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7. 如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2.5米,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米,头顶离感应器的距离AD为1.5米,则这名学生的身高CD为
1.6
米.答案
7.1.6
解析
【分析】
解题时首先将实际问题转化为几何问题，观察图形可知AB、CD均垂直于地面BC，因此可过D作DE⊥AB于点E，构造出Rt△ADE和矩形DEBC。根据矩形对边相等的性质可得DE=BC、BE=CD，我们只需要先用勾股定理求出Rt△ADE中AE的长度，再用AB的长度减去AE得到BE的长度，即可求出学生身高CD。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB
∴四边形DEBC是矩形，
∴DE=BC=1.2米，BE=CD。
在Rt△ADE中，AD=1.5米，DE=1.2米，
根据勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{1.5^2 - 1.2^2}=\sqrt{2.25 - 1.44}=\sqrt{0.81}=0.9$（米）
∴BE=AB - AE=2.5 - 0.9=1.6（米）
∴CD=BE=1.6米
【答案】
1.6
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，熟练掌握相关几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先将实际问题转化为几何问题，观察图形可知AB、CD均垂直于地面BC，因此可过D作DE⊥AB于点E，构造出Rt△ADE和矩形DEBC。根据矩形对边相等的性质可得DE=BC、BE=CD，我们只需要先用勾股定理求出Rt△ADE中AE的长度，再用AB的长度减去AE得到BE的长度，即可求出学生身高CD。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB
∴四边形DEBC是矩形，
∴DE=BC=1.2米，BE=CD。
在Rt△ADE中，AD=1.5米，DE=1.2米，
根据勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{1.5^2 - 1.2^2}=\sqrt{2.25 - 1.44}=\sqrt{0.81}=0.9$（米）
∴BE=AB - AE=2.5 - 0.9=1.6（米）
∴CD=BE=1.6米
【答案】
1.6
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，熟练掌握相关几何性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为________ dm.
答案
8.25
解析
【分析】
要求蚂蚁沿台阶面爬行的最短路程，属于立体表面最短路径问题，需先将台阶的立体表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，线段AB的长度即为最短路程。展开后A、B两点可作为直角三角形的两个端点，先计算出该直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边即可。台阶每级宽3dm、高2dm，三级台阶展开后，其中一条直角边为所有台阶的宽与高的总和，另一条直角边为台阶的长20dm。
【解析】
将三级台阶的表面展开为平面，可得展开后对应的直角三角形两条直角边长度分别为：
1. 台阶的长：$\boldsymbol{20\ \mathrm{dm}}$
2. 台阶的总高度与总宽度之和：$3×(3+2)=15\ \mathrm{dm}$
根据勾股定理，最短路程AB的长度为：
$AB=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{dm}$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，最短路径计算，立体图形展开
【点评】
本题重点考查立体图形到平面图形的转化思想，解题的核心是正确将台阶面展开，确定直角三角形的两条直角边长度，再结合勾股定理求解，是勾股定理在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
要求蚂蚁沿台阶面爬行的最短路程，属于立体表面最短路径问题，需先将台阶的立体表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，线段AB的长度即为最短路程。展开后A、B两点可作为直角三角形的两个端点，先计算出该直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边即可。台阶每级宽3dm、高2dm，三级台阶展开后，其中一条直角边为所有台阶的宽与高的总和，另一条直角边为台阶的长20dm。
【解析】
将三级台阶的表面展开为平面，可得展开后对应的直角三角形两条直角边长度分别为：
1. 台阶的长：$\boldsymbol{20\ \mathrm{dm}}$
2. 台阶的总高度与总宽度之和：$3×(3+2)=15\ \mathrm{dm}$
根据勾股定理，最短路程AB的长度为：
$AB=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{dm}$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，最短路径计算，立体图形展开
【点评】
本题重点考查立体图形到平面图形的转化思想，解题的核心是正确将台阶面展开，确定直角三角形的两条直角边长度，再结合勾股定理求解，是勾股定理在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一段笔直的河流一侧有一旅游地 C,河边有两个漂流点 A,B,其中$AB=AC$.由于某种原因,由 C 到 A 的路现在已经不通,为方便游客,旅游管理部门决定在河边新建一个漂流点 H(点 A,H,B 在同一条直线上),并新修一条路 CH,测得$BC=5$千米,$CH=4$千米,$BH=3$千米.
(1)判断$△ BCH$的形状,并说明理由；
(2)求原来路线 AC 的长.
(1)判断$△ BCH$的形状,并说明理由；
(2)求原来路线 AC 的长.
答案
9.解:(1)$△ BCH$ 是直角三角形.
理由:在 $△ BCH$ 中,
$\because CH^2+BH^2=4^2+3^2=25,BC^2=25$,
$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$,
$\therefore △ BCH$ 是直角三角形,且$∠ CHB=90°$.
