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5. 将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有 （
A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
A
）A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
答案
5.A
解析
【分析】
要解决兑换方案的问题，首先可以通过设未知数建立等量关系：设兑换时10元的有x张，20元的有y张，根据总面值为100元列出方程。由于人民币的张数只能是非负整数，因此只需要找出方程的所有非负整数解，解的数量就是兑换方案的数量。
【解析】
设兑换成10元的人民币x张，20元的人民币y张，其中x、y均为非负整数。
根据总面值为100元，可列方程：
$10x + 20y = 100$
化简得：$x + 2y = 10$，即$x = 10 - 2y$
接下来列举y的所有非负整数取值：
当$y=0$时，$x=10-0=10$，符合要求；
当$y=1$时，$x=10-2=8$，符合要求；
当$y=2$时，$x=10-4=6$，符合要求；
当$y=3$时，$x=10-6=4$，符合要求；
当$y=4$时，$x=10-8=2$，符合要求；
当$y=5$时，$x=10-10=0$，符合要求；
y取大于5的整数时，x为负数，不符合实际意义，因此共有6种兑换方案。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的应用；不定方程的非负整数解
【点评】
本题结合生活实际考查不定方程的应用，解题的核心是根据题意列出方程后，结合未知数的实际意义列举所有可行解，要注意不要遗漏全为10元或全为20元的边界情况。
【难度系数】
0.7
要解决兑换方案的问题，首先可以通过设未知数建立等量关系：设兑换时10元的有x张，20元的有y张，根据总面值为100元列出方程。由于人民币的张数只能是非负整数，因此只需要找出方程的所有非负整数解，解的数量就是兑换方案的数量。
【解析】
设兑换成10元的人民币x张，20元的人民币y张，其中x、y均为非负整数。
根据总面值为100元，可列方程：
$10x + 20y = 100$
化简得：$x + 2y = 10$，即$x = 10 - 2y$
接下来列举y的所有非负整数取值：
当$y=0$时，$x=10-0=10$，符合要求；
当$y=1$时，$x=10-2=8$，符合要求；
当$y=2$时，$x=10-4=6$，符合要求；
当$y=3$时，$x=10-6=4$，符合要求；
当$y=4$时，$x=10-8=2$，符合要求；
当$y=5$时，$x=10-10=0$，符合要求；
y取大于5的整数时，x为负数，不符合实际意义，因此共有6种兑换方案。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的应用；不定方程的非负整数解
【点评】
本题结合生活实际考查不定方程的应用，解题的核心是根据题意列出方程后，结合未知数的实际意义列举所有可行解，要注意不要遗漏全为10元或全为20元的边界情况。
【难度系数】
0.7
6.《九章算术》在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图1、2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与对应的常数项.把图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23.\end{cases}$类似地，图2所示的算筹图可表述为（ ）
A.$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=27\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=22\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x+y=6, \\4x+3y=27\end{cases}$
A.$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=27\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x+y=11, \\4x+3y=22\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x+y=6, \\4x+3y=27\end{cases}$
答案
6.A
解析
【分析】
首先根据题目给出的图1对应的方程组，总结算筹的计数规则：1. x、y的系数：1根竖线代表数值1，竖线的数量就是对应的系数值；2. 常数项是两位数，左侧的横线代表十位，1根横线代表10，横线数量乘10就是十位的数值；右侧部分代表个位，上方1根横线代表5，下方1根竖线代表1，二者相加就是个位的数值，十位数值加个位数值就是常数项。再将规则套用至图2，分别求出两个方程的x系数、y系数、常数项，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：从已知示例总结计数规则
根据图1对应方程组$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23\end{cases}$可得：
① 未知数x、y的系数：竖线总数就是系数的数值，1根竖线代表1；
② 常数项：左侧横线代表十位，1根横线代表10；右侧代表个位，上方1根横线代表5，下方1根竖线代表1，二者相加得个位数值，十位数值加个位数值就是常数项。
第二步：推导图2第一个方程
图2第一行：x系数为2根竖线，即2；y系数为1根竖线，即1；常数项左侧1根横线代表10，右侧1根竖线代表1，常数项为$10+1=11$，因此第一个方程为$2x+y=11$，排除C、D选项。
第三步：推导图2第二个方程
图2第二行：x系数为4根竖线，即4；y系数为3根竖线，即3；常数项左侧2根横线代表20，右侧1根上横线加2根下竖线，个位为$5+2=7$，常数项为$20+7=27$，因此第二个方程为$4x+3y=27$，排除B选项。
【答案】
A
【知识点】
算筹计数，二元一次方程组
【点评】
