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8. 学校食堂有15元、18元、20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天盒饭销售情况如图24-13所示,则当天学生购买盒饭费用的平均数是
17
元.答案
8. 17
解析
【分析】
本题是加权平均数的应用问题，解题思路如下：首先扇形统计图的总占比为100%，我们先通过总占比减去已知的15元、18元盒饭的销售占比，求出20元盒饭的销售占比（即对应权重）；再根据加权平均数的计算规则，将每种盒饭的价格乘以对应的销售占比后求和，即可得到购买盒饭费用的平均数。
【解析】
首先计算20元盒饭的销售占比：
$1-50\%-40\%=10\%$
再根据加权平均数公式计算平均费用：
$15×40\% + 18×50\% + 20×10\%$
$=15×0.4 + 18×0.5 + 20×0.1$
$=6+9+2$
$=17$（元）
【答案】
17
【知识点】
加权平均数计算，扇形统计图应用
【点评】
本题属于基础题，结合扇形统计图的特点考查加权平均数的计算，只要明确各价格对应的权重，掌握加权平均数的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是加权平均数的应用问题，解题思路如下：首先扇形统计图的总占比为100%，我们先通过总占比减去已知的15元、18元盒饭的销售占比，求出20元盒饭的销售占比（即对应权重）；再根据加权平均数的计算规则，将每种盒饭的价格乘以对应的销售占比后求和，即可得到购买盒饭费用的平均数。
【解析】
首先计算20元盒饭的销售占比：
$1-50\%-40\%=10\%$
再根据加权平均数公式计算平均费用：
$15×40\% + 18×50\% + 20×10\%$
$=15×0.4 + 18×0.5 + 20×0.1$
$=6+9+2$
$=17$（元）
【答案】
17
【知识点】
加权平均数计算，扇形统计图应用
【点评】
本题属于基础题，结合扇形统计图的特点考查加权平均数的计算，只要明确各价格对应的权重，掌握加权平均数的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9. 眼睛是心灵的窗户,为保护学生视力,某中学每学期给学生检测视力,下表是该校某班39名学生右眼视力的检测结果,这组视力数据的中位数是
4.6
.答案
9. 4. 6
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确中位数的定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为奇数，中间位置的数就是这组数据的中位数；若为偶数，中间两个数的平均数是中位数。本题总共有39个视力数据，是奇数个，因此中位数是排序后第(39+1)÷2=20个数据。接下来我们只需要按视力从小到大的顺序累计人数，找到第20个数据对应的视力值即可。
【解析】
首先验证总人数：1+2+6+3+3+4+1+2+5+7+5=39，和题目给出的总人数一致。
39为奇数，因此这组数据的中位数是从小到大排列后的第20个数据。
按视力从小到大累计人数：
视力4.0对应1人，累计1人；
视力4.1对应2人，累计1+2=3人；
视力4.2对应6人，累计3+6=9人；
视力4.3对应3人，累计9+3=12人；
视力4.4对应3人，累计12+3=15人；
视力4.5对应4人，累计15+4=19人；
视力4.6对应1人，累计19+1=20人。
因此第20个数据对应的视力是4.6，即中位数为4.6。
【答案】
4.6
【知识点】
中位数的计算，频数统计表的应用
【点评】
本题属于基础统计题，核心是对中位数概念的掌握，解题时需要准确计算累计人数，找到中位数对应的排序位置，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确中位数的定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为奇数，中间位置的数就是这组数据的中位数；若为偶数，中间两个数的平均数是中位数。本题总共有39个视力数据，是奇数个，因此中位数是排序后第(39+1)÷2=20个数据。接下来我们只需要按视力从小到大的顺序累计人数，找到第20个数据对应的视力值即可。
【解析】
首先验证总人数：1+2+6+3+3+4+1+2+5+7+5=39，和题目给出的总人数一致。
39为奇数，因此这组数据的中位数是从小到大排列后的第20个数据。
按视力从小到大累计人数：
视力4.0对应1人，累计1人；
视力4.1对应2人，累计1+2=3人；
视力4.2对应6人，累计3+6=9人；
视力4.3对应3人，累计9+3=12人；
视力4.4对应3人，累计12+3=15人；
视力4.5对应4人，累计15+4=19人；
视力4.6对应1人，累计19+1=20人。
