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1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知$a=6,c=10$，则b为 （
A.8
B.10
C.12
D.18
A
）A.8
B.10
C.12
D.18
答案
1.A
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的边长计算，解题核心是运用勾股定理。首先明确直角三角形中斜边是最长边，本题已知一条直角边a和斜边c，要求另一条直角边b，我们可以先写出勾股定理的基本公式，再将公式变形为求直角边b的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形，符合勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$
∴ 变形可得$b = \sqrt{c^2 - a^2}$
将$a=6$，$c=10$代入得：
$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时需注意区分直角边和斜边，牢记勾股定理的公式变形，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
这道题考查直角三角形的边长计算，解题核心是运用勾股定理。首先明确直角三角形中斜边是最长边，本题已知一条直角边a和斜边c，要求另一条直角边b，我们可以先写出勾股定理的基本公式，再将公式变形为求直角边b的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形，符合勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$
∴ 变形可得$b = \sqrt{c^2 - a^2}$
将$a=6$，$c=10$代入得：
$b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时需注意区分直角边和斜边，牢记勾股定理的公式变形，代入数值计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
2. 如图所示,在平面直角坐标系中有$A(5,0)$和$B(0,4)$两个点,这两个点之间的距离为 （
A.9
B.$\sqrt{41}$
C.6
D.$2\sqrt{10}$
B
）A.9
B.$\sqrt{41}$
C.6
D.$2\sqrt{10}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题要求平面直角坐标系中A、B两点的距离，首先观察两点坐标可知，A在x轴上，B在y轴上，OA、OB分别为x轴、y轴上的线段，因此△AOB是直角三角形，直角顶点为原点O。我们可以先得到两条直角边OA、OB的长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度，即为A、B两点的距离。
【解析】
解：由点A(5,0)、B(0,4)可得：
OA的长度为5，OB的长度为4，
∵∠AOB=90°，即△AOB为直角三角形，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系坐标；两点间距离计算
【点评】
本题是基础类题型，核心是将坐标系中两点距离问题转化为直角三角形求斜边的问题，熟练掌握勾股定理的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求平面直角坐标系中A、B两点的距离，首先观察两点坐标可知，A在x轴上，B在y轴上，OA、OB分别为x轴、y轴上的线段，因此△AOB是直角三角形，直角顶点为原点O。我们可以先得到两条直角边OA、OB的长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度，即为A、B两点的距离。
【解析】
解：由点A(5,0)、B(0,4)可得：
OA的长度为5，OB的长度为4，
∵∠AOB=90°，即△AOB为直角三角形，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；平面直角坐标系坐标；两点间距离计算
【点评】
本题是基础类题型，核心是将坐标系中两点距离问题转化为直角三角形求斜边的问题，熟练掌握勾股定理的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 有下列各组数:①3,4,5;②$6^2,8^2,10^2$;③0.5,1.2,1.3;④$1,\sqrt{3},\sqrt{2}$. 其中勾股数有 (
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
A
)A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
3.A
解析
【分析】
要判断各组数是否为勾股数，首先明确勾股数的两个核心判定条件：一是三个数都必须是正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先根据第一个条件排除非正整数的组，再对剩余的组验证平方和关系即可得出结论。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$（$a,b,c$均为正整数，且$c$为三个数中的最大数）的三个数称为勾股数。我们逐个分析各组：
①3,4,5：三个数均为正整数，且$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股数条件，是勾股数。
②$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$：计算平方和得$36^2+64^2=1296+4096=5392$，而$100^2=10000$，$5392≠10000$，不满足条件，不是勾股数。
③0.5,1.2,1.3：三个数均为小数，不是正整数，直接排除，不是勾股数。
④$1,\sqrt{3},\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$是无理数，不是正整数，直接排除，不是勾股数。
综上，只有①是勾股数，共1组。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础概念题，解题的易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和是否相等导致错选。解题时先判断数字类型是否符合要求，再验证平方和关系，可有效提高正确率。
【难度系数】
0.7
要判断各组数是否为勾股数，首先明确勾股数的两个核心判定条件：一是三个数都必须是正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先根据第一个条件排除非正整数的组，再对剩余的组验证平方和关系即可得出结论。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$（$a,b,c$均为正整数，且$c$为三个数中的最大数）的三个数称为勾股数。我们逐个分析各组：
