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一、选择题
1. 在下列以线段$a,b,c$的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（
A.$a:b:c=2:3:4$
B.$a=b=5,c=5\sqrt{3}$
C.$a=\sqrt{5},b=\sqrt{3},c=2$
D.$a=8,b=15,c=17$
1. 在下列以线段$a,b,c$的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（
D
）A.$a:b:c=2:3:4$
B.$a=b=5,c=5\sqrt{3}$
C.$a=\sqrt{5},b=\sqrt{3},c=2$
D.$a=8,b=15,c=17$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先定位每个选项中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可得出结论。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A. 设三条边为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），最长边为$4k$。计算得：$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，$13k^2≠16k^2$，不能构成直角三角形。
B. 最长边为$5\sqrt{3}$，计算得：$5^2+5^2=25+25=50$，$(5\sqrt{3})^2=75$，$50≠75$，不能构成直角三角形。
C. 最长边为$\sqrt{5}$，计算得：$(\sqrt{3})^2+2^2=3+4=7$，$(\sqrt{5})^2=5$，$7≠5$，不能构成直角三角形。
D. 最长边为$17$，计算得：$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，满足$a^2+b^2=c^2$，可以构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用，解题核心是先确定最长边，再验证三边的平方关系，计算带根号或倍数的边长平方时要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先定位每个选项中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可得出结论。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A. 设三条边为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$），最长边为$4k$。计算得：$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，$13k^2≠16k^2$，不能构成直角三角形。
B. 最长边为$5\sqrt{3}$，计算得：$5^2+5^2=25+25=50$，$(5\sqrt{3})^2=75$，$50≠75$，不能构成直角三角形。
C. 最长边为$\sqrt{5}$，计算得：$(\sqrt{3})^2+2^2=3+4=7$，$(\sqrt{5})^2=5$，$7≠5$，不能构成直角三角形。
D. 最长边为$17$，计算得：$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，满足$a^2+b^2=c^2$，可以构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用，解题核心是先确定最长边，再验证三边的平方关系，计算带根号或倍数的边长平方时要仔细，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{10}$
C.$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
C
）A.$\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{10}$
C.$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算与性质相关知识，解题思路为逐个验证每个选项的计算是否正确：首先回忆二次根式的运算法则、化简规则以及算术平方根的非负性，依次对四个选项进行计算判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}=2$，$2$和$\sqrt{2}$不是同类二次根式，无法合并，故$\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，A错误；
B选项：先化简$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，因此$\frac{\sqrt{20}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}≠\sqrt{10}$，B错误；
C选项：根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，C正确；
D选项：根据算术平方根的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3≠-3$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算、二次根式化简、算术平方根性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基础运算与核心性质，解题时需注意：只有同类二次根式才能合并，算术平方根的结果一定是非负数，二次根式化简时要先将被开方数分解出完全平方因数再计算，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算与性质相关知识，解题思路为逐个验证每个选项的计算是否正确：首先回忆二次根式的运算法则、化简规则以及算术平方根的非负性，依次对四个选项进行计算判断，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}=2$，$2$和$\sqrt{2}$不是同类二次根式，无法合并，故$\sqrt{4}-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，A错误；
