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14. 一副透明的三角板，按如图所示的位置摆放. 如果把三角板的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数（不包括三角板自身所成的角）.
（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数（不包括三角板自身所成的角）.
答案
14. 答案不唯一，只要合理即可.
(1) 例如$DE // CB$，$DF // CB$，$FE // CB$
(2) 例如$ED ⊥ AC$，$FD ⊥ AC$，$FD ⊥ AD$
(3) 例如钝角有$∠GFD=135°$，$∠CGB=∠FGE=105°$，直角有$∠ADE=90°$，锐角有$∠GCB=30°$，$∠AFD=45°$，$∠CGF=75°$
(1) 例如$DE // CB$，$DF // CB$，$FE // CB$
(2) 例如$ED ⊥ AC$，$FD ⊥ AC$，$FD ⊥ AD$
(3) 例如钝角有$∠GFD=135°$，$∠CGB=∠FGE=105°$，直角有$∠ADE=90°$，锐角有$∠GCB=30°$，$∠AFD=45°$，$∠CGF=75°$
解析
【分析】
解题前先明确一副三角板的角度特征：其中一个三角板的内角度数为30°、60°、90°，另一个为45°、45°、90°，再结合相关几何定义解题：
1. 找平行线段：根据平行线判定定理，观察两条线段被第三条线段所截形成的角，若满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，即可判定平行，如DE和CB被AC所截，同旁内角均为90°，互补，因此平行。
2. 找垂直线段：若两条线段夹角为90°，则两线段互相垂直，如ED与AC的夹角为90°，因此垂直。
3. 找不同类型的角：先明确角的分类：锐角（大于0°小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°小于180°），排除三角板自身的内角后，结合邻补角性质、三角形内角和定理计算角度即可。
【解析】
本题答案不唯一，合理即可：
(1) 观察可得DE和CB被AC所截，∠EDC=∠ACB=90°，同旁内角互补，两直线平行，因此$DE // CB$。
(2) ED与AC相交形成的∠EDC=90°，根据垂直的定义，因此$ED ⊥ AC$。
(3) ① 钝角：取$∠GFD$，它和$∠AFD$是邻补角，$∠AFD=45°$，因此$∠GFD=180°-45°=135°$；
② 直角：取$∠ADE$，DE与AC垂直，因此$∠ADE=90°$；
③ 锐角：取$∠CGF$，在$△ CGB$中，$∠GCB=30°$，$∠GBC=45°$，所以$∠CGB=180°-30°-45°=105°$，$∠CGF$和$∠CGB$是邻补角，因此$∠CGF=180°-105°=75°$。
【答案】
(1) 示例：$DE // CB$（答案不唯一）
(2) 示例：$ED ⊥ AC$（答案不唯一）
(3) 示例：钝角$∠ GFD=135°$，直角$∠ ADE=90°$，锐角$∠ CGF=75°$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定；垂直的定义；角的分类与计算
【点评】
本题结合三角板的特征考查基础几何概念的识别和角度计算，难度较低，解题的关键是熟悉三角板的内角度数，熟练掌握平行、垂直的判定以及角的相关性质。
【难度系数】
0.85
解题前先明确一副三角板的角度特征：其中一个三角板的内角度数为30°、60°、90°，另一个为45°、45°、90°，再结合相关几何定义解题：
1. 找平行线段：根据平行线判定定理，观察两条线段被第三条线段所截形成的角，若满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，即可判定平行，如DE和CB被AC所截，同旁内角均为90°，互补，因此平行。
2. 找垂直线段：若两条线段夹角为90°，则两线段互相垂直，如ED与AC的夹角为90°，因此垂直。
3. 找不同类型的角：先明确角的分类：锐角（大于0°小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°小于180°），排除三角板自身的内角后，结合邻补角性质、三角形内角和定理计算角度即可。
【解析】
本题答案不唯一，合理即可：
(1) 观察可得DE和CB被AC所截，∠EDC=∠ACB=90°，同旁内角互补，两直线平行，因此$DE // CB$。
(2) ED与AC相交形成的∠EDC=90°，根据垂直的定义，因此$ED ⊥ AC$。
(3) ① 钝角：取$∠GFD$，它和$∠AFD$是邻补角，$∠AFD=45°$，因此$∠GFD=180°-45°=135°$；
② 直角：取$∠ADE$，DE与AC垂直，因此$∠ADE=90°$；
③ 锐角：取$∠CGF$，在$△ CGB$中，$∠GCB=30°$，$∠GBC=45°$，所以$∠CGB=180°-30°-45°=105°$，$∠CGF$和$∠CGB$是邻补角，因此$∠CGF=180°-105°=75°$。
【答案】
(1) 示例：$DE // CB$（答案不唯一）
(2) 示例：$ED ⊥ AC$（答案不唯一）
(3) 示例：钝角$∠ GFD=135°$，直角$∠ ADE=90°$，锐角$∠ CGF=75°$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定；垂直的定义；角的分类与计算
【点评】
本题结合三角板的特征考查基础几何概念的识别和角度计算，难度较低，解题的关键是熟悉三角板的内角度数，熟练掌握平行、垂直的判定以及角的相关性质。
【难度系数】
0.85
15. 如图，直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 均被直线 $ l_3 $，$ l_4 $ 所截，且 $ l_3 $ 与 $ l_4 $ 相交. 给定以下三个条件：
① $ l_1 ⊥ l_3 $；② $ ∠ 1 = ∠ 2 $；③ $ ∠ 2 + ∠ 3 = 90° $.
