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1. 如图,一块直角三角形纸片的直角边$AC=6\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$,现将直角边$AC$沿直线$AD$折叠,使$AC$落在斜边$AB$上,且与$AE$重合,则$CD$等于 （
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道折叠与勾股定理结合的几何题，解题思路如下：首先，折叠前后对应的图形全等，可得相等的边和角，先利用勾股定理算出斜边AB的长度；再根据折叠性质推出AE的长度，进而得到BE的长度，同时CD=DE，且∠DEB为直角；最后设CD的长度为x，将DE、BD用含x的式子表示，在Rt△BDE中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
∴$AB=10\ \mathrm{cm}$。
根据折叠的性质可知$△ ACD ≌ △ AED$，
∴$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
∴$∠ DEB=90°$，$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$DE=x\ \mathrm{cm}$，$BD=BC-CD=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得：$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开得：$x^2+16=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$，
即$CD=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，将未知量放在直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，需要熟练掌握数形结合的解题思路。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠与勾股定理结合的几何题，解题思路如下：首先，折叠前后对应的图形全等，可得相等的边和角，先利用勾股定理算出斜边AB的长度；再根据折叠性质推出AE的长度，进而得到BE的长度，同时CD=DE，且∠DEB为直角；最后设CD的长度为x，将DE、BD用含x的式子表示，在Rt△BDE中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
∴$AB=10\ \mathrm{cm}$。
根据折叠的性质可知$△ ACD ≌ △ AED$，
∴$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
∴$∠ DEB=90°$，$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$DE=x\ \mathrm{cm}$，$BD=BC-CD=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得：$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开得：$x^2+16=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$，
即$CD=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，将未知量放在直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，需要熟练掌握数形结合的解题思路。
【难度系数】
0.7
2.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=5$，$AC=4$，则$BC=$
$\sqrt{41}$或$3$
.答案
2.$\sqrt{41}$或$3$
解析
【分析】
本题未明确Rt△ABC的直角顶点，因此需要分类讨论斜边的情况：直角三角形中斜边是最长边，已知AB=5＞AC=4，因此AC不可能为斜边，仅存在两种情况：①AB为斜边，BC为直角边；②BC为斜边，AB、AC均为直角边。再分别结合勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
解：已知Rt△ABC中未明确直角顶点，分两种情况讨论：
1. 当AB为斜边时，BC、AC为直角边，根据勾股定理：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入AB=5，AC=4得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
2. 当BC为斜边时，AB、AC为直角边，根据勾股定理：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
代入数值计算得：
$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{5^2 + 4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$
综上，BC的长为3或$\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$或$3$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题目未明确直角顶点，仅考虑其中一种情况导致漏解，解题时需先结合直角三角形斜边最长的性质判断可能的斜边情况，再运用勾股定理计算，做到考虑周全。
【难度系数】
0.7
本题未明确Rt△ABC的直角顶点，因此需要分类讨论斜边的情况：直角三角形中斜边是最长边，已知AB=5＞AC=4，因此AC不可能为斜边，仅存在两种情况：①AB为斜边，BC为直角边；②BC为斜边，AB、AC均为直角边。再分别结合勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
解：已知Rt△ABC中未明确直角顶点，分两种情况讨论：
1. 当AB为斜边时，BC、AC为直角边，根据勾股定理：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
代入AB=5，AC=4得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
2. 当BC为斜边时，AB、AC为直角边，根据勾股定理：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
代入数值计算得：
$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{5^2 + 4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$
综上，BC的长为3或$\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$或$3$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题目未明确直角顶点，仅考虑其中一种情况导致漏解，解题时需先结合直角三角形斜边最长的性质判断可能的斜边情况，再运用勾股定理计算，做到考虑周全。
【难度系数】
0.7
3.(2025·仪征三模)如图,实数可以用数轴上的点来表示,点A表示的数为a,点B表示的数为b,则$b-a=$
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
.答案
3.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确数轴上原点右侧的点表示的正数等于该点到原点的距离，因此要先求出点A、B到原点的距离，即a、b的值：第一步先分析边长为1的等腰直角三角形，用勾股定理算出它的斜边长，结合圆弧半径相等的性质可得OA的长度，也就是a的值；第二步分析较大的直角三角形，两条直角边分别为1和刚才求出的小三角形斜边，再用勾股定理算出大三角形的斜边长，同理可得OB的长度，也就是b的值；最后计算b-a即可得到结果。
【解析】
1. 求点A对应的数$a$：
边长均为1的等腰直角三角形，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，由圆弧半径相等的性质可知$OA=\sqrt{2}$，因此$a=\sqrt{2}$。