因此第20个数据对应的视力是4.6，即中位数为4.6。
【答案】
4.6
【知识点】
中位数的计算，频数统计表的应用
【点评】
本题属于基础统计题，核心是对中位数概念的掌握，解题时需要准确计算累计人数，找到中位数对应的排序位置，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
10. 把5个数据-1,3,1,5,4分成$\{-1,1\}$和$\{3,4,5\}$两组,则这种分组情况的组内离差平方和为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10. 4
解析
【分析】
要计算分组后的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：先分别求出每组数据的平均数，再计算每组内各数据与本组平均数的差的平方和（即每组的离差平方和），最后将两个组的离差平方和相加，就得到总的组内离差平方和。
【解析】
第一步：计算第一组$\{-1,1\}$的离差平方和
先求该组平均数：$\bar{x}_1=\frac{-1+1}{2}=0$
该组离差平方和：$S_1^2=(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$
第二步：计算第二组$\{3,4,5\}$的离差平方和
先求该组平均数：$\bar{x}_2=\frac{3+4+5}{3}=4$
该组离差平方和：$S_2^2=(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2$
第三步：计算总组内离差平方和
总离差平方和$=S_1^2+S_2^2=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基础计算，核心是理解离差平方和的含义，掌握平均数的计算方法，计算过程较为简单，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要计算分组后的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：先分别求出每组数据的平均数，再计算每组内各数据与本组平均数的差的平方和（即每组的离差平方和），最后将两个组的离差平方和相加，就得到总的组内离差平方和。
【解析】
第一步：计算第一组$\{-1,1\}$的离差平方和
先求该组平均数：$\bar{x}_1=\frac{-1+1}{2}=0$
该组离差平方和：$S_1^2=(-1-0)^2+(1-0)^2=1+1=2$
第二步：计算第二组$\{3,4,5\}$的离差平方和
先求该组平均数：$\bar{x}_2=\frac{3+4+5}{3}=4$
该组离差平方和：$S_2^2=(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+1=2$
第三步：计算总组内离差平方和
总离差平方和$=S_1^2+S_2^2=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题考查组内离差平方和的基础计算，核心是理解离差平方和的含义，掌握平均数的计算方法，计算过程较为简单，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩(单位:环)统计如下：
(1)根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是
(2)求甲、乙测试成绩的方差.
(3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适？请说明理由.
11. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩(单位:环)统计如下：
(1)根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是
8
环，乙的平均成绩是8
环；甲成绩的中位数是8
环，乙成绩的众数是10
环.(2)求甲、乙测试成绩的方差.
(3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适？请说明理由.
答案
11. (1)8 8 8 10 (2)$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=2$,$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+2×(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{11}{3}$. (3)推荐甲参加全省比赛更合适. 理由如下:因为两人的平均数相同,但甲的方差比乙小,即甲比乙更稳定,所以推荐甲参加全省比赛更合适.