请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论，组成一个正确的判断语句，并说明其正确性.
① $ l_1 ⊥ l_3 $；② $ ∠ 1 = ∠ 2 $；③ $ ∠ 2 + ∠ 3 = 90° $.
请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论，组成一个正确的判断语句，并说明其正确性.
答案
15. 答案不唯一. 例如已知条件：$l_1 ⊥ l_3$，$∠1=∠2$. 结论：$∠2+∠3=90°$. 说明：由$∠1=∠2$，得$l_1 // l_2$. 又因为$l_1 ⊥ l_3$，所以$l_2 ⊥ l_3$. 所以$∠3+∠4=90°$. 又因为$∠4=∠2$，所以$∠2+∠3=90°$
解析
【分析】
这是一道开放性几何推理题，我们可任选两个条件作为已知，推导第三个结论是否成立。以选①②作为条件、③作为结论为例：首先结合平行线的判定规则，同位角相等可推出两直线平行；再结合垂直的性质，若一条直线垂直于平行线中的一条，则它也垂直于另一条；最后结合对顶角相等和直角的性质，即可完成推导。解题时先明确条件和结论，每一步推导都要有对应几何定理作为依据即可。
【解析】
我们选择已知条件：①$l_1 ⊥ l_3$，②$∠1=∠2$，结论：③$∠2+∠3=90°$，推导如下：
1. $∠1$和$∠2$是直线$l_1$、$l_2$被$l_4$所截的同位角，由$∠1=∠2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$l_1 // l_2$；
2. 已知$l_1 ⊥ l_3$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条”，可得$l_2 ⊥ l_3$，因此$l_2$与$l_3$的夹角为直角，即$∠3+∠4=90°$；
3. $∠4$和$∠2$是直线$l_2$、$l_4$相交形成的对顶角，根据“对顶角相等”，得$∠4=∠2$；
4. 等量代换得$∠2+∠3=90°$，结论成立。
【答案】
答案不唯一. 例如已知条件：$l_1 ⊥ l_3$，$∠1=∠2$. 结论：$∠2+∠3=90°$. 说明：由$∠1=∠2$，得$l_1 // l_2$. 又因为$l_1 ⊥ l_3$，所以$l_2 ⊥ l_3$. 所以$∠3+∠4=90°$. 又因为$∠4=∠2$，所以$∠2+∠3=90°$
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的性质，对顶角相等
【点评】
本题为开放性几何题，重点考查几何逻辑推理能力，解题时需熟练掌握平行线、垂直、对顶角的相关性质，梳理清楚条件和结论的逻辑关联，每步推导有对应定理依据即可。也可尝试选择其他两个条件推导剩余结论，巩固相关知识。
【难度系数】
0.7
这是一道开放性几何推理题，我们可任选两个条件作为已知，推导第三个结论是否成立。以选①②作为条件、③作为结论为例：首先结合平行线的判定规则，同位角相等可推出两直线平行；再结合垂直的性质，若一条直线垂直于平行线中的一条，则它也垂直于另一条；最后结合对顶角相等和直角的性质，即可完成推导。解题时先明确条件和结论，每一步推导都要有对应几何定理作为依据即可。
【解析】
我们选择已知条件：①$l_1 ⊥ l_3$，②$∠1=∠2$，结论：③$∠2+∠3=90°$，推导如下：
1. $∠1$和$∠2$是直线$l_1$、$l_2$被$l_4$所截的同位角，由$∠1=∠2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$l_1 // l_2$；
2. 已知$l_1 ⊥ l_3$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条”，可得$l_2 ⊥ l_3$，因此$l_2$与$l_3$的夹角为直角，即$∠3+∠4=90°$；
3. $∠4$和$∠2$是直线$l_2$、$l_4$相交形成的对顶角，根据“对顶角相等”，得$∠4=∠2$；
4. 等量代换得$∠2+∠3=90°$，结论成立。
【答案】
答案不唯一. 例如已知条件：$l_1 ⊥ l_3$，$∠1=∠2$. 结论：$∠2+∠3=90°$. 说明：由$∠1=∠2$，得$l_1 // l_2$. 又因为$l_1 ⊥ l_3$，所以$l_2 ⊥ l_3$. 所以$∠3+∠4=90°$. 又因为$∠4=∠2$，所以$∠2+∠3=90°$
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的性质，对顶角相等
【点评】
本题为开放性几何题，重点考查几何逻辑推理能力，解题时需熟练掌握平行线、垂直、对顶角的相关性质，梳理清楚条件和结论的逻辑关联，每步推导有对应定理依据即可。也可尝试选择其他两个条件推导剩余结论，巩固相关知识。
【难度系数】
0.7
