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7. 甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中,平均成绩都是8.5环,方差分别是$s^{2}_{甲}=0.78,s^{2}_{乙}=0.2,s^{2}_{丙}=1.28$,则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是________(填“甲”“乙”或“丙”).
答案
7. 乙
解析
【分析】
要判断三名运动员谁的成绩最稳定，首先明确当平均成绩相同时，成绩的稳定性由方差决定：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。因此我们只需要比较三人方差的大小，找出方差最小的运动员即可。
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。
已知三人平均成绩相同，且$s^{2}_{乙}=0.2＜s^{2}_{甲}=0.78＜s^{2}_{丙}=1.28$，即乙的方差最小，因此乙的成绩最稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；数据稳定性的判断
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题核心是掌握方差与数据稳定性的对应关系，属于基础题，直接利用性质对比即可求解。
【难度系数】
0.9
要判断三名运动员谁的成绩最稳定，首先明确当平均成绩相同时，成绩的稳定性由方差决定：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。因此我们只需要比较三人方差的大小，找出方差最小的运动员即可。
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。
已知三人平均成绩相同，且$s^{2}_{乙}=0.2＜s^{2}_{甲}=0.78＜s^{2}_{丙}=1.28$，即乙的方差最小，因此乙的成绩最稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义；数据稳定性的判断
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题核心是掌握方差与数据稳定性的对应关系，属于基础题，直接利用性质对比即可求解。
【难度系数】
0.9
8. 已知一组数据的离差平方和 $ d^2 = (x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \dots + (x_{10} - \overline{x})^2 = 50 $，则这组数据的方差 $ s^2 = \underline{\hspace{5cm}} $。
答案
8. 5
解析
【分析】
解题时先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与平均数差的平方的平均数，本质是离差平方和除以数据的总个数。首先从题目给出的离差平方和表达式可知，这组数据共有10个（$x_1$到$x_{10}$），且离差平方和已知为50，直接代入方差公式计算即可。
【解析】
解：由题可得，这组数据的总个数$n=10$，离差平方和$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=50$。
根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$
将$n=10$、$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=50$代入公式得：
$s^2=\frac{1}{10}×50=5$
【答案】
5
【知识点】
方差的计算；离差平方和
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对方差定义的理解，只要熟练掌握方差的计算公式，明确离差平方和与方差的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆方差的定义：方差是一组数据中各数据与平均数差的平方的平均数，本质是离差平方和除以数据的总个数。首先从题目给出的离差平方和表达式可知，这组数据共有10个（$x_1$到$x_{10}$），且离差平方和已知为50，直接代入方差公式计算即可。
【解析】
解：由题可得，这组数据的总个数$n=10$，离差平方和$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=50$。
根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2$
将$n=10$、$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=50$代入公式得：
$s^2=\frac{1}{10}×50=5$
【答案】
5
【知识点】
方差的计算；离差平方和
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对方差定义的理解，只要熟练掌握方差的计算公式，明确离差平方和与方差的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.85
9. 吴师傅从鱼塘中捕得同时放养的草鱼500尾,从中任选10尾,称得每尾鱼的质量(单位:kg)分别为2.5,2.6,2.4,2.6,2.3,2.4,2.2,2.7,2.8,2.5,则这500尾草鱼的总质量大约是________kg.
