6. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把图24-9中的10个苹果按直径大小分成两组.

6. 将这 10 个数据按照从小到大排序为 65,69,70,75,76,76,78,80,80,81. 把 10 个数据分成两组,共有 9 种情况,如下表所示:
| 分组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
| --- | --- | --- | --- |
| 第1个间隔 | 0 | 146.9 | 146.9 |
| 第2个间隔 | 8 | 90 | 98 |
| 第3个间隔 | 14 | 34 | 48 |
| 第4个间隔 | 50.8 | 23.5 | 74.3 |
| 第5个间隔 | 82 | 16 | 98 |
| 第6个间隔 | 102.8 | 4.8 | 107.6 |
| 第7个间隔 | 135.4 | 0.7 | 136.1 |
| 第8个间隔 | 181.9 | 0.5 | 182.4 |
| 第9个间隔 | 218.0 | 0 | 218.0 |
观察最后一列组内离差平方和可以发现,当按第 3 个间隔分组时,组内离差平方和最小. 因此,按组内离差平方和最小的分法为$\{65,69,70\}$和$\{75,76,76,78,80,80,81\}$.

【分析】
要解决这个问题，我们首先明确分组目标是总组内离差平方和最小，解题可按三步推进：第一步先把10个苹果的直径数据从小到大排序，由于不连续分组的组内离差平方和必然大于连续分组，因此10个排序后的数据之间共有9个相邻间隔，对应9种连续分组方式；第二步对每种分组，分别计算两组的离差平方和（即每组内各数据与组平均数的差的平方之和），相加得到该分组的总组内离差平方和；第三步对比9种分组的总离差平方和，数值最小的分组即为所求。
【解析】
1. 首先整理10个苹果的直径数据，从小到大排序为：$65,69,70,75,76,76,78,80,80,81$。
2. 依次在相邻数据间隔处切分，计算9种分组的总组内离差平方和：
| 分组位置 | 分组情况 | 总组内离差平方和 |
| --- | --- | --- |
| 第1个间隔 | $\{65\}$、$\{69,70,75,76,76,78,80,80,81\}$ | $146.9$ |
| 第2个间隔 | $\{65,69\}$、$\{70,75,76,76,78,80,80,81\}$ | $98$ |
| 第3个间隔 | $\{65,69,70\}$、$\{75,76,76,78,80,80,81\}$ | $48$ |
| 第4个间隔 | $\{65,69,70,75\}$、$\{76,76,78,80,80,81\}$ | $74.3$ |
| 第5个间隔 | $\{65,69,70,75,76\}$、$\{76,78,80,80,81\}$ | $98$ |
| 第6个间隔 | $\{65,69,70,75,76,76\}$、$\{78,80,80,81\}$ | $107.6$ |
| 第7个间隔 | $\{65,69,70,75,76,76,78\}$、$\{80,80,81\}$ | $136.1$ |
| 第8个间隔 | $\{65,69,70,75,76,76,78,80\}$、$\{80,81\}$ | $182.4$ |
| 第9个间隔 | $\{65,69,70,75,76,76,78,80,80\}$、$\{81\}$ | $218.0$ |
3. 对比总组内离差平方和，第3个间隔分组的数值最小，因此为最优分组。
【答案】
两组分别为$\{65,69,70\}$和$\{75,76,76,78,80,80,81\}$
【知识点】
数据排序、离差平方和计算、统计分组
【点评】
本题考查数据处理与分析能力，解题逻辑清晰，核心是需要耐心计算不同分组的离差平方和并对比结果，计算时要注意平均数和平方运算的准确性，避免因计算失误选错分组。
【难度系数】
0.6

1. 如果一组数据 $a_1,a_2,···,a_n$ 的方差是2,那么一组新数据 $2a_1,2a_2,···,2a_n$ 的方差是 $\quad (\quad)$

