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10.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠DCB=90°,E,F分别是BD,AC的中点,∠ADC=120°,EF=1,则AF=
$\sqrt{3}$
.答案
10.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察到图形中存在两个共斜边BD的直角三角形，且E为BD中点，因此优先考虑连接AE、CE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到AE=CE，判定△AEC为等腰三角形；再结合F是AC中点，利用等腰三角形三线合一可得EF⊥AC且平分顶角∠AEC。接下来通过四边形内角和求出∠ABC的度数，进而推导得到∠AEC的度数，最后在直角三角形AEF中利用特殊直角三角形的性质和勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
1. 连接AE、CE
∵ ∠BAD=∠DCB=90°，E是BD的中点
∴ 在Rt△BAD中，$AE = \frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
在Rt△BCD中，$CE = \frac{1}{2}BD$
∴ $AE = CE$，即△AEC为等腰三角形
2. 利用等腰三角形性质
∵ F是AC的中点
∴ $EF⊥AC$，且EF平分∠AEC（等腰三角形三线合一），即$∠AFE=90°$
3. 推导∠AEC的度数
∵ 四边形ABCD内角和为360°，$∠BAD=∠DCB=90°$，$∠ADC=120°$
∴ $∠ABC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°$
∵ $AE=BE$，$CE=BE$
∴ $∠EAB=∠EBA$，$∠ECB=∠EBC$
∴ $∠AED=∠EAB+∠EBA=2∠EBA$，$∠CED=∠ECB+∠EBC=2∠EBC$
∴ $∠AEC = ∠AED + ∠CED = 2(∠EBA + ∠EBC) = 2∠ABC = 2×60°=120°$
∴ $∠AEF = \frac{1}{2}∠AEC = 60°$
4. 计算AF的长度
在Rt△AEF中，$∠AFE=90°$，$∠AEF=60°$，则$∠EAF=30°$
已知EF=1，
∴ $AE=2EF=2×1=2$
由勾股定理得：$AF = \sqrt{AE^2 - EF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是正确作出辅助线，将已知条件与三角形性质结合，通过角度推导转化为特殊直角三角形的计算问题，能有效考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到图形中存在两个共斜边BD的直角三角形，且E为BD中点，因此优先考虑连接AE、CE，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到AE=CE，判定△AEC为等腰三角形；再结合F是AC中点，利用等腰三角形三线合一可得EF⊥AC且平分顶角∠AEC。接下来通过四边形内角和求出∠ABC的度数，进而推导得到∠AEC的度数，最后在直角三角形AEF中利用特殊直角三角形的性质和勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
1. 连接AE、CE
∵ ∠BAD=∠DCB=90°，E是BD的中点
∴ 在Rt△BAD中，$AE = \frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
在Rt△BCD中，$CE = \frac{1}{2}BD$
∴ $AE = CE$，即△AEC为等腰三角形
2. 利用等腰三角形性质
∵ F是AC的中点
∴ $EF⊥AC$，且EF平分∠AEC（等腰三角形三线合一），即$∠AFE=90°$
3. 推导∠AEC的度数
∵ 四边形ABCD内角和为360°，$∠BAD=∠DCB=90°$，$∠ADC=120°$
∴ $∠ABC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°$
∵ $AE=BE$，$CE=BE$
∴ $∠EAB=∠EBA$，$∠ECB=∠EBC$
∴ $∠AED=∠EAB+∠EBA=2∠EBA$，$∠CED=∠ECB+∠EBC=2∠EBC$
∴ $∠AEC = ∠AED + ∠CED = 2(∠EBA + ∠EBC) = 2∠ABC = 2×60°=120°$
∴ $∠AEF = \frac{1}{2}∠AEC = 60°$
4. 计算AF的长度
在Rt△AEF中，$∠AFE=90°$，$∠AEF=60°$，则$∠EAF=30°$
已知EF=1，
∴ $AE=2EF=2×1=2$
由勾股定理得：$AF = \sqrt{AE^2 - EF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是正确作出辅助线，将已知条件与三角形性质结合，通过角度推导转化为特殊直角三角形的计算问题，能有效考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$.