本题属于古代数学文化类题型，核心是先从给出的示例中提取通用计数规则，再迁移规则解决新的问题，考查信息提取和应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的图1对应的方程组，总结算筹的计数规则：1. x、y的系数：1根竖线代表数值1，竖线的数量就是对应的系数值；2. 常数项是两位数，左侧的横线代表十位，1根横线代表10，横线数量乘10就是十位的数值；右侧部分代表个位，上方1根横线代表5，下方1根竖线代表1，二者相加就是个位的数值，十位数值加个位数值就是常数项。再将规则套用至图2，分别求出两个方程的x系数、y系数、常数项，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：从已知示例总结计数规则
根据图1对应方程组$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23\end{cases}$可得：
① 未知数x、y的系数：竖线总数就是系数的数值，1根竖线代表1；
② 常数项：左侧横线代表十位，1根横线代表10；右侧代表个位，上方1根横线代表5，下方1根竖线代表1，二者相加得个位数值，十位数值加个位数值就是常数项。
第二步：推导图2第一个方程
图2第一行：x系数为2根竖线，即2；y系数为1根竖线，即1；常数项左侧1根横线代表10，右侧1根竖线代表1，常数项为$10+1=11$，因此第一个方程为$2x+y=11$，排除C、D选项。
第三步：推导图2第二个方程
图2第二行：x系数为4根竖线，即4；y系数为3根竖线，即3；常数项左侧2根横线代表20，右侧1根上横线加2根下竖线，个位为$5+2=7$，常数项为$20+7=27$，因此第二个方程为$4x+3y=27$，排除B选项。
【答案】
A
【知识点】
算筹计数，二元一次方程组
【点评】
本题属于古代数学文化类题型，核心是先从给出的示例中提取通用计数规则，再迁移规则解决新的问题，考查信息提取和应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 小明在拼图时，发现8个一样大小的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图；小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图
那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为2 mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（
A.$60\ \mathrm{mm}^2$
B.$54\ \mathrm{mm}^2$
C.$48\ \mathrm{mm}^2$
D.$42\ \mathrm{mm}^2$
那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为2 mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（A
）A.$60\ \mathrm{mm}^2$
B.$54\ \mathrm{mm}^2$
C.$48\ \mathrm{mm}^2$
D.$42\ \mathrm{mm}^2$
答案
7.A
解析
【分析】
这是一道几何拼接结合方程的应用题，解题思路如下：第一步，设每个小长方形的长为x mm，宽为y mm；第二步，观察图1的大长方形，上下对边长度相等，上方是5个小长方形的宽拼接，下方是3个小长方形的长拼接，得到第一个等量关系；第三步，观察图2的正方形，中间小正方形边长为2mm，可知两个小长方形的宽比1个小长方形的长多2mm，得到第二个等量关系；第四步，联立两个等量关系组成二元一次方程组，求解得到长和宽，最后计算小长方形的面积即可。
【解析】
设每个小长方形的长为$x\ \mathrm{mm}$，宽为$y\ \mathrm{mm}$，根据题意列方程组：
1. 由图1大长方形上下边长度相等，得：$3x = 5y$
2. 由图2正方形中间小正方形边长为2mm，得：$2y - x = 2$
将第二个方程变形为$x = 2y - 2$，代入第一个方程：
$3(2y - 2) = 5y$
展开得：$6y - 6 = 5y$
解得：$y = 6$
把$y=6$代入$x = 2y - 2$，得$x = 2×6 - 2 = 10$
所以每个小长方形的面积为$x× y = 10×6 = 60\ \mathrm{mm}^2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；矩形的性质
【点评】
本题是典型的图形拼接类方程应用题，解题核心是通过观察图形找到不同边长之间的等量关系，既考查了读图分析能力，也考查了方程思想的实际应用。
【难度系数】
0.6
这是一道几何拼接结合方程的应用题，解题思路如下：第一步，设每个小长方形的长为x mm，宽为y mm；第二步，观察图1的大长方形，上下对边长度相等，上方是5个小长方形的宽拼接，下方是3个小长方形的长拼接，得到第一个等量关系；第三步，观察图2的正方形，中间小正方形边长为2mm，可知两个小长方形的宽比1个小长方形的长多2mm，得到第二个等量关系；第四步，联立两个等量关系组成二元一次方程组，求解得到长和宽，最后计算小长方形的面积即可。
【解析】
设每个小长方形的长为$x\ \mathrm{mm}$，宽为$y\ \mathrm{mm}$，根据题意列方程组：
1. 由图1大长方形上下边长度相等，得：$3x = 5y$
2. 由图2正方形中间小正方形边长为2mm，得：$2y - x = 2$
将第二个方程变形为$x = 2y - 2$，代入第一个方程：
$3(2y - 2) = 5y$
展开得：$6y - 6 = 5y$
解得：$y = 6$
把$y=6$代入$x = 2y - 2$，得$x = 2×6 - 2 = 10$
所以每个小长方形的面积为$x× y = 10×6 = 60\ \mathrm{mm}^2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；矩形的性质
【点评】
本题是典型的图形拼接类方程应用题，解题核心是通过观察图形找到不同边长之间的等量关系，既考查了读图分析能力，也考查了方程思想的实际应用。
【难度系数】
0.6
8.某超市的账目记录显示，某天卖出13盒牙膏和7支牙刷，收入132元；另一天以同样的价格卖出同类的5盒牙膏和8支牙刷，收入72元，则该超市以同样的价格卖出同类的6盒牙膏和5支牙刷，可收入
68
元.答案
8.68
解析
【分析】