2. 求点B对应的数$b$：
较大直角三角形的两条直角边分别为1和$\sqrt{2}$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，由圆弧半径相等的性质可知$OB=\sqrt{3}$，因此$b=\sqrt{3}$。
3. 计算$b-a$：
$b-a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理在数轴表示无理数中的典型应用，解题核心是利用勾股定理求出对应线段的长度，再结合圆半径相等的性质确定数轴上点对应的数值，整体逻辑清晰，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确数轴上原点右侧的点表示的正数等于该点到原点的距离，因此要先求出点A、B到原点的距离，即a、b的值：第一步先分析边长为1的等腰直角三角形，用勾股定理算出它的斜边长，结合圆弧半径相等的性质可得OA的长度，也就是a的值；第二步分析较大的直角三角形，两条直角边分别为1和刚才求出的小三角形斜边，再用勾股定理算出大三角形的斜边长，同理可得OB的长度，也就是b的值；最后计算b-a即可得到结果。
【解析】
1. 求点A对应的数$a$：
边长均为1的等腰直角三角形，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，由圆弧半径相等的性质可知$OA=\sqrt{2}$，因此$a=\sqrt{2}$。
2. 求点B对应的数$b$：
较大直角三角形的两条直角边分别为1和$\sqrt{2}$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，由圆弧半径相等的性质可知$OB=\sqrt{3}$，因此$b=\sqrt{3}$。
3. 计算$b-a$：
$b-a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理在数轴表示无理数中的典型应用，解题核心是利用勾股定理求出对应线段的长度，再结合圆半径相等的性质确定数轴上点对应的数值，整体逻辑清晰，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
4.如图,点 D 在$△ ABC$的边 BC 上,若$AB=13,AD=12,BD=5,AC=20$,则 BC 的长为
21
.答案
4.21
解析
【分析】
解题时先观察△ABD的三边长：AB=13、AD=12、BD=5，三者为常见勾股数，首先可借助勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若证明AD⊥BC，则△ADC也为直角三角形，再用勾股定理求出DC的长度，最后结合BC=BD+DC代入数值即可得到结果。
【解析】
解：在△ABD中，
∵ $AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，
$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AD^2 + BD^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ ADC=180°-∠ ADB=90°$，即△ADC为直角三角形。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$DC^2 = AC^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$，
∴ $DC=\sqrt{256}=16$（线段长度为正，取正根），
∴ $BC=BD + DC = 5 + 16 = 21$。
【答案】
21
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础计算题，解题的突破口是先通过勾股定理逆定理得到AD与BC垂直，再结合勾股定理求出未知线段的长度，计算线段长度时注意仅取正数值即可。
【难度系数】
0.8
解题时先观察△ABD的三边长：AB=13、AD=12、BD=5，三者为常见勾股数，首先可借助勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若证明AD⊥BC，则△ADC也为直角三角形，再用勾股定理求出DC的长度，最后结合BC=BD+DC代入数值即可得到结果。
【解析】
解：在△ABD中，
∵ $AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，
$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AD^2 + BD^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ ADC=180°-∠ ADB=90°$，即△ADC为直角三角形。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$DC^2 = AC^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$，
∴ $DC=\sqrt{256}=16$（线段长度为正，取正根），
∴ $BC=BD + DC = 5 + 16 = 21$。
【答案】
21
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础计算题，解题的突破口是先通过勾股定理逆定理得到AD与BC垂直，再结合勾股定理求出未知线段的长度，计算线段长度时注意仅取正数值即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$D$为$AB$的中点,$BE\bot AC$,垂足为$E$.若$DE=\dfrac{5}{2}$,$BE=3$,则$BC$的长为________.
答案
5.$\sqrt{10}$
解析
【分析】
已知BE⊥AC，可得△ABE为直角三角形，结合D是AB中点的条件，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可先求出AB的长度；再利用勾股定理求出Rt△ABE中AE的长，结合AB=AC可得到EC的长，最后在Rt△BEC中再次运用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，即△ABE是直角三角形。
∵D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
∴AB=2DE=2×$\dfrac{5}{2}$=5。
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
∵AB=AC，
∴AC=5，
∴$EC=AC - AE=5 - 4=1$。
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2 + EC^2}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，再结合两次勾股定理即可得到结果，考查了学生对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
已知BE⊥AC，可得△ABE为直角三角形，结合D是AB中点的条件，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可先求出AB的长度；再利用勾股定理求出Rt△ABE中AE的长，结合AB=AC可得到EC的长，最后在Rt△BEC中再次运用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，即△ABE是直角三角形。
∵D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，
∴AB=2DE=2×$\dfrac{5}{2}$=5。
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
∵AB=AC，
∴AC=5，
∴$EC=AC - AE=5 - 4=1$。
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2 + EC^2}=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，再结合两次勾股定理即可得到结果，考查了学生对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$D$是$AB$边上的一个动点，求线段$CD$长度的最小值.