解析
【分析】
解决本题需逐步结合各统计量的定义求解：(1)求平均成绩只需将6次成绩总和除以6；求中位数要先把成绩从小到大排序，因数据个数为偶数，取中间两个数的平均数即可；众数是数据中出现次数最多的数。(2)求方差直接套用方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入对应数据计算。(3)平均成绩相同时，方差越小说明成绩越稳定，以此为依据判断参赛人选即可。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+9+7+9+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）；
计算乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{5+8+9+10+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）；
将甲的成绩从小到大排序：6,7,7,9,9,10，中位数为中间两个数的平均数：$\frac{7+9}{2}=8$（环）；
乙的成绩中10出现的次数最多，共2次，故乙成绩的众数是10环。
(2) 根据方差公式计算：
$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(2+2+4+4)=2$；
$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2×2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(9+0+1+8+4)=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$。
(3) 推荐甲参加全省比赛更合适。理由：甲、乙两人的平均成绩相同，说明两人平均水平相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此推荐甲参赛。
【答案】
(1)8；8；8；10
(2)$s^2_甲=2$，$s^2_乙=\frac{11}{3}$
(3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由：两人平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数计算；中位数与众数；方差
【点评】
本题围绕数据的分析设置问题，侧重考查常见统计量的计算方法及实际应用，需要学生准确掌握各统计量的定义，理解方差反映数据波动程度的意义，能够结合数据特征做出合理决策。
【难度系数】
0.7
解决本题需逐步结合各统计量的定义求解：(1)求平均成绩只需将6次成绩总和除以6；求中位数要先把成绩从小到大排序，因数据个数为偶数，取中间两个数的平均数即可；众数是数据中出现次数最多的数。(2)求方差直接套用方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入对应数据计算。(3)平均成绩相同时，方差越小说明成绩越稳定，以此为依据判断参赛人选即可。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+9+7+9+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）；
计算乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{5+8+9+10+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）；
将甲的成绩从小到大排序：6,7,7,9,9,10，中位数为中间两个数的平均数：$\frac{7+9}{2}=8$（环）；
乙的成绩中10出现的次数最多，共2次，故乙成绩的众数是10环。
(2) 根据方差公式计算：
$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(2+2+4+4)=2$；
$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2×2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(9+0+1+8+4)=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$。
(3) 推荐甲参加全省比赛更合适。理由：甲、乙两人的平均成绩相同，说明两人平均水平相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此推荐甲参赛。
【答案】
(1)8；8；8；10
(2)$s^2_甲=2$，$s^2_乙=\frac{11}{3}$
(3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由：两人平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数计算；中位数与众数；方差
【点评】
本题围绕数据的分析设置问题，侧重考查常见统计量的计算方法及实际应用，需要学生准确掌握各统计量的定义，理解方差反映数据波动程度的意义，能够结合数据特征做出合理决策。
【难度系数】
0.7
12. 为了以赛促练,强健体魄,八年级(1)班组织了一场1 min跳绳比赛.参赛学生被分为甲、乙两组,每组10人同台竞技.赛后,对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析,部分信息如下:
a. 两组成绩(单位:次)统计:
甲组:144,132,136,162,132,136,144,115,123,144;
乙组:125,138,149,128,138,134,128,133,146,148.
甲、乙两组数据的四分位数如下表:
请根据以上信息完成下列问题:
(1)求表中m,n的值.
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图,图中A,B哪个反映的是甲组的成绩?
(3)请你根据图24-14中的箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两组成绩的看法.
a. 两组成绩(单位:次)统计:
甲组:144,132,136,162,132,136,144,115,123,144;
乙组:125,138,149,128,138,134,128,133,146,148.
甲、乙两组数据的四分位数如下表:
请根据以上信息完成下列问题:
(1)求表中m,n的值.
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图,图中A,B哪个反映的是甲组的成绩?
(3)请你根据图24-14中的箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两组成绩的看法.
