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综合练习（二）
一、选择题
1. 某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95,92,96,94,95,88,95. 这组数据的中位数、众数分别是 （
A.92,94
B.95,95
C.94,95
D.95,96
一、选择题
1. 某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95,92,96,94,95,88,95. 这组数据的中位数、众数分别是 （
B
）A.92,94
B.95,95
C.94,95
D.95,96
答案
1. B
解析
【分析】
要确定这组数据的中位数和众数，需按照二者的定义分步求解：①求中位数要先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，数据个数为奇数时，最中间的数就是中位数；②求众数只需统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数即为众数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先将7位评委给出的分数按从小到大的顺序排列：88，92，94，95，95，95，96。
一共有7个数据，为奇数个，中位数是排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即95。
统计各数据出现的次数：88出现1次，92出现1次，94出现1次，95出现3次，96出现1次，出现次数最多的是95，因此众数是95。
综上，这组数据的中位数是95，众数是95，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数；众数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记中位数求解前必须先对数据排序，避免直接取原数据中间的数导致出错。
【难度系数】
0.8
要确定这组数据的中位数和众数，需按照二者的定义分步求解：①求中位数要先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，数据个数为奇数时，最中间的数就是中位数；②求众数只需统计每个数据出现的次数，出现次数最多的数即为众数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先将7位评委给出的分数按从小到大的顺序排列：88，92，94，95，95，95，96。
一共有7个数据，为奇数个，中位数是排序后第$\frac{7+1}{2}=4$个数据，即95。
统计各数据出现的次数：88出现1次，92出现1次，94出现1次，95出现3次，96出现1次，出现次数最多的是95，因此众数是95。
综上，这组数据的中位数是95，众数是95，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数；众数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记中位数求解前必须先对数据排序，避免直接取原数据中间的数导致出错。
【难度系数】
0.8
2. 某公司共有 51 名员工（包括经理）,经理的工资高于其他员工的工资.今年经理的工资从去年的 200 000 元增加到 225 000 元,而其他员工的工资同去年一样.这样,这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会 （
A.平均数和中位数不变
B.平均数增加,中位数不变
C.平均数不变,中位数增加
D.平均数和中位数都增加
B
）A.平均数和中位数不变
B.平均数增加,中位数不变
C.平均数不变,中位数增加
D.平均数和中位数都增加
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先分别回忆平均数和中位数的定义，再分别判断两者的变化情况：①判断平均数：平均数是所有数据之和除以数据总个数，本题中员工总人数不变，仅经理工资上涨，其余员工工资不变，因此工资总和增加，可推出平均数增加；②判断中位数：51个数据的中位数是将所有数据从小到大排序后位于第26位的数，由于经理工资始终高于其他员工，排序时经理永远位于最后一位，其余员工工资和排序都未发生变化，因此第26位的数值和去年一致，中位数不变。
【解析】
1. 分析平均数的变化：
设其他50名员工的工资总和为$ S $，员工总人数始终为51人。
去年所有员工总工资：$ S + 200000 $，去年平均数为$ \frac{S + 200000}{51} $；
今年所有员工总工资：$ S + 225000 $，今年平均数为$ \frac{S + 225000}{51} $；
显然$ \frac{S + 225000}{51} ＞ \frac{S + 200000}{51} $，因此平均数增加。
2. 分析中位数的变化：
将51名员工的工资按从小到大排序，中位数为第26个数据。由于经理工资始终高于其他所有员工，因此排序后经理工资固定在第51位，前50位均为其他员工，工资和排序均未改变，因此第26个数据和去年完全相同，中位数不变。
综上，平均数增加，中位数不变，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，中位数的定义
【点评】