A.2
B.4
C.8
D.16

1. C

【分析】
解题思路：我们可以先回忆方差的定义和计算公式，首先设原数据的平均数，写出原数据的方差表达式，再计算新数据的平均数，将其代入新数据的方差公式，通过变形和原方差的数值关联，就能求出新方差；也可以直接利用方差的变化规律：若一组数据每个数都扩大为原来的k倍，则方差扩大为原来的k²倍，快速计算结果。
【解析】
设数据$a_1,a_2,\dots,a_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式，原数据的方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(a_1-\overline{x})^2+(a_2-\overline{x})^2+\dots+(a_n-\overline{x})^2]=2$
新数据$2a_1,2a_2,\dots,2a_n$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}(2a_1+2a_2+\dots+2a_n)=2·\frac{1}{n}(a_1+a_2+\dots+a_n)=2\overline{x}$
新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2a_1-2\overline{x})^2+(2a_2-2\overline{x})^2+\dots+(2a_n-2\overline{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[4(a_1-\overline{x})^2+4(a_2-\overline{x})^2+\dots+4(a_n-\overline{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(a_1-\overline{x})^2+(a_2-\overline{x})^2+\dots+(a_n-\overline{x})^2]\\&=4×2=8\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；方差的变化规律
【点评】
本题考查方差的计算与性质，既可以通过基础的方差公式推导得到结果，也可以直接利用数据缩放时的方差变化规律快速求解，重点考察对公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

2. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0,7.0,8.8,9.0,9.3,9.4,10.工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计.
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是
（）

A.平均数
B.方差
C.众数
D.中位数

2. D

【分析】
要解决这道题，我们需要逐一分析去掉最高分和最低分后四个统计量的变化情况，核心思路是先明确各统计量的定义和计算方法，分别计算原始数据和去掉极端值后的数据的对应统计量，再对比是否变化。步骤如下：1.先将原始数据从小到大排序；2.分别计算原始数据和处理后数据的平均数、方差、众数、中位数；3.对比四个统计量的结果，找出不变的量。
【解析】
首先将7个评委的打分从小到大排序：7.0，7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10。
1. 分析中位数：
原始数据共7个，中位数是排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即9.0。
去掉一个最高分10、一个最低分7.0后，剩余数据为：7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，共5个，中位数是排序后第$\frac{5+1}{2}=3$个数据，仍为9.0，因此中位数不变。
2. 分析其他选项：
A选项平均数：原始平均数为$\frac{7.0+7.0+8.8+9.0+9.3+9.4+10}{7}\approx8.64$，去掉极端值后的平均数为$\frac{7.0+8.8+9.0+9.3+9.4}{5}=8.7$，数值发生变化，不符合要求。
B选项方差：方差反映数据的波动程度，数据集合和平均数均发生变化，因此方差也会变化，不符合要求。
C选项众数：原始数据中7.0出现2次，次数最多，众数为7.0；去掉一个7.0后，剩余每个数据仅出现1次，没有众数，因此众数发生变化，不符合要求。
综上，只有中位数一定不发生变化，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
中位数的定义，众数的定义，平均数与方差的含义
【点评】
本题侧重考查对各统计量概念的掌握，解题的关键是熟练掌握不同统计量的计算规则，尤其是中位数需要先排序再取对应位置的数值，这类题是数据的分析章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

3. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋,其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示:

这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是 ()

A.24.5,25
B.25,25
C.25,25.5
D.25.5,26

3. B

【分析】
解题时先回忆众数和中位数的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数，只需对比各尺码的销售量即可找到众数；②中位数是将数据从小到大排序后，中间位置的数，若数据总个数为偶数，取中间两个数的平均值。本题总共有20个数据（偶数个），需先通过累加销售量定位排序后第10、11个数据对应的尺码，再计算中位数即可。
【解析】
1. 求众数：观察表格，尺码25cm对应的销售量为10双，是所有尺码中销售量最高的，因此这组数据的众数是25。
2. 求中位数：总共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数。
累计销售量：
尺码24：共1双，对应第1个数据；
尺码24.5：共3双，对应第2~4个数据；
尺码25：共10双，对应第5~14个数据。
因此第10、11个数据均为25，中位数为$\frac{25+25}{2}=25$。
综上，众数和中位数分别为25、25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
众数，中位数，统计表应用
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对众数、中位数概念的掌握，易错点为计算中位数时未准确找到中间位置对应的数值，牢记相关定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