答案
12. (1)将乙组的数据从小到大排列为 125,128,128,133,134,138,138,146,148,149,所以$m=128$,$n=\frac{134+138}{2}=136$. (2)甲组的第一四分位数$Q_1=132$,第二四分位数$Q_2=136$,第三四分位数$Q_3=144$,而图中左边的箱线图(标记为 A)的箱子下边缘在 132、中位数在 136、上边缘在 144,并且其整体范围从约 115 到 162,与甲组数据对应,因此 A 代表甲组的成绩. (3)根据箱线图,可知甲组成绩比较分散,乙组成绩比较集中,所以甲组测试成绩的方差更大. (答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 求四分位数的核心步骤是先将数据从小到大排序，再按分位规则计算对应数值：10个数据的下四分位数对应25%分位，中位数对应50%分位，先排序乙组数据再按规则计算即可得到m、n的值。
(2) 箱线图的五个特征点分别对应数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，先计算甲组的五个特征值，再和A、B箱线图的特征点匹配，即可判断哪个是甲组的箱线图。
(3) 箱线图可以直观反映数据的离散程度：箱体越宽、整体数据范围越大，说明数据越分散、波动越大，结合两组箱线图的特征描述即可。
【解析】
(1) 将乙组成绩从小到大排列：125，128，128，133，134，138，138，146，148，149。
共10个数据，下四分位数对应第25%分位，取第3个数据，因此$m=128$；
中位数是第5个和第6个数据的平均数，因此$n=\frac{134+138}{2}=136$。
(2) 将甲组成绩从小到大排列：115，123，132，132，136，136，144，144，144，162，计算得甲组最小值为115，下四分位数为132，中位数为136，上四分位数为144，最大值为162，和A箱线图的特征值完全匹配，因此A反映甲组的成绩。
(3) 从箱线图可以看出，甲组的成绩范围更广、箱体更宽，说明甲组成绩更分散，波动更大；乙组的成绩范围更小、箱体更窄，说明乙组成绩更集中，发挥更稳定。（合理即可）
【答案】
(1) $m=128$，$n=136$；
(2) A反映的是甲组的成绩；
(3) 甲组成绩比较分散，方差更大，乙组成绩比较集中，发挥更稳定（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
四分位数计算，箱线图的应用，数据离散程度分析
【点评】
本题以跳绳比赛为实际背景，考查统计中数据整理与分析的相关知识，要求熟练掌握四分位数的计算方法，能读懂箱线图的含义，并结合统计结果对实际问题进行合理解读，是统计模块的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求四分位数的核心步骤是先将数据从小到大排序，再按分位规则计算对应数值：10个数据的下四分位数对应25%分位，中位数对应50%分位，先排序乙组数据再按规则计算即可得到m、n的值。
(2) 箱线图的五个特征点分别对应数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，先计算甲组的五个特征值，再和A、B箱线图的特征点匹配，即可判断哪个是甲组的箱线图。
(3) 箱线图可以直观反映数据的离散程度：箱体越宽、整体数据范围越大，说明数据越分散、波动越大，结合两组箱线图的特征描述即可。
【解析】
(1) 将乙组成绩从小到大排列：125，128，128，133，134，138，138，146，148，149。
共10个数据，下四分位数对应第25%分位，取第3个数据，因此$m=128$；
中位数是第5个和第6个数据的平均数，因此$n=\frac{134+138}{2}=136$。
(2) 将甲组成绩从小到大排列：115，123，132，132，136，136，144，144，144，162，计算得甲组最小值为115，下四分位数为132，中位数为136，上四分位数为144，最大值为162，和A箱线图的特征值完全匹配，因此A反映甲组的成绩。
(3) 从箱线图可以看出，甲组的成绩范围更广、箱体更宽，说明甲组成绩更分散，波动更大；乙组的成绩范围更小、箱体更窄，说明乙组成绩更集中，发挥更稳定。（合理即可）
【答案】
(1) $m=128$，$n=136$；
(2) A反映的是甲组的成绩；
(3) 甲组成绩比较分散，方差更大，乙组成绩比较集中，发挥更稳定（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
四分位数计算，箱线图的应用，数据离散程度分析
【点评】
本题以跳绳比赛为实际背景，考查统计中数据整理与分析的相关知识，要求熟练掌握四分位数的计算方法，能读懂箱线图的含义，并结合统计结果对实际问题进行合理解读，是统计模块的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