(2)设 $AC=AB=x$ 千米,则 $AH=AB-BH=(x-3)$千米,
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$AC=x$ 千米,$AH=(x-3)$千米,$CH=4$千米,
由勾股定理,得 $AC^2=AH^2+CH^2$,
$\therefore x^2=(x-3)^2+4^2$,解得 $x=\frac{25}{6}$.
答:原来路线 AC 的长为$\frac{25}{6}$千米.
理由:在 $△ BCH$ 中,
$\because CH^2+BH^2=4^2+3^2=25,BC^2=25$,
$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$,
$\therefore △ BCH$ 是直角三角形,且$∠ CHB=90°$.
(2)设 $AC=AB=x$ 千米,则 $AH=AB-BH=(x-3)$千米,
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$AC=x$ 千米,$AH=(x-3)$千米,$CH=4$千米,
由勾股定理,得 $AC^2=AH^2+CH^2$,
$\therefore x^2=(x-3)^2+4^2$,解得 $x=\frac{25}{6}$.
答:原来路线 AC 的长为$\frac{25}{6}$千米.
解析
【分析】
(1) 判断三角形形状时，已知三角形三边长度，可优先用勾股定理的逆定理验证：若较短两边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形，只需计算$CH^2+BH^2$与$BC^2$是否相等即可。
(2) 求AC的长时，已知$AB=AC$，可设$AC=AB=x$，结合第(1)问得出的$CH⊥ AB$的结论，可知$△ ACH$为直角三角形，再利用勾股定理列关于$x$的方程，解方程即可求出AC长度。
【解析】
(1) $△ BCH$是直角三角形，理由如下：
在$△ BCH$中，$CH=4$千米，$BH=3$千米，$BC=5$千米，
$\because CH^2+BH^2=4^2+3^2=16+9=25$，$BC^2=5^2=25$，
$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ BCH$是直角三角形，且$∠ CHB=90°$。
(2) 设$AC=AB=x$千米，$\because$点H在AB上，$\therefore AH=AB-BH=(x-3)$千米，
由(1)知$∠ CHB=90°$，故$∠ CHA=90°$，即$△ ACH$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，由勾股定理得$AC^2=AH^2+CH^2$，
代入边长得$x^2=(x-3)^2+4^2$，
展开化简：$x^2=x^2-6x+9+16$，解得$x=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1) $△ BCH$是直角三角形，$∠ CHB=90°$；
(2) 原来路线AC的长为$\frac{25}{6}$千米。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；方程法求边长
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，先通过逆定理判定直角三角形，再结合线段等量关系设未知数列方程求解，侧重考查基础定理的实际应用能力，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三角形形状时，已知三角形三边长度，可优先用勾股定理的逆定理验证：若较短两边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形，只需计算$CH^2+BH^2$与$BC^2$是否相等即可。
(2) 求AC的长时，已知$AB=AC$，可设$AC=AB=x$，结合第(1)问得出的$CH⊥ AB$的结论，可知$△ ACH$为直角三角形，再利用勾股定理列关于$x$的方程，解方程即可求出AC长度。
【解析】
(1) $△ BCH$是直角三角形，理由如下：
在$△ BCH$中，$CH=4$千米，$BH=3$千米，$BC=5$千米，
$\because CH^2+BH^2=4^2+3^2=16+9=25$，$BC^2=5^2=25$，
$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ BCH$是直角三角形，且$∠ CHB=90°$。
(2) 设$AC=AB=x$千米，$\because$点H在AB上，$\therefore AH=AB-BH=(x-3)$千米，
由(1)知$∠ CHB=90°$，故$∠ CHA=90°$，即$△ ACH$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，由勾股定理得$AC^2=AH^2+CH^2$，
代入边长得$x^2=(x-3)^2+4^2$，
展开化简：$x^2=x^2-6x+9+16$，解得$x=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1) $△ BCH$是直角三角形，$∠ CHB=90°$；
(2) 原来路线AC的长为$\frac{25}{6}$千米。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；方程法求边长
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，先通过逆定理判定直角三角形，再结合线段等量关系设未知数列方程求解，侧重考查基础定理的实际应用能力，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
10.如图,两条公路$l_1$,$l_2$交于点$O$,在公路$l_2$旁有一学校$A$,与点$O$之间的距离为$170\ \mathrm{m}$,点$A$(学校)到公路$l_1$的距离$AM$为$80\ \mathrm{m}$,一辆货车从点$O$出发,行驶在公路$l_1$上,货车周围$100\ \mathrm{m}$范围内有噪声影响.货车开过时学校是否受噪声影响?如果不受噪声影响,请说明理由;如果受噪声影响,已知货车的速度为$20\ \mathrm{m/s}$,则学校受噪声影响多少秒?
答案
10.解:$\because$ 点 $A$(学校)到公路 $l_1$ 的距离 $AM$ 为 80 m,货车从点 $O$ 出发,行驶在公路 $l_1$ 上,汽车周围 100 m 范围内有噪声影响,$80＜100$,
$\therefore$ 货车开过时学校受噪声影响.