答案
6.解:如答图,过点A作$AH⊥ BC$于点H.
$\because AB=AC=5,BC=6,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$,
$\therefore AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
由垂线段最短可知,当$CD⊥ AB$时,线段$CD$最短,
此时$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AH$,
$\therefore 5CD=6×4$,
$\therefore CD=\frac{24}{5}$,
即线段$CD$长度的最小值为$\frac{24}{5}$.
解析
【分析】
要求动点D对应的线段CD的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可确定当CD⊥AB时，CD的长度最小。接下来只需求出此时CD的长度即可：首先利用等腰三角形三线合一的性质，作出BC边上的高AH，用勾股定理求出AH的长度，得到△ABC的面积；再利用等面积法，△ABC的面积既可以用BC为底、AH为高计算，也可以用AB为底、CD为高计算，列等式即可求出CD的最小值。
【解析】
如答图，过点A作$AH⊥ BC$于点H。
$\because AB=AC=5,BC=6,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$，
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由垂线段最短可知，当$CD⊥ AB$时，线段$CD$最短，
此时$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC· AH$，因此有：
$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AH$，
代入数值得$5CD=6×4$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，等面积法
【点评】
本题是基础的几何最值类应用题，解题的关键是先利用垂线段最短确定CD取最小值的位置，再结合等腰三角形性质、勾股定理和等面积法计算高的长度，能很好地考查学生对基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要求动点D对应的线段CD的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可确定当CD⊥AB时，CD的长度最小。接下来只需求出此时CD的长度即可：首先利用等腰三角形三线合一的性质，作出BC边上的高AH，用勾股定理求出AH的长度，得到△ABC的面积；再利用等面积法，△ABC的面积既可以用BC为底、AH为高计算，也可以用AB为底、CD为高计算，列等式即可求出CD的最小值。
【解析】
如答图，过点A作$AH⊥ BC$于点H。
$\because AB=AC=5,BC=6,\therefore BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$，
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由垂线段最短可知，当$CD⊥ AB$时，线段$CD$最短，
此时$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC· AH$，因此有：
$\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AH$，
代入数值得$5CD=6×4$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，等面积法
【点评】
本题是基础的几何最值类应用题，解题的关键是先利用垂线段最短确定CD取最小值的位置，再结合等腰三角形性质、勾股定理和等面积法计算高的长度，能很好地考查学生对基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,直线 $ l $ 过正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ B $,点 $ A,C $ 到直线 $ l $ 的距离分别是 3 和4,则正方形的边长是（
A.5
B.3
C.$ \sqrt{5} $
D.$ \sqrt{3} $
A
）A.5
B.3
C.$ \sqrt{5} $
D.$ \sqrt{3} $
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质得到AB=BC、∠ABC=90°，再根据点到直线的距离得到两个直角三角形△AMB和△BNC，通过同角的余角相等推出一组角相等，证明两个三角形全等，得到对应边的长度，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出正方形的边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABM + ∠CBN = 180° - 90° = 90°，
∵AM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
在Rt△AMB中，∠BAM + ∠ABM = 90°，
∴∠BAM = ∠CBN（同角的余角相等），
在△AMB和△BNC中：
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠BNC \\∠BAM=∠CBN \\AB=BC\end{array} $
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴BM=CN=4，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2 + BM^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
即正方形的边长为5。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角的互余关系证明三角形全等，将已知的距离转化为直角三角形的边长，再用勾股定理求解，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正方形的性质得到AB=BC、∠ABC=90°，再根据点到直线的距离得到两个直角三角形△AMB和△BNC，通过同角的余角相等推出一组角相等，证明两个三角形全等，得到对应边的长度，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出正方形的边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABM + ∠CBN = 180° - 90° = 90°，
∵AM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
在Rt△AMB中，∠BAM + ∠ABM = 90°，
∴∠BAM = ∠CBN（同角的余角相等），
在△AMB和△BNC中：
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠BNC \\∠BAM=∠CBN \\AB=BC\end{array} $
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴BM=CN=4，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2 + BM^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
即正方形的边长为5。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角的互余关系证明三角形全等，将已知的距离转化为直角三角形的边长，再用勾股定理求解，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,动点 $P$ 从点 $B$ 出发,沿射线 $BC$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动.设移动的时间为 $t\ \mathrm{s}$,当 $t=\_\_\_\_\_\_$时,$△ ABP$ 为直角三角形.