本题属于购物消费类的实际应用问题，解题时首先确定未知量：牙膏的单价、牙刷的单价，再根据题目给出的两次销售的收入信息找到两个等量关系，通过设未知数列二元一次方程组，求解得到两种商品的单价后，最后代入所求的消费组合计算总收入即可。
【解析】
解：设每盒牙膏的售价为$x$元，每支牙刷的售价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}13x + 7y = 132 \quad \mathrm{①} \\5x + 8y = 72 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用消元法解方程组：
将①×8，得：$104x + 56y = 1056$ $\quad$③
将②×7，得：$35x + 56y = 504$ $\quad$④
用③ - ④消去$y$，得：
$104x - 35x = 1056 - 504$
$69x = 552$
解得：$x = 8$
把$x=8$代入②，得：
$5×8 + 8y = 72$
$40 + 8y =72$
$8y =32$
解得：$y=4$
则卖出6盒牙膏和5支牙刷的收入为：
$6x +5y =6×8 +5×4 =48 +20 =68$（元）
【答案】
68
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是方程思想在实际问题中的典型应用，解题核心是准确从题干中提取等量关系列方程组，求解过程需要注意计算的准确性，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题属于购物消费类的实际应用问题，解题时首先确定未知量：牙膏的单价、牙刷的单价，再根据题目给出的两次销售的收入信息找到两个等量关系，通过设未知数列二元一次方程组，求解得到两种商品的单价后，最后代入所求的消费组合计算总收入即可。
【解析】
解：设每盒牙膏的售价为$x$元，每支牙刷的售价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}13x + 7y = 132 \quad \mathrm{①} \\5x + 8y = 72 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用消元法解方程组：
将①×8，得：$104x + 56y = 1056$ $\quad$③
将②×7，得：$35x + 56y = 504$ $\quad$④
用③ - ④消去$y$，得：
$104x - 35x = 1056 - 504$
$69x = 552$
解得：$x = 8$
把$x=8$代入②，得：
$5×8 + 8y = 72$
$40 + 8y =72$
$8y =32$
解得：$y=4$
则卖出6盒牙膏和5支牙刷的收入为：
$6x +5y =6×8 +5×4 =48 +20 =68$（元）
【答案】
68
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是方程思想在实际问题中的典型应用，解题核心是准确从题干中提取等量关系列方程组，求解过程需要注意计算的准确性，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
9.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有36张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？
答案
9.解:用16张白铁皮制盒身,20张白铁皮制盒底正好配套.
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套应用问题，解题时需先明确两个核心等量关系：①制盒身的铁皮张数+制盒底的铁皮张数=总铁皮数36张；②配套规则为1个盒身配2个盒底，即盒底总数量=2×盒身总数量。我们可以先设制盒身的铁皮张数为未知数，用总张数表示制盒底的铁皮张数，再根据配套的数量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用x张白铁皮制盒身，则用(36-x)张白铁皮制盒底。
根据盒底总数量是盒身总数量的2倍，列方程得：
$\boldsymbol{40(36 - x) = 2×25x}$
展开计算得：$1440 - 40x = 50x$
移项、合并同类项得：$90x = 1440$
解得：$x = 16$
则制盒底的铁皮张数为：$36 - 16 = 20$（张）
检验：盒身总数量为$16×25=400$个，盒底总数量为$20×40=800$个，$800=2×400$，符合配套要求。
【答案】
用16张白铁皮制盒身，20张白铁皮制盒底正好配套。
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题求解
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是找准配套时两类部件的数量比例关系，结合总物料的数量关系列方程求解，求解后可通过回代验证配套关系来检查答案是否正确。
【难度系数】
0.75
这是典型的一元一次方程配套应用问题，解题时需先明确两个核心等量关系：①制盒身的铁皮张数+制盒底的铁皮张数=总铁皮数36张；②配套规则为1个盒身配2个盒底，即盒底总数量=2×盒身总数量。我们可以先设制盒身的铁皮张数为未知数，用总张数表示制盒底的铁皮张数，再根据配套的数量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用x张白铁皮制盒身，则用(36-x)张白铁皮制盒底。
根据盒底总数量是盒身总数量的2倍，列方程得：
$\boldsymbol{40(36 - x) = 2×25x}$
展开计算得：$1440 - 40x = 50x$
移项、合并同类项得：$90x = 1440$
解得：$x = 16$
则制盒底的铁皮张数为：$36 - 16 = 20$（张）
检验：盒身总数量为$16×25=400$个，盒底总数量为$20×40=800$个，$800=2×400$，符合配套要求。
【答案】
用16张白铁皮制盒身，20张白铁皮制盒底正好配套。
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题求解
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是找准配套时两类部件的数量比例关系，结合总物料的数量关系列方程求解，求解后可通过回代验证配套关系来检查答案是否正确。
【难度系数】
0.75