(1)若$P$是$BC$边上的中点,连接$AP$,求证:$BP· CP=AB^2 - AP^2$.
(2)若$P$是$BC$边上任意一点,上面的结论还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(1)若$P$是$BC$边上的中点,连接$AP$,求证:$BP· CP=AB^2 - AP^2$.
(2)若$P$是$BC$边上任意一点,上面的结论还成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
答案
11.(1)证明:由等腰三角形的三线合一可得
$AP⊥ BC,BP=PC.\because AB^2=AP^2+BP^2$,
$\therefore AB^2-AP^2=BP^2=BP· CP$.
(2)解:成立.
证明:如答图,过点A作$AM⊥ BC$于点M.
$\because AB=AC,\therefore BM=CM$.
$\because AB^2=AM^2+BM^2,AP^2=AM^2+MP^2$,
$\therefore AB^2-AP^2=BM^2-MP^2=(BM+MP)(BM-MP)$.
$\because BM=CM,\therefore BM+MP=CM+MP=CP$,
$\therefore AB^2-AP^2=BP· CP$.
解析
【分析】
(1) 对于第一问，已知P是等腰三角形底边BC的中点，首先联想等腰三角形三线合一的性质，可得到AP垂直BC且BP=CP，再结合直角三角形勾股定理列出AB、AP、BP的等量关系，变形后即可完成证明。
(2) 对于第二问，P为BC上任意点，没有中点的特殊条件，因此需要主动作底边BC的高AM构造直角三角形，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AB²和AP²，两式作差后利用平方差公式因式分解，再结合等腰三角形三线合一得到BM=CM，对线段做等量代换即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，P是BC边上的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AP⊥BC$，$BP=PC$。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$AB^2=AP^2+BP^2$，
移项得$AB^2-AP^2=BP^2$，
又
∵$BP=PC$，
∴$BP^2=BP·CP$，
即$BP· CP=AB^2 - AP^2$。
(2) 结论成立，证明如下：
过点A作$AM⊥ BC$于点M，
∵$AB=AC$，$AM⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质得$BM=CM$。
在$Rt△ ABM$中，由勾股定理得$AB^2=AM^2+BM^2$，
在$Rt△ APM$中，由勾股定理得$AP^2=AM^2+MP^2$，
两式相减得：$AB^2-AP^2=(AM^2+BM^2)-(AM^2+MP^2)=BM^2-MP^2$，
由平方差公式分解得：$BM^2-MP^2=(BM+MP)(BM-MP)$，
∵$BM=CM$，
∴$BM+MP=CM+MP=CP$，且$BM-MP=BP$，
代入得$AB^2-AP^2=BP· CP$，结论成立。
【答案】
(1)证明:由等腰三角形的三线合一可得
$AP⊥ BC,BP=PC.\because AB^2=AP^2+BP^2$,
$\therefore AB^2-AP^2=BP^2=BP· CP$.
(2)解:成立.
证明:如答图,过点A作$AM⊥ BC$于点M.
$\because AB=AC,\therefore BM=CM$.
$\because AB^2=AM^2+BM^2,AP^2=AM^2+MP^2$,
$\therefore AB^2-AP^2=BM^2-MP^2=(BM+MP)(BM-MP)$.
$\because BM=CM,\therefore BM+MP=CM+MP=CP$,
$\therefore AB^2-AP^2=BP· CP$.
