}(-6x + 3x^{2}+6x)\\=&x^{2}\end{aligned}$
解析
【分析】本题需分三步解决：首先，明确程序对应的运算式，将输入的x值代入运算式计算，完成表格填写；其次，通过代入不同x值观察结果，或直接化简运算式，探究输入与输出的关系，发现规律；最后，通过代数化简验证规律的正确性。
【解析】（1）根据程序的运算式$\frac{1}{3}[6(-x)+3(x^2+2x)]$，分别代入输入的x值计算：
当$x=-3$时，$\frac{1}{3}[6×3 + 3×((-3)^2 + 2×(-3))]=\frac{1}{3}(18 + 9)=9$；
当$x=-2$时，$\frac{1}{3}[6×2 + 3×((-2)^2 + 2×(-2))]=\frac{1}{3}(12 + 0)=4$；
当$x=-1$时，$\frac{1}{3}[6×1 + 3×((-1)^2 + 2×(-1))]=\frac{1}{3}(6 - 3)=1$；
当$x=0$时，$\frac{1}{3}[6×0 + 3×(0^2 + 2×0)]=\frac{1}{3}(0 + 0)=0$；
（2）化简程序的运算式：
$\begin{aligned}\frac{1}{3}[6(-x)+3(x^2+2x)]&=\frac{1}{3}(-6x + 3x^2 + 6x)\\&=\frac{1}{3}×3x^2\\&=x^2\end{aligned}$
因此输入数据$x$时，输出的答案是$x^2$；
（3）上述化简过程已验证，无论$x$取何值，运算结果均为$x^2$，规律成立。
【答案】（1）表格中依次为9、4、1、0；（2）$x^2$；（3）验证过程如解析所示。
【知识点】整式的加减运算，代数式规律探究
【点评】本题以程序计算为载体，考察整式的化简与代数式规律的探究，属于基础题型，学生只需掌握整式的去括号、合并同类项运算，即可顺利解题。
【难度系数】0.7
【解析】（1）根据程序的运算式$\frac{1}{3}[6(-x)+3(x^2+2x)]$，分别代入输入的x值计算：
当$x=-3$时，$\frac{1}{3}[6×3 + 3×((-3)^2 + 2×(-3))]=\frac{1}{3}(18 + 9)=9$；
当$x=-2$时，$\frac{1}{3}[6×2 + 3×((-2)^2 + 2×(-2))]=\frac{1}{3}(12 + 0)=4$；
当$x=-1$时，$\frac{1}{3}[6×1 + 3×((-1)^2 + 2×(-1))]=\frac{1}{3}(6 - 3)=1$；
当$x=0$时，$\frac{1}{3}[6×0 + 3×(0^2 + 2×0)]=\frac{1}{3}(0 + 0)=0$；
（2）化简程序的运算式：
$\begin{aligned}\frac{1}{3}[6(-x)+3(x^2+2x)]&=\frac{1}{3}(-6x + 3x^2 + 6x)\\&=\frac{1}{3}×3x^2\\&=x^2\end{aligned}$
因此输入数据$x$时，输出的答案是$x^2$；
（3）上述化简过程已验证，无论$x$取何值，运算结果均为$x^2$，规律成立。
【答案】（1）表格中依次为9、4、1、0；（2）$x^2$；（3）验证过程如解析所示。
【知识点】整式的加减运算，代数式规律探究
【点评】本题以程序计算为载体，考察整式的化简与代数式规律的探究，属于基础题型，学生只需掌握整式的去括号、合并同类项运算，即可顺利解题。
【难度系数】0.7