答案
9. 1 250
解析
【分析】
要估计500尾草鱼的总质量，可利用样本估计总体的思想：首先计算随机抽取的10尾草鱼的平均质量，将其作为所有草鱼的平均质量，再用平均质量乘总尾数即可得到总质量的估计值。
【解析】
第一步：计算10尾草鱼的总质量：
$2.5+2.6+2.4+2.6+2.3+2.4+2.2+2.7+2.8+2.5=25\,\mathrm{kg}$
第二步：计算10尾草鱼的平均质量：
$\bar{x}=\frac{25}{10}=2.5\,\mathrm{kg/尾}$
第三步：估计500尾草鱼的总质量：
$2.5×500=1250\,\mathrm{kg}$
【答案】
1250
【知识点】
平均数计算；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，核心是利用样本的平均特征估计总体的平均特征，解题时需准确计算样本平均数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要估计500尾草鱼的总质量，可利用样本估计总体的思想：首先计算随机抽取的10尾草鱼的平均质量，将其作为所有草鱼的平均质量，再用平均质量乘总尾数即可得到总质量的估计值。
【解析】
第一步：计算10尾草鱼的总质量：
$2.5+2.6+2.4+2.6+2.3+2.4+2.2+2.7+2.8+2.5=25\,\mathrm{kg}$
第二步：计算10尾草鱼的平均质量：
$\bar{x}=\frac{25}{10}=2.5\,\mathrm{kg/尾}$
第三步：估计500尾草鱼的总质量：
$2.5×500=1250\,\mathrm{kg}$
【答案】
1250
【知识点】
平均数计算；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，核心是利用样本的平均特征估计总体的平均特征，解题时需准确计算样本平均数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
10. 学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取. 通过计算，你认为
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取. 通过计算，你认为
乙
同学将被录取.答案
10. 乙
解析
【分析】
这道题是加权平均数在实际场景中的应用，解题思路如下：首先明确两项测试成绩对应的权重，口语表达占70%，写作能力占30%；再分别用甲、乙的各项成绩乘对应的权重，求和得到两人的总成绩；最后比较两人总成绩的大小，总成绩更高的同学被录取。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，分别计算甲、乙的总成绩：
甲的总成绩：$80×70\% + 90×30\% = 80×0.7 + 90×0.3 = 56 + 27 = 83$（分）
乙的总成绩：$90×70\% + 80×30\% = 90×0.7 + 80×0.3 = 63 + 24 = 87$（分）
因为$87＞83$，乙的总成绩更高，因此乙同学被录取。
【答案】
乙
【知识点】
加权平均数计算，统计决策应用
【点评】
本题结合招聘的实际场景考查加权平均数的运用，解题关键是明确各项成绩对应的权重，正确代入公式计算后比较大小即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
这道题是加权平均数在实际场景中的应用，解题思路如下：首先明确两项测试成绩对应的权重，口语表达占70%，写作能力占30%；再分别用甲、乙的各项成绩乘对应的权重，求和得到两人的总成绩；最后比较两人总成绩的大小，总成绩更高的同学被录取。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，分别计算甲、乙的总成绩：
甲的总成绩：$80×70\% + 90×30\% = 80×0.7 + 90×0.3 = 56 + 27 = 83$（分）
乙的总成绩：$90×70\% + 80×30\% = 90×0.7 + 80×0.3 = 63 + 24 = 87$（分）
因为$87＞83$，乙的总成绩更高，因此乙同学被录取。
【答案】
乙
【知识点】
加权平均数计算，统计决策应用
【点评】
本题结合招聘的实际场景考查加权平均数的运用，解题关键是明确各项成绩对应的权重，正确代入公式计算后比较大小即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
三、解答题
11. 已知一组数据 3,6,8,5,12,12,16,14,21,20.
(1)求这组数据的四分位数；
(2)在图 24-11 中绘制出这组数据的箱线图.
11. 已知一组数据 3,6,8,5,12,12,16,14,21,20.
(1)求这组数据的四分位数；
(2)在图 24-11 中绘制出这组数据的箱线图.