本题重点考查对平均数和中位数两个统计量概念的理解，解题关键是明确中位数仅和排序后中间位置的数值有关，而平均数会受所有数据（尤其是极端值）变化的影响，只要掌握两个统计量的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先分别回忆平均数和中位数的定义，再分别判断两者的变化情况：①判断平均数：平均数是所有数据之和除以数据总个数，本题中员工总人数不变，仅经理工资上涨，其余员工工资不变，因此工资总和增加，可推出平均数增加；②判断中位数：51个数据的中位数是将所有数据从小到大排序后位于第26位的数，由于经理工资始终高于其他员工，排序时经理永远位于最后一位，其余员工工资和排序都未发生变化，因此第26位的数值和去年一致，中位数不变。
【解析】
1. 分析平均数的变化：
设其他50名员工的工资总和为$ S $，员工总人数始终为51人。
去年所有员工总工资：$ S + 200000 $，去年平均数为$ \frac{S + 200000}{51} $；
今年所有员工总工资：$ S + 225000 $，今年平均数为$ \frac{S + 225000}{51} $；
显然$ \frac{S + 225000}{51} ＞ \frac{S + 200000}{51} $，因此平均数增加。
2. 分析中位数的变化：
将51名员工的工资按从小到大排序，中位数为第26个数据。由于经理工资始终高于其他所有员工，因此排序后经理工资固定在第51位，前50位均为其他员工，工资和排序均未改变，因此第26个数据和去年完全相同，中位数不变。
综上，平均数增加，中位数不变，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，中位数的定义
【点评】
本题重点考查对平均数和中位数两个统计量概念的理解，解题关键是明确中位数仅和排序后中间位置的数值有关，而平均数会受所有数据（尤其是极端值）变化的影响，只要掌握两个统计量的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 已知一组数据 13,22,22,2●,31,62,其中第四个两位数的个位数字被墨水污染了.关于这组数据,下列统计量的计算结果与被污染数字无关的是（
A.平均数
B.方差
C.中位数
D.众数
D
）A.平均数
B.方差
C.中位数
D.众数
答案
3. D
解析
【分析】
我们可以先设被污染的个位数字为x（x为0~9的整数），第四个数据就是20+x，再结合平均数、方差、中位数、众数的定义，逐一判断各统计量的计算是否受x取值的影响：首先平均数和方差都和数据总和相关，总和含x，因此二者都会随x变化；其次6个数据的中位数是排序后第3、4个数的平均值，当x≥2时第4个数是20+x，中位数会随x变化；最后看众数，已知22已经出现2次，其余数都仅出现1次，不管x取什么值，22都是出现次数最多的数，因此众数和被污染数字无关。
【解析】
解：设被污染的个位数字为x（x是0~9的整数），第四个数据为20+x，逐一分析选项：
A. 平均数：数据总和为$13+22+22+(20+x)+31+62=170+x$，平均数为$\frac{170+x}{6}$，x变化时平均数也会变化，与被污染数字有关，不符合要求；
B. 方差：方差计算需要用到平均数，平均数随x变化，因此方差也会随x变化，与被污染数字有关，不符合要求；
C. 中位数：6个数据排序后，中位数是第3、4个数据的平均数。当$x＜2$时，排序为$13,20+x,22,22,31,62$，中位数为$\frac{22+22}{2}=22$；当$x≥2$时，排序为$13,22,22,20+x,31,62$，中位数为$\frac{22+20+x}{2}=\frac{42+x}{2}$，x变化时中位数可能变化，与被污染数字有关，不符合要求；
D. 众数：已知数据中22已经出现2次，其余数据均只出现1次。若$x=2$，22出现3次，众数还是22；若$x≠2$，第四个数据仅出现1次，22仍是出现次数最多的数，众数还是22。因此众数始终为22，与被污染数字无关，符合要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
统计量的概念、中位数、众数
【点评】
本题考查对常见统计量定义的理解，解题核心是熟练掌握各统计量的计算规则，结合被污染数据的取值范围逐一排除不符合要求的选项即可。
【难度系数】
0.8
我们可以先设被污染的个位数字为x（x为0~9的整数），第四个数据就是20+x，再结合平均数、方差、中位数、众数的定义，逐一判断各统计量的计算是否受x取值的影响：首先平均数和方差都和数据总和相关，总和含x，因此二者都会随x变化；其次6个数据的中位数是排序后第3、4个数的平均值，当x≥2时第4个数是20+x，中位数会随x变化；最后看众数，已知22已经出现2次，其余数都仅出现1次，不管x取什么值，22都是出现次数最多的数，因此众数和被污染数字无关。
【解析】
解：设被污染的个位数字为x（x是0~9的整数），第四个数据为20+x，逐一分析选项：
A. 平均数：数据总和为$13+22+22+(20+x)+31+62=170+x$，平均数为$\frac{170+x}{6}$，x变化时平均数也会变化，与被污染数字有关，不符合要求；
B. 方差：方差计算需要用到平均数，平均数随x变化，因此方差也会随x变化，与被污染数字有关，不符合要求；
C. 中位数：6个数据排序后，中位数是第3、4个数据的平均数。当$x＜2$时，排序为$13,20+x,22,22,31,62$，中位数为$\frac{22+22}{2}=22$；当$x≥2$时，排序为$13,22,22,20+x,31,62$，中位数为$\frac{22+20+x}{2}=\frac{42+x}{2}$，x变化时中位数可能变化，与被污染数字有关，不符合要求；
D. 众数：已知数据中22已经出现2次，其余数据均只出现1次。若$x=2$，22出现3次，众数还是22；若$x≠2$，第四个数据仅出现1次，22仍是出现次数最多的数，众数还是22。因此众数始终为22，与被污染数字无关，符合要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
