5. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律。如图，这是 2025 年 8 月份的日历，任意选择一个方框，每个方框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的 2 倍作差。例如，$ 3×19 + 5×17 - 2×11^2 = - 100 $，$ 14×30 + 16×28 - 2×22^2 = - 100 $。不难发现，结果都是$ - 100 $。

(1) 设方框中间的数字为 $ x $，请用含 $ x $ 的式子表示你发现的规律：；
(2) 利用整式的运算对(1)中的规律加以证明。

5. 解：（1）$ (x + 8)(x - 8) + (x - 6)(x + 6) - 2x^2 = -100 $
（2）$ (x + 8)(x - 8) + (x + 6)(x - 6) - 2x^2 $
$ = x^2 - 64 + x^2 - 36 - 2x^2 $
$ = -100 $，
故这一规律成立。

【分析】首先观察日历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。对于题目中的方框，中间数为$x$，四个角的数可根据排列特点推导：左上角比中间数小8（左移1、上移7，共减8），右上角比中间数小6（右移1、上移7，共减6），左下角比中间数大6（左移1、下移7，共加6），右下角比中间数大8（右移1、下移7，共加8）。接着按题目要求写出对应式子，再通过整式运算验证结果恒为$-100$。
【解析】（1）根据上述规律，交叉相乘求和再与中间数平方的2倍作差，可得式子：$(x + 8)(x - 8) + (x - 6)(x + 6) - 2x^2$，结合例子结果，完整规律为$(x + 8)(x - 8) + (x - 6)(x + 6) - 2x^2 = -100$。
（2）证明：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开式子：
$\begin{aligned}&(x + 8)(x - 8) + (x - 6)(x + 6) - 2x^2\\=&x^2 - 64 + x^2 - 36 - 2x^2\\=&(x^2 + x^2 - 2x^2) + (-64 - 36)\\=&0 - 100\\=&-100\end{aligned}$
故该规律成立。
【答案】（1）$(x + 8)(x - 8) + (x - 6)(x + 6) - 2x^2 = -100$；（2）证明如上，结果恒为$-100$。
【知识点】整式运算、平方差公式、日历数字规律
【点评】本题结合日历的数字排列特点，考查整式运算与平方差公式的应用，需要先观察规律表示各数，再通过代数运算验证结论，能锻炼学生的观察和运算能力，属于中等难度的代数规律探究题。
【难度系数】0.5

6. 小聪对“十位数字相同、个位数字的和为 10 的两位数乘法”进行了深入探究，得到下列速算方法：十位数字相同、个位数字的和为 10 的两位数相乘，将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加 1 的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位；将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位(若数位不足两位，则前一位用零补齐)。例如，$ 47×43 $，它们乘积的前两位是 4 与$ (4 + 1) $的积，即 20，它们乘积的后两位是 7 与 3 的积，即 21，所以 $ 47×43 = 2021 $；又如，$ 21×29 $，$ 2×(2 + 1) = 6 $，不足两位，就将 6 写在百位，$ 1×9 = 9 $，不足两位，就将 9 写在个位，十位上写零，所以$ 21×29 = 609 $。
(1) 请用上述阅读材料中的方法计算：$ 74×76 = $。
(2) 请写出一个具有类似结构特征的两位数乘法：。
(3) 设其中一个因数的十位数字为 $ a $，个位数字为 $ b $($ 1 ≤ a ≤ 9 $，$ 1 ≤ b ≤ 9 $，$ a $，$ b $ 都是正整数)。
① 这两个因数可分别表示为和；(用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示)
② 用所学的整式乘法证明上述阅读材料中的速算方法是正确的。

6. 解：（1）5 624
（2）$ 56 × 54 = 3024 $（答案不唯一）
（3）① $ 10a + b $ $ 10a + 10 - b $
② 这两个两位数的积为
$ (10a + b)(10a + 10 - b) = 100a^2 + 100a - 10ab + 10ab + 10b - b^2 = 100a^2 + 100a - b^2 + 10b = 100a(a + 1) + b(10 - b) $，
所以阅读材料中的速算方法是正确的。

【分析】
本题是规律探究类题目，首先需理解题目给出的“十位数字相同、个位数字和为10的两位数乘法”的速算方法，再分步骤解决问题：第（1）题直接套用速算方法计算；第（2）题根据结构特征构造符合要求的乘法算式；第（3）题用含a、b的代数式表示两个因数，再通过整式乘法展开化简，验证速算方法的正确性。
【解析】
（1）对于74×76，十位数字均为7，个位数字4+6=10，根据速算方法：前两位为7×(7+1)=56，后两位为4×6=24，因此74×76=5624；
（2）构造符合“十位相同、个位和为10”的乘法算式，如56×54（答案不唯一）；
（3）① 一个因数十位为a、个位为b，故表示为10a+b；另一个因数个位为10-b，故表示为10a+(10-b)=10a+10-b；
② 证明：两个因数的乘积为
$\begin{aligned}(10a + b)(10a + 10 - b)&=100a^2 + 100a -10ab +10ab +10b -b^2\\&=100a^2 +100a +10b -b^2\\&=100a(a+1)+b(10 -b)\end{aligned}$
该结果对应速算方法：前两位为a×(a+1)，后两位为b×(10-b)，故速算方法正确。
【答案】
（1）5624；（2）$56×54=3024$（答案不唯一）；（3）①$10a + b$；$10a +10 -b$；②证明如上
【知识点】
整式乘法、代数式表示、规律探究
【点评】
本题通过具体实例总结两位数乘法的速算规律，再用代数运算证明规律的正确性，考查学生的观察归纳能力与整式运算能力，是基础代数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6