答案
11. (1)将所给数据从小到大排列:3,5,6,8,12,12,14,16,20,21,得第二四分位数$Q_2=\frac{12+12}{2}=12$,前一半数据为 3,5,6,8,12,得第一四分位数$Q_1=6$,后一半数据为 12,14,16,20,21,得第三四分位数$Q_3=16$. 综上,第一四分位数是 6,第二四分位数是 12,第三四分位数是 16. (2)根据题意,得数据的最大值为 21,最小值为 3,第一四分位数是 6,第二四分位数是 12,第三四分位数是 16,画图如下:
解析
【分析】
解题分两部分思考：
1. 求四分位数：首先要先把原始数据从小到大排序，第二四分位数就是这组数据的中位数，若数据总个数为偶数，取中间两个数的平均值；再将排序后的数据分为前后两半，前半部分的中位数就是第一四分位数$Q_1$，后半部分的中位数就是第三四分位数$Q_3$。
2. 绘制箱线图：需要先确定五个关键数值：最小值、第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数、最大值，再对应给出的纵轴刻度依次绘制线段和矩形即可。
【解析】
(1) 首先将所给数据从小到大排列：$3,5,6,8,12,12,14,16,20,21$，共10个数据。
求第二四分位数$Q_2$：数据总个数为偶数，中间为第5个和第6个数据，分别为12、12，因此$Q_2=\frac{12+12}{2}=12$。
求第一四分位数$Q_1$：取排序后的前半部分数据$3,5,6,8,12$，共5个数据，该组的中位数为第3个数据6，因此$Q_1=6$。
求第三四分位数$Q_3$：取排序后的后半部分数据$12,14,16,20,21$，共5个数据，该组的中位数为第3个数据16，因此$Q_3=16$。
(2) 绘制箱线图首先确定5个关键值：最小值为3，最大值为21，$Q_1=6$，$Q_2=12$，$Q_3=16$，对应左侧纵轴刻度依次绘制即可。
【答案】
(1) 第一四分位数是6，第二四分位数是12，第三四分位数是16。
(2)
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，数据整理
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查四分位数的计算方法和箱线图的绘制步骤，解题核心是先对数据进行正确排序，再准确找到对应位置的数值得到各分位数，绘制箱线图时要注意五个关键数值与刻度对应准确。
【难度系数】
0.7
解题分两部分思考：
1. 求四分位数：首先要先把原始数据从小到大排序，第二四分位数就是这组数据的中位数，若数据总个数为偶数，取中间两个数的平均值；再将排序后的数据分为前后两半，前半部分的中位数就是第一四分位数$Q_1$，后半部分的中位数就是第三四分位数$Q_3$。
2. 绘制箱线图：需要先确定五个关键数值：最小值、第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数、最大值，再对应给出的纵轴刻度依次绘制线段和矩形即可。
【解析】
(1) 首先将所给数据从小到大排列：$3,5,6,8,12,12,14,16,20,21$，共10个数据。
求第二四分位数$Q_2$：数据总个数为偶数，中间为第5个和第6个数据，分别为12、12，因此$Q_2=\frac{12+12}{2}=12$。
求第一四分位数$Q_1$：取排序后的前半部分数据$3,5,6,8,12$，共5个数据，该组的中位数为第3个数据6，因此$Q_1=6$。
求第三四分位数$Q_3$：取排序后的后半部分数据$12,14,16,20,21$，共5个数据，该组的中位数为第3个数据16，因此$Q_3=16$。
(2) 绘制箱线图首先确定5个关键值：最小值为3，最大值为21，$Q_1=6$，$Q_2=12$，$Q_3=16$，对应左侧纵轴刻度依次绘制即可。
【答案】
(1) 第一四分位数是6，第二四分位数是12，第三四分位数是16。
(2)
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，数据整理
【点评】
本题属于统计基础题型，重点考查四分位数的计算方法和箱线图的绘制步骤，解题核心是先对数据进行正确排序，再准确找到对应位置的数值得到各分位数，绘制箱线图时要注意五个关键数值与刻度对应准确。
【难度系数】
0.7
12. 某景区管理处为了解景区的服务质量,现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分,评分结果用x(单位:分)表示,将全部评分结果按以下五组进行整理,并绘制统计表,部分信息如下:
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)$a=$
(2)若游客评分的平均数不低于75分,则认定该景区的服务质量良好.分别用50,60,70,80,90作为A,B,C,D,E这五组评分的平均数,估计该景区5月份的服务质量是否良好,并说明理由.