统计量的概念、中位数、众数
【点评】
本题考查对常见统计量定义的理解，解题核心是熟练掌握各统计量的计算规则，结合被污染数据的取值范围逐一排除不符合要求的选项即可。
【难度系数】
0.8
4. 吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：$s^2=\frac{1}{n}[(9-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2]$。根据算式，下列结论判断错误的是（
A.$n=5$
B.平均数为8
C.众数是9
D.若添加一个数8后，方差变小
C
）A.$n=5$
B.平均数为8
C.众数是9
D.若添加一个数8后，方差变小
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是样本平均数。第一步先从给出的方差算式中提取$n$和平均数$\overline{x}$，第二步还原出原始数据，再分别计算众数、判断添加数据后的方差变化，逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
根据方差公式，观察给定的算式逐一分析选项：
1. 算式中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A选项结论正确；
2. 每个平方项中减去的数为8，因此这组数据的平均数$\overline{x}=8$，B选项结论正确；
3. 还原原始数据为：9、7、9、7、8，其中7和9都出现了2次，出现次数最多，因此这组数据的众数是7和9，不是只有9，C选项结论错误；
4. 计算原方差：分子部分为$(9-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2=1+1+1+1+0=4$，原方差$s^2=\frac{4}{5}=0.8$。添加一个数8后，平均数仍为8，新的方差为$s'^2=\frac{4 + (8-8)^2}{6}=\frac{4}{6}\approx0.67＜0.8$，方差变小，D选项结论正确。
综上，判断错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方差计算公式，众数的定义，方差的性质
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查数据的分析相关基础概念的掌握情况，需要结合方差公式反推原始数据后逐一验证结论，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是样本平均数。第一步先从给出的方差算式中提取$n$和平均数$\overline{x}$，第二步还原出原始数据，再分别计算众数、判断添加数据后的方差变化，逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
根据方差公式，观察给定的算式逐一分析选项：
1. 算式中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A选项结论正确；
2. 每个平方项中减去的数为8，因此这组数据的平均数$\overline{x}=8$，B选项结论正确；
3. 还原原始数据为：9、7、9、7、8，其中7和9都出现了2次，出现次数最多，因此这组数据的众数是7和9，不是只有9，C选项结论错误；
4. 计算原方差：分子部分为$(9-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2=1+1+1+1+0=4$，原方差$s^2=\frac{4}{5}=0.8$。添加一个数8后，平均数仍为8，新的方差为$s'^2=\frac{4 + (8-8)^2}{6}=\frac{4}{6}\approx0.67＜0.8$，方差变小，D选项结论正确。
综上，判断错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方差计算公式，众数的定义，方差的性质
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查数据的分析相关基础概念的掌握情况，需要结合方差公式反推原始数据后逐一验证结论，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 在某场女排决赛中,甲、乙两队队员的拦网高度情况如图24-12所示,下列说法错误的是 (
图24-12
A.甲队整体水平高于乙队
B.甲队队员的平均拦网高度低于乙队
C.乙队队员拦网高度较为集中
D.乙队队员的拦网高度的第三四分位数是 305 cm
A
)图24-12
A.甲队整体水平高于乙队
B.甲队队员的平均拦网高度低于乙队
C.乙队队员拦网高度较为集中
D.乙队队员的拦网高度的第三四分位数是 305 cm
答案
5. A
解析
【分析】
首先明确箱线图的各部分含义：箱线图中，箱体中间的横线是数据的中位数（代表数据的中等水平），箱体的上下两条边分别是第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数），箱体上下延伸的竖线端点分别是数据的最大值和最小值；箱体越窄说明数据越集中，中位数越高说明整体水平越高。我们可以结合这些特征逐一分析每个选项：对比两队的中位数、整体分布判断A、B选项，对比箱体宽度判断C选项，读取乙队箱体上边的数值判断D选项。
【解析】
结合箱线图的信息逐一分析选项：
1. 对比两队整体水平：甲队拦网高度的中位数为295cm，乙队的中位数高于295cm，且乙队拦网高度的整体分布比甲队偏高，因此乙队整体水平更高，甲队平均拦网高度低于乙队，故A说法错误，B说法正确。
2. 对比数据集中程度：乙队的箱体宽度更窄，说明乙队队员拦网高度的波动更小，数据更为集中，故C说法正确。
