16. （★★）如图，在 $ △ ABC $中，BC的垂直平分线 DE分别交 AB，BC于点 D，E，且 $ BD^{2}- AD^{2}=AC^{2}. $
(1) 求证： $ △ ABC $是直角三角形；
(2) 若 $ B C=2 \sqrt{1 4}, A D: B D=3: 4 $ ，求AC的长.

16. (1)如图,连接$CD$.

$\because DE$是$BC$的垂直平分线,
$\therefore CD=BD$.
$\because BD^{2}-AD^{2}=AC^{2}$,
$\therefore CD^{2}-AD^{2}=AC^{2}$.
$\therefore CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}$.
$\therefore △ ACD$是直角三角形,且$∠ A=90°$.
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)设$AD=3x(x＞0),BD=4x$,则$CD=BD=4x,AB=AD+BD=7x$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AC=\sqrt{CD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{16x^{2}-9x^{2}}=\sqrt{7}x$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$.
$\therefore (\sqrt{7}x)^{2}+(7x)^{2}=(2\sqrt{14})^{2}$.
$\therefore AC=\sqrt{7}×1=\sqrt{7}$.

 17. （★★★）如图，在 $ △ ABC $中，AB=5， AC=13，BC边上的中线AD=6.求BC的长.

17. 如图,延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,连接$CE$.

$\therefore DE=AD=6$.
$\therefore AE=2AD=12$.
$\because AD$是$BC$边上的中线,
$\therefore BD=CD$.
又$\because ∠ ADB=∠ EDC$,
$\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$.
$\therefore EC=AB=5$.
在$△ AEC$中,$AE^{2}+EC^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}=AC^{2}$,
$\therefore △ AEC$是直角三角形,且$∠ E=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中,根据勾股定理,得$CD^{2}=EC^{2}+DE^{2}=61$,
$\therefore CD=\sqrt{61}$.
$\therefore BC=2CD=2\sqrt{61}$.