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)$a=$
19
;这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D
组.(2)若游客评分的平均数不低于75分,则认定该景区的服务质量良好.分别用50,60,70,80,90作为A,B,C,D,E这五组评分的平均数,估计该景区5月份的服务质量是否良好,并说明理由.
答案
12. (1)19 D (2)由题意知,游客评分的平均数为$\frac{50×3+60×3+70×15+80×19+90×10}{50}=76$(分). 因为 76＞75,所以该景区 5 月份的服务质量良好.
解析
【分析】
(1) 求a的值时，利用抽取的总人数为50，减去其余四组的人数即可得到结果；求中位数所在组时，中位数是将50个数据从小到大排列后第25、26个数据的平均数，因此计算各组累计人数，判断第25、26个数据落在哪个组即可。(2) 要判断服务质量是否良好，需计算这50名游客评分的加权平均数，用每组的组中值乘以对应组的人数，求和后除以总人数得到平均数，再和75分比较大小即可。
【解析】
(1) 因为总共抽取了50人参与评分，因此：
$a = 50 - 3 - 3 - 15 - 10 = 19$
将50个评分从小到大排列，中位数为第25、26个数据的平均数。计算各组累计人数：A组共3人，B组累计$3+3=6$人，C组累计$6+15=21$人，D组累计$21+19=40$人，因此第25、26个数据都落在D组，即中位数落在D组。
(2) 计算50名游客评分的加权平均数：
$\overline{x} = \frac{50×3 + 60×3 + 70×15 + 80×19 + 90×10}{50} = \frac{150+180+1050+1520+900}{50} = \frac{3800}{50} = 76 \mathrm{（分）}$
因为$76＞75$，符合“平均数不低于75分则服务质量良好”的认定标准，因此估计该景区5月份的服务质量良好。
【答案】
(1) $19$；$D$
(2) 该景区5月份的服务质量良好，理由如上。
【知识点】
频数分布表，中位数，加权平均数
【点评】
本题结合实际服务质量评分场景，考查数据统计的基础应用，需要熟练掌握频数的计算、中位数的判断方法以及加权平均数的计算规则，解题时注意累计频数的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值时，利用抽取的总人数为50，减去其余四组的人数即可得到结果；求中位数所在组时，中位数是将50个数据从小到大排列后第25、26个数据的平均数，因此计算各组累计人数，判断第25、26个数据落在哪个组即可。(2) 要判断服务质量是否良好，需计算这50名游客评分的加权平均数，用每组的组中值乘以对应组的人数，求和后除以总人数得到平均数，再和75分比较大小即可。
【解析】
(1) 因为总共抽取了50人参与评分，因此：
$a = 50 - 3 - 3 - 15 - 10 = 19$
将50个评分从小到大排列，中位数为第25、26个数据的平均数。计算各组累计人数：A组共3人，B组累计$3+3=6$人，C组累计$6+15=21$人，D组累计$21+19=40$人，因此第25、26个数据都落在D组，即中位数落在D组。
(2) 计算50名游客评分的加权平均数：
$\overline{x} = \frac{50×3 + 60×3 + 70×15 + 80×19 + 90×10}{50} = \frac{150+180+1050+1520+900}{50} = \frac{3800}{50} = 76 \mathrm{（分）}$
因为$76＞75$，符合“平均数不低于75分则服务质量良好”的认定标准，因此估计该景区5月份的服务质量良好。
【答案】
(1) $19$；$D$
(2) 该景区5月份的服务质量良好，理由如上。
【知识点】
频数分布表，中位数，加权平均数
【点评】
本题结合实际服务质量评分场景，考查数据统计的基础应用，需要熟练掌握频数的计算、中位数的判断方法以及加权平均数的计算规则，解题时注意累计频数的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