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、平方差公式
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，考查等腰三角形性质与勾股定理的综合应用，解题核心是通过构造直角三角形，结合代数因式分解完成线段关系的推导，有助于提升几何辅助线构造能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 对于第一问，已知P是等腰三角形底边BC的中点，首先联想等腰三角形三线合一的性质，可得到AP垂直BC且BP=CP，再结合直角三角形勾股定理列出AB、AP、BP的等量关系，变形后即可完成证明。
(2) 对于第二问，P为BC上任意点，没有中点的特殊条件，因此需要主动作底边BC的高AM构造直角三角形，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AB²和AP²，两式作差后利用平方差公式因式分解，再结合等腰三角形三线合一得到BM=CM，对线段做等量代换即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，P是BC边上的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AP⊥BC$，$BP=PC$。
在$Rt△ ABP$中，由勾股定理得$AB^2=AP^2+BP^2$，
移项得$AB^2-AP^2=BP^2$，
又
∵$BP=PC$，
∴$BP^2=BP·CP$，
即$BP· CP=AB^2 - AP^2$。
(2) 结论成立，证明如下：
过点A作$AM⊥ BC$于点M，
∵$AB=AC$，$AM⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质得$BM=CM$。
在$Rt△ ABM$中，由勾股定理得$AB^2=AM^2+BM^2$，
在$Rt△ APM$中，由勾股定理得$AP^2=AM^2+MP^2$，
两式相减得：$AB^2-AP^2=(AM^2+BM^2)-(AM^2+MP^2)=BM^2-MP^2$，
由平方差公式分解得：$BM^2-MP^2=(BM+MP)(BM-MP)$，
∵$BM=CM$，
∴$BM+MP=CM+MP=CP$，且$BM-MP=BP$，
代入得$AB^2-AP^2=BP· CP$，结论成立。
【答案】
(1)证明:由等腰三角形的三线合一可得
$AP⊥ BC,BP=PC.\because AB^2=AP^2+BP^2$,
$\therefore AB^2-AP^2=BP^2=BP· CP$.
(2)解:成立.
证明:如答图,过点A作$AM⊥ BC$于点M.
$\because AB=AC,\therefore BM=CM$.
$\because AB^2=AM^2+BM^2,AP^2=AM^2+MP^2$,
$\therefore AB^2-AP^2=BM^2-MP^2=(BM+MP)(BM-MP)$.
$\because BM=CM,\therefore BM+MP=CM+MP=CP$,
$\therefore AB^2-AP^2=BP· CP$.
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、平方差公式
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，考查等腰三角形性质与勾股定理的综合应用，解题核心是通过构造直角三角形，结合代数因式分解完成线段关系的推导，有助于提升几何辅助线构造能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
12. 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$. 如图①，当$∠ C=90°$时，$a^2+b^2=c^2$.
(1)如图②，当$∠ C＜90°$时，小明猜想$a^2+b^2＞c^2$，理由如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，设$CD=x$……
请补全小明的证明过程；
(2)如图③，当$∠ C＞90°$时，猜想$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，并证明你的猜想.
(1)如图②，当$∠ C＜90°$时，小明猜想$a^2+b^2＞c^2$，理由如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，设$CD=x$……
请补全小明的证明过程；
(2)如图③，当$∠ C＞90°$时，猜想$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，并证明你的猜想.
答案
12.解:(1)设$CD=x$,则$BD=a-x$.
$\because AD⊥ BC,\therefore AD^2=b^2-x^2,AD^2=c^2-(a-x)^2$,
则$b^2-x^2=c^2-(a-x)^2,\therefore a^2+b^2=c^2+2ax$.
$\because a＞0,x＞0,\therefore 2ax＞0,\therefore a^2+b^2＞c^2$,
$\therefore$当$△ ABC$为锐角三角形时,$a^2+b^2＞c^2$.
(2)当$△ ABC$为钝角三角形时,$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系为$a^2+b^2＜c^2$.
证明:如答图,过点A作$AD⊥ BC$,交$BC$的延长线于点D.
设$CD=x.\because AD⊥ BD,\therefore AD^2=AC^2-DC^2=b^2-x^2$,
$AD^2=AB^2-BD^2=c^2-(a+x)^2$,
$\therefore b^2-x^2=c^2-(a+x)^2$,即$a^2+b^2=c^2-2ax$.
$\because a＞0,x＞0$,
$\therefore 2ax＞0,\therefore a^2+b^2=c^2-2ax＜c^2$.
即当$△ ABC$为钝角三角形时,$a^2+b^2＜c^2$.