3. 读取第三四分位数：箱线图中箱体的上边对应第三四分位数，乙队箱体的上边对应数值为305cm，即乙队队员拦网高度的第三四分位数是305cm，故D说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
箱线图的识别，数据的集中趋势，数据的离散程度
【点评】
本题主要考查箱线图的实际应用，解题关键是掌握箱线图各部分所代表的统计意义，能够通过图形判断数据的整体水平、集中程度等特征，属于统计类基础题型。
【难度系数】
0.7
首先明确箱线图的各部分含义：箱线图中，箱体中间的横线是数据的中位数（代表数据的中等水平），箱体的上下两条边分别是第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数），箱体上下延伸的竖线端点分别是数据的最大值和最小值；箱体越窄说明数据越集中，中位数越高说明整体水平越高。我们可以结合这些特征逐一分析每个选项：对比两队的中位数、整体分布判断A、B选项，对比箱体宽度判断C选项，读取乙队箱体上边的数值判断D选项。
【解析】
结合箱线图的信息逐一分析选项：
1. 对比两队整体水平：甲队拦网高度的中位数为295cm，乙队的中位数高于295cm，且乙队拦网高度的整体分布比甲队偏高，因此乙队整体水平更高，甲队平均拦网高度低于乙队，故A说法错误，B说法正确。
2. 对比数据集中程度：乙队的箱体宽度更窄，说明乙队队员拦网高度的波动更小，数据更为集中，故C说法正确。
3. 读取第三四分位数：箱线图中箱体的上边对应第三四分位数，乙队箱体的上边对应数值为305cm，即乙队队员拦网高度的第三四分位数是305cm，故D说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
箱线图的识别，数据的集中趋势，数据的离散程度
【点评】
本题主要考查箱线图的实际应用，解题关键是掌握箱线图各部分所代表的统计意义，能够通过图形判断数据的整体水平、集中程度等特征，属于统计类基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度(单位:km/h),分别是:66,57,71,69,58. 那么这组数据的中位数是
66
.答案
6. 66
解析
【分析】
要解决这道求中位数的题目，首先回忆中位数的求解逻辑：第一步先把所有给定数据按照从小到大或者从大到小的顺序排列；第二步判断数据总个数的奇偶性，若个数为奇数，排在正中间的数就是中位数，若个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。本题共有5个数据，属于奇数个，排序后找到中间位置的数即可得到结果。
【解析】
首先将这组数据从小到大进行排列：57，58，66，69，71。
该组数据总个数为5，是奇数，因此中位数为排序后第3个位置的数，即66。
【答案】
66
【知识点】
中位数的计算；数据的排序
【点评】
本题是基础类题目，核心考查中位数的求解方法，解题的关键是先对数据做有序排列，再结合数据个数的奇偶性确定中位数，注意不要直接对未排序的原数据取中间值，避免出现错误。
【难度系数】
0.85
要解决这道求中位数的题目，首先回忆中位数的求解逻辑：第一步先把所有给定数据按照从小到大或者从大到小的顺序排列；第二步判断数据总个数的奇偶性，若个数为奇数，排在正中间的数就是中位数，若个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。本题共有5个数据，属于奇数个，排序后找到中间位置的数即可得到结果。
【解析】
首先将这组数据从小到大进行排列：57，58，66，69，71。
该组数据总个数为5，是奇数，因此中位数为排序后第3个位置的数，即66。
【答案】
66
【知识点】
中位数的计算；数据的排序
【点评】
本题是基础类题目，核心考查中位数的求解方法，解题的关键是先对数据做有序排列，再结合数据个数的奇偶性确定中位数，注意不要直接对未排序的原数据取中间值，避免出现错误。
【难度系数】
0.85
7. 某校生物学小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽粒数分别为：89,73,90,86,75,86,89,95,89. 以上数据的众数为
89
。答案
7. 89
解析
【分析】
首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。因此本题的解题思路为：先统计每个发芽粒数在给定数据组中出现的次数，再找到出现次数最多的数值，即为所求的众数。
【解析】
给定数据为：89,73,90,86,75,86,89,95,89，统计各数据的出现次数：
73出现1次，75出现1次，86出现2次，89出现3次，90出现1次，95出现1次
其中89的出现次数最多，共3次，因此这组数据的众数为89。
【答案】
89
【知识点】
众数的定义，频数统计
【点评】
本题是基础题型，核心考查对众数概念的理解，解题时只需准确统计各数据的出现次数即可得到答案，注意统计次数时避免漏数、多数。
【难度系数】
0.9
首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。因此本题的解题思路为：先统计每个发芽粒数在给定数据组中出现的次数，再找到出现次数最多的数值，即为所求的众数。
【解析】
给定数据为：89,73,90,86,75,86,89,95,89，统计各数据的出现次数：
73出现1次，75出现1次，86出现2次，89出现3次，90出现1次，95出现1次
其中89的出现次数最多，共3次，因此这组数据的众数为89。
【答案】
89
【知识点】
众数的定义，频数统计
【点评】
本题是基础题型，核心考查对众数概念的理解，解题时只需准确统计各数据的出现次数即可得到答案，注意统计次数时避免漏数、多数。
【难度系数】
0.9