如答图,设货车行驶在点 B 和点 D 之间时学校受噪声影响,则 $AB=AD=100\ \mathrm{m}.$
$\because AM⊥ l_1,\therefore BM=DM$,
由勾股定理,得 $BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60(\mathrm{m})$,
$\therefore BD=2BM=120\ \mathrm{m}.$
$\because$ 货车的速度为 $20\ \mathrm{m/s}$,
$\therefore$ 学校受噪声影响的时间为 $120÷20=6(\mathrm{s}).$
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先判断学校是否受噪声影响，只需比较学校到公路$l_1$的距离和噪声影响半径的大小，若距离小于100m则会受影响；若受影响，再计算受影响时长：先找到公路$l_1$上到点A距离为100m的两个点B、D，两点之间就是货车行驶时会影响学校的路段，利用等腰三角形三线合一可知M是BD中点，再通过勾股定理求出BM长度，进而得到BD总长度，最后用路段长度除以货车速度即可得到受影响时间。
【解析】
首先判断是否受影响：
已知点A到公路$l_1$的距离$AM=80\mathrm{m}$，噪声影响范围为周围100m，因为$80＜100$，所以货车开过时学校会受噪声影响。
接下来计算受影响时长：
如答图，设货车行驶到点B、D时，到A的距离恰好为100m，即$AB=AD=100\mathrm{m}$，货车在B、D之间行驶时学校都会受噪声影响。
因为$AM⊥ l_1$，$△ ABD$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得$BM=DM$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60(\mathrm{m})$
因此受影响的路段总长度$BD=2BM=120\mathrm{m}$。
已知货车速度为$20\mathrm{m/s}$，则学校受噪声影响的时间为：
$t=120÷20=6(\mathrm{s})$
【答案】
$\because$ 点 $A$(学校)到公路 $l_1$ 的距离 $AM$ 为 80 m,货车从点 $O$ 出发,行驶在公路 $l_1$ 上,汽车周围 100 m 范围内有噪声影响,$80＜100$,
$\therefore$ 货车开过时学校受噪声影响.
设货车行驶在点 B 和点 D 之间时学校受噪声影响,则 $AB=AD=100\ \mathrm{m}.$
$\because AM⊥ l_1,\therefore BM=DM$,
由勾股定理,得 $BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60(\mathrm{m})$,
$\therefore BD=2BM=120\ \mathrm{m}.$
$\because$ 货车的速度为 $20\ \mathrm{m/s}$,
$\therefore$ 学校受噪声影响的时间为 $120÷20=6(\mathrm{s}).$
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，将生活中的噪声影响问题转化为几何模型，解题核心是通过构造直角三角形和等腰三角形求出受影响的路段长度，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力以及几何计算能力。
【难度系数】
0.6
解题思路分为两步：首先判断学校是否受噪声影响，只需比较学校到公路$l_1$的距离和噪声影响半径的大小，若距离小于100m则会受影响；若受影响，再计算受影响时长：先找到公路$l_1$上到点A距离为100m的两个点B、D，两点之间就是货车行驶时会影响学校的路段，利用等腰三角形三线合一可知M是BD中点，再通过勾股定理求出BM长度，进而得到BD总长度，最后用路段长度除以货车速度即可得到受影响时间。
【解析】
首先判断是否受影响：
已知点A到公路$l_1$的距离$AM=80\mathrm{m}$，噪声影响范围为周围100m，因为$80＜100$，所以货车开过时学校会受噪声影响。
接下来计算受影响时长：
如答图，设货车行驶到点B、D时，到A的距离恰好为100m，即$AB=AD=100\mathrm{m}$，货车在B、D之间行驶时学校都会受噪声影响。
因为$AM⊥ l_1$，$△ ABD$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得$BM=DM$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60(\mathrm{m})$
因此受影响的路段总长度$BD=2BM=120\mathrm{m}$。
已知货车速度为$20\mathrm{m/s}$，则学校受噪声影响的时间为：
$t=120÷20=6(\mathrm{s})$
【答案】
$\because$ 点 $A$(学校)到公路 $l_1$ 的距离 $AM$ 为 80 m,货车从点 $O$ 出发,行驶在公路 $l_1$ 上,汽车周围 100 m 范围内有噪声影响,$80＜100$,
$\therefore$ 货车开过时学校受噪声影响.
设货车行驶在点 B 和点 D 之间时学校受噪声影响,则 $AB=AD=100\ \mathrm{m}.$
$\because AM⊥ l_1,\therefore BM=DM$,
由勾股定理,得 $BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60(\mathrm{m})$,
$\therefore BD=2BM=120\ \mathrm{m}.$
$\because$ 货车的速度为 $20\ \mathrm{m/s}$,
$\therefore$ 学校受噪声影响的时间为 $120÷20=6(\mathrm{s}).$
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，将生活中的噪声影响问题转化为几何模型，解题核心是通过构造直角三角形和等腰三角形求出受影响的路段长度，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力以及几何计算能力。
【难度系数】
0.6