解析
【分析】
(1) 要证明锐角三角形中$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，可通过作高$AD$将原三角形拆分为两个直角三角形，利用公共直角边$AD$，结合勾股定理分别表示$AD^2$，建立等式后展开化简，再根据$a$、$x$均为正数判断额外项的正负，即可推导出大小关系。
(2) 对于钝角三角形的情况，类比锐角三角形的推导思路，过点$A$作$BC$延长线的垂线构造直角三角形，仍以公共高$AD$为桥梁建立等式，化简后结合$a$、$x$为正数的条件即可证明猜想的大小关系。
【解析】
(1) 设$CD=x$，则$BD=a-x$。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AD^2=c^2-(a-x)^2$，
$\therefore b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$，
展开整理得$a^2+b^2=c^2+2ax$。
$\because a＞0$，$x＞0$，$\therefore 2ax＞0$，
$\therefore a^2+b^2＞c^2$，即当$∠ C＜90°$时，$a^2+b^2＞c^2$。
(2) 猜想：当$∠ C＞90°$时，$a^2+b^2＜c^2$。
证明：如答图，过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，设$CD=x$。
$\because AD⊥ BD$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=a+x$，由勾股定理得$AD^2=c^2-(a+x)^2$，
$\therefore b^2-x^2=c^2-(a+x)^2$，
展开整理得$a^2+b^2=c^2-2ax$。
$\because a＞0$，$x＞0$，$\therefore 2ax＞0$，
$\therefore a^2+b^2=c^2-2ax＜c^2$，即当$∠ C＞90°$时，$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
(1) 当$∠ C＜90°$时，$a^2+b^2＞c^2$，证明过程见解析；
(2) 当$∠ C＞90°$时，$a^2+b^2＜c^2$，证明过程见解析。
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；不等式性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用，通过作垂线的辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，利用公共边建立等量关系推导三边平方的大小关系，渗透了转化、分类讨论的数学思想，有助于提升学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明锐角三角形中$a^2+b^2$与$c^2$的大小关系，可通过作高$AD$将原三角形拆分为两个直角三角形，利用公共直角边$AD$，结合勾股定理分别表示$AD^2$，建立等式后展开化简，再根据$a$、$x$均为正数判断额外项的正负，即可推导出大小关系。
(2) 对于钝角三角形的情况，类比锐角三角形的推导思路，过点$A$作$BC$延长线的垂线构造直角三角形，仍以公共高$AD$为桥梁建立等式，化简后结合$a$、$x$为正数的条件即可证明猜想的大小关系。
【解析】
(1) 设$CD=x$，则$BD=a-x$。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AD^2=c^2-(a-x)^2$，
$\therefore b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$，
展开整理得$a^2+b^2=c^2+2ax$。
$\because a＞0$，$x＞0$，$\therefore 2ax＞0$，
$\therefore a^2+b^2＞c^2$，即当$∠ C＜90°$时，$a^2+b^2＞c^2$。
(2) 猜想：当$∠ C＞90°$时，$a^2+b^2＜c^2$。
证明：如答图，过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$，设$CD=x$。
$\because AD⊥ BD$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=a+x$，由勾股定理得$AD^2=c^2-(a+x)^2$，
$\therefore b^2-x^2=c^2-(a+x)^2$，
展开整理得$a^2+b^2=c^2-2ax$。
$\because a＞0$，$x＞0$，$\therefore 2ax＞0$，
$\therefore a^2+b^2=c^2-2ax＜c^2$，即当$∠ C＞90°$时，$a^2+b^2＜c^2$。
【答案】
(1) 当$∠ C＜90°$时，$a^2+b^2＞c^2$，证明过程见解析；
(2) 当$∠ C＞90°$时，$a^2+b^2＜c^2$，证明过程见解析。
【知识点】
勾股定理；构造直角三角形；不等式性质
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用，通过作垂线的辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，利用公共边建立等量关系推导三边平方的大小关系，渗透了转化、分类讨论的数学思想，有助于提升学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