4. 关于如图24-10所示的箱线图,下列说法正确的是 ()

A.这组数据最大值是163
B.这组数据的平均数是150
C.四分位距为40
D.此箱线图不能反映这组数据的分布情况

4. C

【分析】
解题前先明确箱线图的核心概念：箱线图从左到右依次标注最小值、下四分位数（Q₁）、中位数、上四分位数（Q₃）、最大值5个特征统计量，四分位距的计算公式为Q₃-Q₁。接下来逐一验证选项：首先找最大值的位置判断A选项正误；再根据平均数的计算要求（需要所有原始数据）判断B选项；然后计算四分位距验证C选项；最后结合箱线图的作用判断D选项。
【解析】
根据箱线图的特征逐一分析选项：
A. 箱线图最右侧的端点为这组数据的最大值，163是上四分位数Q₃，不是最大值，故A错误；
B. 平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，箱线图仅能提供5个特征统计量，无法获取全部原始数据的信息，因此无法计算平均数，故B错误；
C. 四分位距为上四分位数与下四分位数的差值，由图可得Q₃=163，Q₁=123，因此四分位距=163-123=40，故C正确；
D. 箱线图可以直观反映数据的集中趋势、离散程度等分布特征，能够反映数据的分布情况，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 箱线图的认识 2. 四分位距计算 3. 平均数的含义
【点评】
本题考查统计中箱线图的相关知识，侧重对基础概念的理解，只要熟练掌握箱线图各部分对应的统计意义，就能快速排除错误选项得到正确答案。
【难度系数】
0.7

5. 在五四文艺晚会节目评选中,某班选送的节目得分如下:91,96,95,92,94,95,95. 分析这组数据,下列说法错误的是
()

A.中位数是 95
B.方差是 3
C.众数是 95
D.平均数是 94

5. B

【分析】
要判断这组数据相关说法的正误，需先将数据从小到大排序，再依次计算中位数、众数、平均数、方差四个统计量，逐一和选项对比即可找到错误选项。解题步骤为：①排序数据；②求中位数验证A；③求众数验证C；④求平均数验证D；⑤求方差验证B。
【解析】
首先将这组数据从小到大排序：91，92，94，95，95，95，96。
1. 验证A选项：数据共7个，中位数是排序后第4个数据，即95，A说法正确，不符合题意。
2. 验证C选项：95出现的次数最多，共3次，因此众数是95，C说法正确，不符合题意。
3. 验证D选项：平均数$\bar{x}=\frac{91+92+94+95+95+95+96}{7}=\frac{658}{7}=94$，D说法正确，不符合题意。
4. 验证B选项：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}[(91-94)^2+(92-94)^2+(94-94)^2+3×(95-94)^2+(96-94)^2]$
$=\frac{1}{7}(9+4+0+3+4)=\frac{20}{7}≠3$，因此B说法错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
中位数与众数，平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于统计基础题，主要考查常见统计量的计算，解题时注意先排序再求中位数，计算方差时要仔细核对每一项的平方和，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

6. 若一组数据 6,6,m,7,7,8 的众数为 7,则这组数据的中位数为 .

6. 7

【分析】
解题时首先要明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位于中间位置的数（偶数个数据时为中间两个数的平均数）。第一步先根据众数为7的条件，确定未知参数m的取值；第二步将完整数据排序，再按中位数的计算规则求出结果即可。
【解析】
1. 确定m的值：
已知这组数据的众数为7，原数据中6出现2次，7出现2次，8出现1次。要使7为众数，需保证7的出现次数多于其他数，因此m=7。
2. 计算中位数：
将完整数据从小到大排序为：6,6,7,7,7,8。
该组数据共有6个，为偶数个，中位数是第3个和第4个数据的平均数，即$\frac{7+7}{2}=7$。
【答案】
7
【知识点】
1. 众数的定义
2. 中位数的计算
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基础应用，解题的核心是先根据众数的限定条件确定未知数据，再按中位数的计算规则求解，掌握相关基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8