1. 小明在综合与实践课上设计了一个如图所示的运算程序。当输入的 $ x $ 的值为 4 时，输出的结果为 36，则输入的 $ x $ 的值为 -6 时，输出的结果为。

1. 126

解：设第一个“？”处的运算为$x^2$，第二个“？”处的运算为$y$。
当输入$x = 4$时，根据程序可得：$(4^2 - 4) × 3 = (16 - 4) × 3 = 12 × 3 = 36$，符合输出结果，故程序为$(x^2 - x) × 3$。
当输入$x = -6$时，输出结果为$[(-6)^2 - (-6)] × 3 = (36 + 6) × 3 = 42 × 3 = 126$。
126

2. 下面是一个运算程序，若输入的数 $ x = -1 $，则输出的结果为。

2. 7

解：$x=-1$为奇数，代入$3x^{2}-3^{0}$得：$3×(-1)^{2}-1=3×1 - 1=2$。$2＜4$，返回输入。
再次输入$x=2$为偶数，代入$x^{2}+(\frac{1}{3})^{-1}$得：$2^{2}+3=4 + 3=7$。$7＞4$，输出结果。
7

3. 一台整式转换器的原理如图所示。开始时，输入关于 $ x $ 的整式 $ M $。当 $ M = x + 1 $ 时，第一次输出 $ 3x + 1 $。继续下去，则第二次输出的结果是。

3. $7x + 1$

当$ M = x + 1 $时，第一次输出为$ 3x + 1 $。
第二次输入$ M = 3x + 1 $，按照转换器原理计算：
$\begin{aligned}&[(3x + 1) + \frac{x}{2}] × 2 + N\\\end{aligned}$
由第一次输入$ M = x + 1 $输出$ 3x + 1 $，可得：
$[(x + 1) + \frac{x}{2}] × 2 + N = 3x + 1$
$( \frac{3x}{2} + 1 ) × 2 + N = 3x + 1$
$3x + 2 + N = 3x + 1$
解得$ N = -1 $。
将$ M = 3x + 1 $，$ N = -1 $代入第二次计算：
$[(3x + 1) + \frac{x}{2}] × 2 + (-1)$
$= ( \frac{7x}{2} + 1 ) × 2 - 1$
$= 7x + 2 - 1$
$= 7x + 1$
$7x + 1$

4. 按下列程序计算，然后探究规律。
(1) 填写表格：

(2) 你发现的规律：。
(3) 验证你发现的规律。

4. 解:(1)0 0 0
(2)输入任何数,输出的结果都为0
(3)因为$\frac{x^{2}+x}{2}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x = 0$,
所以无论$x$是何值,结果都为0,即答案与字母$x$的取值无关。

【分析】首先明确程序的运算步骤：输入数x后，依次计算$\frac{x^2+x}{2}$，再减去$\frac{1}{2}x^2$，最后减去$\frac{1}{2}x$；第一步代入表格中的输入数计算结果，填写表格；第二步观察结果总结规律；第三步通过对运算式进行整式化简，验证规律的普遍性。
【解析】(1) 对任意输入的数，按程序计算：$\frac{x^2+x}{2}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，代入任意数（如x=0、1、2）计算，结果均为0，故表格填写0、0、0；
(2) 观察所有计算结果，可得规律：输入任何数，输出的结果都为0；
(3) 对运算式化简：$\frac{x^2+x}{2}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x=0$，因此无论x取何值，结果都为0，与x的取值无关，验证规律成立。
【答案】(1)0 0 0；(2)输入任何数，输出的结果都为0；(3)化简后结果为0，与x取值无关
【知识点】整式的加减运算，代数式化简，规律探究
【点评】本题以程序计算为载体，考查整式的加减运算，核心是通过列式化简发现并验证规律，属于基础题型，难度适中，注重代数运算能力的应用。
【难度系数】0.7

5. 定义一种新运算：$\nabla(x)=-2x - 1$，$\nabla(x)$ 表示 $ x $ 在运算 $\nabla$ 的作用下的结果。例如，$\nabla(1)=-2× 1 - 1 = -3$，$\nabla(-2)=-2× (-2) - 1 = 3$。利用以上规律计算：
(1) $\nabla(2024)-\nabla(2022)$；
(2) $\nabla(5m^{2}+n)-\nabla(5m^{2}-n)$。

5. 解:(1)因为$\nabla(x)=-2x - 1$,
所以$\nabla(2024)-\nabla(2022)$
$\begin{aligned}&=(-2×2024 - 1)-(-2×2022 - 1)\\&=-4\end{aligned}$
(2)因为$\nabla(x)=-2x - 1$,
所以$\nabla(5m^{2}+n)-\nabla(5m^{2}-n)$
$\begin{aligned}&=[-2(5m^{2}+n)-1]-[-2(5m^{2}-n)-1]\\&=-4n\end{aligned}$

【分析】本题是新定义运算题型，核心是明确新运算∇(x)的规则：将括号内的数或代数式作为x，代入表达式-2x -1中计算结果。解题时，先分别求出两个∇运算的结果，再利用去括号、合并同类项的整式加减法则化简，即可得到最终答案。
【解析】
(1) 已知∇(x)=-2x -1，将x=2024和x=2022分别代入：
∇(2024)-∇(2022)
=(-2×2024 -1)-(-2×2022 -1)
=-4048 -1 +4044 +1
=-4；
(2) 同理，将x=5m²+n和x=5m²-n代入：
∇(5m²+n)-∇(5m²-n)
=[-2(5m²+n)-1]-[-2(5m²-n)-1]
=-10m² -2n -1 +10m² -2n +1
=-4n；
【答案】(1)-4；(2)-4n
【知识点】新定义运算、整式的加减
【点评】本题考查新定义运算的理解与应用，解题关键是准确把握新运算的规则，再结合整式的加减运算法则化简，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

6. 输入任意一个三位数，如 325，重复该数，得到 325 325。将该数除以 7，然后除以 11，再除以 13，结果回到原来输入的数。你能解释这个现象吗？

6. 解:设任意输入的三位数为$100a + 10b + c$,则
$(100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c)÷(7×11×13)=(100100a + 10010b + 1001c)÷1001 = 100a + 10b + c$。

【分析】要解释该现象，需用代数形式表示三位数及其重复后的数，再结合7、11、13的乘积特性推导。首先设三位数为$100a+10b+c$，重复后的数是原数的1000倍加原数，整理后可发现其为1001的倍数，而$7×11×13=1001$，因此重复后的数除以这三个数的乘积会回到原数。
【解析】设任意输入的三位数为$100a + 10b + c$（其中$a$为1~9的整数，$b$、$c$为0~9的整数），则重复该数后得到的数为：
$100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c$
合并同类项得：
$100100a + 10010b + 1001c$
因为$7×11×13 = 1001$，所以将该数除以$7×11×13$：
$(100100a + 10010b + 1001c) ÷ (7×11×13) = (100100a + 10010b + 1001c) ÷ 1001 = 100a + 10b + c$
结果恰好为原来输入的三位数，该现象成立。
【答案】设任意输入的三位数为$100a + 10b + c$，则$(100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c)÷(7×11×13)=(100100a + 10010b + 1001c)÷1001 = 100a + 10b + c$。
【知识点】代数式的应用、数的整除性质
【点评】本题通过代数推导揭示了数字重复后的整除规律，核心是发现7、11、13的乘积为1001，体现了代数方法在探究数字规律中的作用，能提升学生的代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】0.5