答案
8.2或$\frac{25}{8}$
解析
【分析】
首先在Rt△ABC中，利用勾股定理先求出BC的长度。由于△ABP为直角三角形时直角顶点未明确，需分两种情况讨论：①直角顶点为P，此时AP垂直BC，结合已知AC垂直BC，可知P与C重合，据此求出BP长度即可计算时间t；②直角顶点为A，此时根据勾股定理分别表示出相关边的长度，列方程求解t即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠ APB=90°$时，$AP⊥ BC$。
因为$∠ ACB=90°$即$AC⊥ BC$，所以此时点$P$与点$C$重合，$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$。
已知点$P$移动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，则$t=\frac{4}{2}=2$。
2. 当$∠ BAP=90°$时，直角顶点为$A$。
此时$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$PC=(2t-4)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACP$中，由勾股定理得$AP^2=AC^2+PC^2=3^2+(2t-4)^2$。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$AB^2+AP^2=BP^2$，代入得：
$5^2 + 3^2 + (2t-4)^2=(2t)^2$
展开计算：
$25+9+4t^2-16t+16=4t^2$
化简得$50-16t=0$，解得$t=\frac{25}{8}$。
综上，$t$的值为$2$或$\frac{25}{8}$。
【答案】
$2$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论；动点问题求解
【点评】
本题是勾股定理结合动点的典型题型，解题关键是明确直角三角形直角顶点不唯一时，需要分情况讨论，避免漏解，计算时要熟练利用勾股定理建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
首先在Rt△ABC中，利用勾股定理先求出BC的长度。由于△ABP为直角三角形时直角顶点未明确，需分两种情况讨论：①直角顶点为P，此时AP垂直BC，结合已知AC垂直BC，可知P与C重合，据此求出BP长度即可计算时间t；②直角顶点为A，此时根据勾股定理分别表示出相关边的长度，列方程求解t即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠ APB=90°$时，$AP⊥ BC$。
因为$∠ ACB=90°$即$AC⊥ BC$，所以此时点$P$与点$C$重合，$BP=BC=4\ \mathrm{cm}$。
已知点$P$移动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，则$t=\frac{4}{2}=2$。
2. 当$∠ BAP=90°$时，直角顶点为$A$。
此时$BP=2t\ \mathrm{cm}$，$PC=(2t-4)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACP$中，由勾股定理得$AP^2=AC^2+PC^2=3^2+(2t-4)^2$。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$AB^2+AP^2=BP^2$，代入得：
$5^2 + 3^2 + (2t-4)^2=(2t)^2$
展开计算：
$25+9+4t^2-16t+16=4t^2$
化简得$50-16t=0$，解得$t=\frac{25}{8}$。
综上，$t$的值为$2$或$\frac{25}{8}$。
【答案】
$2$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论；动点问题求解
【点评】
本题是勾股定理结合动点的典型题型，解题关键是明确直角三角形直角顶点不唯一时，需要分情况讨论，避免漏解，计算时要熟练利用勾股定理建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
9. 在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=13$，高$AD=12$，则$BC$的长为________。
答案
9.14或4
解析
【分析】
本题需分两种情况讨论：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部。解题时先利用高AD构造出两个直角三角形，再分别用勾股定理求出BD、CD的长度，最后根据高的位置计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 当高AD在△ABC的内部时：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，
∴$BD=9$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=169-144=25$，
∴$CD=5$
此时$BC=BD+CD=9+5=14$
② 当高AD在△ABC的外部时：
同理可求得$BD=9$，$CD=5$
此时$BC=BD-CD=9-5=4$
综上，BC的长为14或4。
【答案】
14或4
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型易错题，解题时容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，需要养成结合图形分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
本题需分两种情况讨论：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部。解题时先利用高AD构造出两个直角三角形，再分别用勾股定理求出BD、CD的长度，最后根据高的位置计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 当高AD在△ABC的内部时：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81$，
∴$BD=9$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2=AC^2-AD^2=13^2-12^2=169-144=25$，
∴$CD=5$
此时$BC=BD+CD=9+5=14$
② 当高AD在△ABC的外部时：
同理可求得$BD=9$，$CD=5$
此时$BC=BD-CD=9-5=4$
综上，BC的长为14或4。
【答案】
14或4
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型易错题，解题时容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，需要养成结合图形分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
