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10.某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球.已知购买3个足球和5个篮球需580元；购买4个足球和3个篮球需480元.
(1)求足球和篮球的单价.
(2)已知该年级决定用800元购进这两种球，若两种球都要有，请问有哪几种购买方案？
(1)求足球和篮球的单价.
(2)已知该年级决定用800元购进这两种球，若两种球都要有，请问有哪几种购买方案？
答案
10.解:(1)足球的单价为60元,篮球的单价为80元.
(2)设购买$m$个足球,$n$个篮球,依题意,得
$60m+80n=800,\therefore n=10-\frac{3}{4}m. \because m,n$均为正整数,$\therefore$当$m=4$时,$n=7$;当$m=8$时,$n=4$;当$m=12$时,$n=1. \therefore$有三种购买方案:①购进4个足球,7个篮球;②购进8个足球,4个篮球;③购进12个足球,1个篮球.
(2)设购买$m$个足球,$n$个篮球,依题意,得
$60m+80n=800,\therefore n=10-\frac{3}{4}m. \because m,n$均为正整数,$\therefore$当$m=4$时,$n=7$;当$m=8$时,$n=4$;当$m=12$时,$n=1. \therefore$有三种购买方案:①购进4个足球,7个篮球;②购进8个足球,4个篮球;③购进12个足球,1个篮球.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求足球和篮球的单价，属于二元一次方程组的实际应用，需设出两种球的单价，根据题目给出的两种购买组合的费用列出二元一次方程组，求解即可；第(2)问是利用总费用确定购买方案，需设出购买足球和篮球的数量，根据总费用列出方程，结合“两种球都要有”即数量为正整数的条件，找出所有符合的正整数解，进而得到购买方案。
【解析】
(1)设足球的单价为$ x $元，篮球的单价为$ y $元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 5y = 580 \\4x + 3y = 480\end{cases}$
解方程组：
将第一个方程乘以4，第二个方程乘以3，得：
$\begin{cases}12x + 20y = 2320 \\12x + 9y = 1440\end{cases}$
两式相减消去$ x $，得$11y = 880$，解得$y = 80$。
把$y = 80$代入$4x + 3y = 480$，得$4x + 240 = 480$，解得$x = 60$。
即足球的单价为60元，篮球的单价为80元。
(2)设购买$ m $个足球，$ n $个篮球（$ m,n $均为正整数），根据总费用800元得：
$60m + 80n = 800$，整理得$n = 10 - \frac{3}{4}m$。
因为$m,n$为正整数，所以$m$必须是4的倍数，且$n＞0$，即$10 - \frac{3}{4}m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{40}{3}≈13.33$。
当$m = 4$时，$n = 10 - 3 = 7$；
当$m = 8$时，$n = 10 - 6 = 4$；
当$m = 12$时，$n = 10 - 9 = 1$。
因此共有三种购买方案：①购进4个足球，7个篮球；②购进8个足球，4个篮球；③购进12个足球，1个篮球。
【答案】
(1)足球的单价为60元，篮球的单价为80元；(2)有三种购买方案：①购进4个足球，7个篮球；②购进8个足球，4个篮球；③购进12个足球，1个篮球。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题是二元一次方程组与不定方程整数解的综合应用，第一问直接利用方程组求解单价，难度较低；第二问需结合正整数条件确定未知数取值，注意不要遗漏符合条件的解，是七年级数学实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求足球和篮球的单价，属于二元一次方程组的实际应用，需设出两种球的单价，根据题目给出的两种购买组合的费用列出二元一次方程组，求解即可；第(2)问是利用总费用确定购买方案，需设出购买足球和篮球的数量，根据总费用列出方程，结合“两种球都要有”即数量为正整数的条件，找出所有符合的正整数解，进而得到购买方案。
【解析】
(1)设足球的单价为$ x $元，篮球的单价为$ y $元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 5y = 580 \\4x + 3y = 480\end{cases}$
解方程组：
将第一个方程乘以4，第二个方程乘以3，得：