B选项：先化简$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，因此$\frac{\sqrt{20}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}≠\sqrt{10}$，B错误；
C选项：根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，C正确；
D选项：根据算术平方根的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3≠-3$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式运算、二次根式化简、算术平方根性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基础运算与核心性质，解题时需注意：只有同类二次根式才能合并，算术平方根的结果一定是非负数，二次根式化简时要先将被开方数分解出完全平方因数再计算，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列各图中能表示出 y 是关于 x 的函数的是 （
D
）答案
3.D
解析
【分析】
要判断y是否是x的函数，核心依据是函数的定义：在x的取值范围内，任意给定一个x的确定值，y都有且只有唯一确定的值与之对应。通用的判断方法是“垂直x轴直线法”：作垂直于x轴的直线，沿x轴方向移动直线，若直线与图像始终最多有1个交点，则y是x的函数，反之则不是。我们用这个方法逐一判断四个选项即可。
【解析】
根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们通过“垂直x轴直线法”逐一判断：
1. 选项A：垂直于x轴的直线与圆会有2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：当x＞0时，垂直于x轴的直线与两条射线有2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：当x≠0时，垂直于x轴的直线与曲线有2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
4. 选项D：任意垂直于x轴的直线与图像始终只有1个交点，即每个x值对应唯一的y值，符合函数定义。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义、函数图像判定
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，只要掌握函数“一个x对应唯一y”的核心判定标准，就能快速通过作图法选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断y是否是x的函数，核心依据是函数的定义：在x的取值范围内，任意给定一个x的确定值，y都有且只有唯一确定的值与之对应。通用的判断方法是“垂直x轴直线法”：作垂直于x轴的直线，沿x轴方向移动直线，若直线与图像始终最多有1个交点，则y是x的函数，反之则不是。我们用这个方法逐一判断四个选项即可。
【解析】
根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们通过“垂直x轴直线法”逐一判断：
1. 选项A：垂直于x轴的直线与圆会有2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：当x＞0时，垂直于x轴的直线与两条射线有2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：当x≠0时，垂直于x轴的直线与曲线有2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
4. 选项D：任意垂直于x轴的直线与图像始终只有1个交点，即每个x值对应唯一的y值，符合函数定义。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义、函数图像判定
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，只要掌握函数“一个x对应唯一y”的核心判定标准，就能快速通过作图法选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.现有一组负数分别为－1，－0.5，－2，－2.5，－5，－8，－4，－7，则这组负数的中位数为（
A.－2.5
B.－3.75
C.－4
D.－3.25
D
）A.－2.5
B.－3.75
C.－4
D.－3.25
答案
4.D
解析
【分析】
要计算这组负数的中位数，首先明确中位数的求解步骤：第一步先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；第二步判断数据总个数的奇偶性：若个数为奇数，中位数是排序后最中间的数；若个数为偶数，中位数是排序后最中间两个数的平均数。本题需注意负数比较大小的规则：绝对值越大的负数，数值越小，排序时不要搞反顺序。
【解析】
首先将这组负数按照从小到大的顺序排列：
$-8, -7, -5, -4, -2.5, -2, -1, -0.5$
这组数据共有8个，是偶数个，因此中位数为排序后第4个和第5个数的平均数。
第4个数是$-4$，第5个数是$-2.5$，则中位数为：
$\frac{(-4) + (-2.5)}{2} = \frac{-6.5}{2} = -3.25$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
中位数的计算,有理数大小比较
【点评】
本题核心考查中位数的求解方法，易错点是负数排序时容易因忽略负数大小比较规则排错顺序，进而选错答案；同时要注意当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不要误取单个中间数作为结果。
【难度系数】
0.7
要计算这组负数的中位数，首先明确中位数的求解步骤：第一步先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；第二步判断数据总个数的奇偶性：若个数为奇数，中位数是排序后最中间的数；若个数为偶数，中位数是排序后最中间两个数的平均数。本题需注意负数比较大小的规则：绝对值越大的负数，数值越小，排序时不要搞反顺序。
【解析】
首先将这组负数按照从小到大的顺序排列：
$-8, -7, -5, -4, -2.5, -2, -1, -0.5$
这组数据共有8个，是偶数个，因此中位数为排序后第4个和第5个数的平均数。
第4个数是$-4$，第5个数是$-2.5$，则中位数为：
$\frac{(-4) + (-2.5)}{2} = \frac{-6.5}{2} = -3.25$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