$\begin{cases}12x + 20y = 2320 \\12x + 9y = 1440\end{cases}$
两式相减消去$ x $，得$11y = 880$，解得$y = 80$。
把$y = 80$代入$4x + 3y = 480$，得$4x + 240 = 480$，解得$x = 60$。
即足球的单价为60元，篮球的单价为80元。
(2)设购买$ m $个足球，$ n $个篮球（$ m,n $均为正整数），根据总费用800元得：
$60m + 80n = 800$，整理得$n = 10 - \frac{3}{4}m$。
因为$m,n$为正整数，所以$m$必须是4的倍数，且$n＞0$，即$10 - \frac{3}{4}m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{40}{3}≈13.33$。
当$m = 4$时，$n = 10 - 3 = 7$；
当$m = 8$时，$n = 10 - 6 = 4$；
当$m = 12$时，$n = 10 - 9 = 1$。
因此共有三种购买方案：①购进4个足球，7个篮球；②购进8个足球，4个篮球；③购进12个足球，1个篮球。
【答案】
(1)足球的单价为60元，篮球的单价为80元；(2)有三种购买方案：①购进4个足球，7个篮球；②购进8个足球，4个篮球；③购进12个足球，1个篮球。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题是二元一次方程组与不定方程整数解的综合应用，第一问直接利用方程组求解单价，难度较低；第二问需结合正整数条件确定未知数取值，注意不要遗漏符合条件的解，是七年级数学实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
11. 五一节前，某商店拟购进A,B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A品牌电风扇所需费用与购进2台B品牌电风扇所需费用相同，购进1台A品牌电风扇与2台B品牌电风扇共需费用400元.
(1)A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A品牌电风扇定价为180元/台，B品牌电风扇定价为250元/台.商店拟用1 000元购进这两种品牌风扇（两种品牌电风扇都要购进，且1 000元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应如何进货？
(1)A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)销售时，该商店将A品牌电风扇定价为180元/台，B品牌电风扇定价为250元/台.商店拟用1 000元购进这两种品牌风扇（两种品牌电风扇都要购进，且1 000元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应如何进货？
答案
11.解:(1)设A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是$x$元、$y$元,由题意,得
$\begin{cases} 3x=2y, \\x+2y=400, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=100, \\y=150. \end{cases}$
答:A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元.
(2)设购进A品牌的电风扇$a$台,购进B品牌的电风扇$b$台,由题意,得$100a+150b=1\ 000,\because a,b$为正整数. $\therefore \begin{cases} a=1, \\b=6 \end{cases}$或$\begin{cases} a=4, \\b=4 \end{cases}$或$\begin{cases} a=7 \\b=2. \end{cases}$当$a=1,b=6$时,利润为$(180-100)×1+(250-150)×6=680$(元),当$a=4,b=4$时,利润为$(180-100)×4+(250-150)×4=720$(元),当$a=7,b=2$时,利润为$80×7+(250-150)×2=760$(元).$\because 680＜720＜760,\therefore$当$a=7,b=2$时,利润最大.答:为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润,该商店应购进A品牌电风扇7台,B品牌电风扇2台.
$\begin{cases} 3x=2y, \\x+2y=400, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=100, \\y=150. \end{cases}$
答:A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元.
(2)设购进A品牌的电风扇$a$台,购进B品牌的电风扇$b$台,由题意,得$100a+150b=1\ 000,\because a,b$为正整数. $\therefore \begin{cases} a=1, \\b=6 \end{cases}$或$\begin{cases} a=4, \\b=4 \end{cases}$或$\begin{cases} a=7 \\b=2. \end{cases}$当$a=1,b=6$时,利润为$(180-100)×1+(250-150)×6=680$(元),当$a=4,b=4$时,利润为$(180-100)×4+(250-150)×4=720$(元),当$a=7,b=2$时,利润为$80×7+(250-150)×2=760$(元).$\because 680＜720＜760,\therefore$当$a=7,b=2$时,利润最大.答:为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润,该商店应购进A品牌电风扇7台,B品牌电风扇2台.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求A、B两种品牌电风扇的进价，根据题目给出的两个等量关系，可设未知数建立二元一次方程组求解；第(2)问需先根据总费用和进价列出方程，结合两种都购进（正整数台）的条件，找出所有可行的进货方案，再分别计算各方案的利润，比较后得到最大利润的进货方式。
【解析】
(1)设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是$x$元、$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x=2y \\ x + 2y = 400 \end{cases}$
将$3x=2y$代入第二个方程，得$x + 3x = 400$，即$4x=400$，解得$x=100$；把$x=100$代入$3x=2y$，得$300=2y$，解得$y=150$。
因此A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元。
(2)设购进A品牌电风扇$a$台，购进B品牌电风扇$b$台，根据总费用为1000元得：
$100a + 150b = 1000$，化简得$2a + 3b = 20$。
因为$a$、$b$为正整数，求解该方程的正整数解：
当$b=2$时，$2a + 6=20$，解得$a=7$；
当$b=4$时，$2a +12=20$，解得$a=4$；
当$b=6$时，$2a +18=20$，解得$a=1$；
其余$b$值对应的$a$均为非整数，舍去。
因此可行的进货方案为：$\begin{cases}a=1 \\ b=6 \end{cases}$，$\begin{cases}a=4 \\ b=4 \end{cases}$，$\begin{cases}a=7 \\ b=2 \end{cases}$。
分别计算各方案的利润：A品牌每台利润为$180-100=80$元，B品牌每台利润为$250-150=100$元。
当$a=1,b=6$时，利润为$80×1 +100×6=680$元；
当$a=4,b=4$时，利润为$80×4 +100×4=720$元；
当$a=7,b=2$时，利润为$80×7 +100×2=760$元；
因为$680＜720＜760$，所以当$a=7,b=2$时利润最大，即购进A品牌电风扇7台，B品牌电风扇2台。
【答案】
(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
(2)应购进A品牌电风扇7台，B品牌电风扇2台。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景，考查方程类应用题的解法，第(1)问是基础的等量关系建立，第(2)问需注意正整数解的限制，再通过利润计算比较方案优劣，整体难度适中，需学生细心分析条件。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求A、B两种品牌电风扇的进价，根据题目给出的两个等量关系，可设未知数建立二元一次方程组求解；第(2)问需先根据总费用和进价列出方程，结合两种都购进（正整数台）的条件，找出所有可行的进货方案，再分别计算各方案的利润，比较后得到最大利润的进货方式。
【解析】
(1)设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是$x$元、$y$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x=2y \\ x + 2y = 400 \end{cases}$
将$3x=2y$代入第二个方程，得$x + 3x = 400$，即$4x=400$，解得$x=100$；把$x=100$代入$3x=2y$，得$300=2y$，解得$y=150$。
因此A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元。
(2)设购进A品牌电风扇$a$台，购进B品牌电风扇$b$台，根据总费用为1000元得：
$100a + 150b = 1000$，化简得$2a + 3b = 20$。
因为$a$、$b$为正整数，求解该方程的正整数解：
当$b=2$时，$2a + 6=20$，解得$a=7$；
当$b=4$时，$2a +12=20$，解得$a=4$；
当$b=6$时，$2a +18=20$，解得$a=1$；
其余$b$值对应的$a$均为非整数，舍去。
因此可行的进货方案为：$\begin{cases}a=1 \\ b=6 \end{cases}$，$\begin{cases}a=4 \\ b=4 \end{cases}$，$\begin{cases}a=7 \\ b=2 \end{cases}$。
分别计算各方案的利润：A品牌每台利润为$180-100=80$元，B品牌每台利润为$250-150=100$元。
当$a=1,b=6$时，利润为$80×1 +100×6=680$元；
当$a=4,b=4$时，利润为$80×4 +100×4=720$元；
当$a=7,b=2$时，利润为$80×7 +100×2=760$元；
因为$680＜720＜760$，所以当$a=7,b=2$时利润最大，即购进A品牌电风扇7台，B品牌电风扇2台。
【答案】
(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
(2)应购进A品牌电风扇7台，B品牌电风扇2台。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景，考查方程类应用题的解法，第(1)问是基础的等量关系建立，第(2)问需注意正整数解的限制，再通过利润计算比较方案优劣，整体难度适中，需学生细心分析条件。
【难度系数】
0.6