中位数的计算,有理数大小比较
【点评】
本题核心考查中位数的求解方法，易错点是负数排序时容易因忽略负数大小比较规则排错顺序，进而选错答案；同时要注意当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，不要误取单个中间数作为结果。
【难度系数】
0.7
5. 下列说法中能判定是菱形的是 （
A.四条边都相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.对角线相等的平行四边形
D.一组对边平行且相等的四边形
A
）A.四条边都相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.对角线相等的平行四边形
D.一组对边平行且相等的四边形
答案
5.A
解析
【分析】
解决本题首先要熟记菱形的判定定理，同时注意区分菱形、平行四边形、矩形的判定条件，避免混淆。解题时逐个分析每个选项给出的条件，判断是否能唯一判定为菱形，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确特殊四边形的相关判定定理：
菱形的判定定理：1. 四条边相等的四边形是菱形；2. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对各选项逐一分析：
A. 四条边都相等的四边形，直接符合菱形的判定定理，可判定为菱形，该选项正确；
B. 仅对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形，需要补充“是平行四边形”这个前提才符合菱形判定，该选项错误；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，不属于菱形的判定，该选项错误；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，需要补充邻边相等或对角线垂直的条件才能判定为菱形，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，核心考查不同特殊四边形判定定理的区分，易错点是忽略部分菱形判定中“平行四边形”的前提条件，以及混淆不同特殊四边形的判定要求，学习时要注意对比记忆各类判定定理。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要熟记菱形的判定定理，同时注意区分菱形、平行四边形、矩形的判定条件，避免混淆。解题时逐个分析每个选项给出的条件，判断是否能唯一判定为菱形，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确特殊四边形的相关判定定理：
菱形的判定定理：1. 四条边相等的四边形是菱形；2. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
对各选项逐一分析：
A. 四条边都相等的四边形，直接符合菱形的判定定理，可判定为菱形，该选项正确；
B. 仅对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形，需要补充“是平行四边形”这个前提才符合菱形判定，该选项错误；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，不属于菱形的判定，该选项错误；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，需要补充邻边相等或对角线垂直的条件才能判定为菱形，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，核心考查不同特殊四边形判定定理的区分，易错点是忽略部分菱形判定中“平行四边形”的前提条件，以及混淆不同特殊四边形的判定要求，学习时要注意对比记忆各类判定定理。
【难度系数】
0.8
6.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别是9，25，4，9，则最大的正方形E的面积是（
A.13
B.26
C.47
D.94
C
）A.13
B.26
C.47
D.94
答案
6.C
解析
【分析】
我们可以结合勾股定理和正方形面积的性质来解题：首先观察图形，正方形A、B分别在同一个直角三角形的两条直角边外侧，正方形C、D分别在另一个直角三角形的两条直角边外侧。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此两个小正方形的面积和就等于以对应直角三角形斜边为边长的正方形的面积。我们先分别求出A+B的面积和、C+D的面积和，这两个和对应的是最下方大直角三角形的两条直角边对应的正方形面积，再相加就能得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。
1. 计算A、B对应的中间正方形面积：$S_1 = S_A + S_B = 9 + 25 = 34$
2. 计算C、D对应的中间正方形面积：$S_2 = S_C + S_D = 4 + 9 = 13$
3. 最大正方形E的面积等于上述两个中间正方形的面积和：$S_E = S_1 + S_2 = 34 + 13 = 47$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，将数的平方关系和图形的面积关系结合，只要理解勾股定理中边长平方的几何含义，就能快速推导求解。
【难度系数】
0.7
我们可以结合勾股定理和正方形面积的性质来解题：首先观察图形，正方形A、B分别在同一个直角三角形的两条直角边外侧，正方形C、D分别在另一个直角三角形的两条直角边外侧。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此两个小正方形的面积和就等于以对应直角三角形斜边为边长的正方形的面积。我们先分别求出A+B的面积和、C+D的面积和，这两个和对应的是最下方大直角三角形的两条直角边对应的正方形面积，再相加就能得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。
1. 计算A、B对应的中间正方形面积：$S_1 = S_A + S_B = 9 + 25 = 34$
2. 计算C、D对应的中间正方形面积：$S_2 = S_C + S_D = 4 + 9 = 13$
3. 最大正方形E的面积等于上述两个中间正方形的面积和：$S_E = S_1 + S_2 = 34 + 13 = 47$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，将数的平方关系和图形的面积关系结合，只要理解勾股定理中边长平方的几何含义，就能快速推导求解。
【难度系数】
0.7