①3,4,5：三个数均为正整数，且$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股数条件，是勾股数。
②$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$：计算平方和得$36^2+64^2=1296+4096=5392$，而$100^2=10000$，$5392≠10000$，不满足条件，不是勾股数。
③0.5,1.2,1.3：三个数均为小数，不是正整数，直接排除，不是勾股数。
④$1,\sqrt{3},\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$是无理数，不是正整数，直接排除，不是勾股数。
综上，只有①是勾股数，共1组。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础概念题，解题的易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和是否相等导致错选。解题时先判断数字类型是否符合要求，再验证平方和关系，可有效提高正确率。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示，点 $ P $ 的坐标为$(-2,3)$，以点 $ O $ 为圆心，$ OP $ 的长为半径画弧交$ x $轴的负半轴于点 $ A $，则点 $ A $ 的横坐标在 （
A.$-6$和$-5$之间
B.$-5$和$-4$之间
C.$-4$和$-3$之间
D.$-3$和$-2$之间
C
）A.$-6$和$-5$之间
B.$-5$和$-4$之间
C.$-4$和$-3$之间
D.$-3$和$-2$之间
答案
4.C
解析
【分析】
要确定点A的横坐标范围，首先根据圆的性质可知OA=OP（均为圆的半径），因此首先需要计算OP的长度：已知点P的坐标，可通过勾股定理求出OP的长；由于OP是无理数，接下来估算该无理数的取值范围，再结合点A在x轴负半轴的特征，即可得到A点横坐标的范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵点P的坐标为$(-2,3)$
∴由勾股定理可得：$OP=\sqrt{(-2)^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
∵OA和OP都是以O为圆心的圆的半径
∴$OA=OP=\sqrt{13}$
∵$9＜13＜16$
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
∵点A在x轴的负半轴上
∴点A的横坐标为$-\sqrt{13}$
对不等式$3＜\sqrt{13}＜4$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-4＜-\sqrt{13}＜-3$
即点A的横坐标在-4和-3之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，无理数估算，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将勾股定理、无理数大小估算和圆的性质结合考查，解题的关键是先利用半径相等将求A点横坐标转化为求OP的长度，再准确估算无理数的范围即可，是常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
要确定点A的横坐标范围，首先根据圆的性质可知OA=OP（均为圆的半径），因此首先需要计算OP的长度：已知点P的坐标，可通过勾股定理求出OP的长；由于OP是无理数，接下来估算该无理数的取值范围，再结合点A在x轴负半轴的特征，即可得到A点横坐标的范围，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵点P的坐标为$(-2,3)$
∴由勾股定理可得：$OP=\sqrt{(-2)^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
∵OA和OP都是以O为圆心的圆的半径
∴$OA=OP=\sqrt{13}$
∵$9＜13＜16$
∴$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
∵点A在x轴的负半轴上
∴点A的横坐标为$-\sqrt{13}$
对不等式$3＜\sqrt{13}＜4$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-4＜-\sqrt{13}＜-3$
即点A的横坐标在-4和-3之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，无理数估算，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将勾股定理、无理数大小估算和圆的性质结合考查，解题的关键是先利用半径相等将求A点横坐标转化为求OP的长度，再准确估算无理数的范围即可，是常见的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示，$△ ABC ≌ △ ADE$，如果 $AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，那么 $DE$ 的长是（
A.3
B.4
C.5
D.无法确定
C
）A.3
B.4
C.5
D.无法确定
答案
5.C
解析
【分析】
拿到题目首先关注已知条件：△ABC≌△ADE，需要求DE的长。我们可以联想到全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等。接下来需要确定DE的对应边：全等三角形的表示中，顶点的排列顺序对应了顶点的对应关系，因此△ABC和△ADE中，点B对应点D、点C对应点E，所以BC和DE是对应边，二者长度相等，已知BC的长度即可直接得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △ADE，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，
由全等三角形顶点的对应关系可得，边BC与边DE是对应边，
∴DE = BC，
又
∵已知BC=5，
∴DE=5。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对全等三角形性质的理解和运用，解题的核心是根据全等三角形的表示顺序准确识别对应边，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先关注已知条件：△ABC≌△ADE，需要求DE的长。我们可以联想到全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等。接下来需要确定DE的对应边：全等三角形的表示中，顶点的排列顺序对应了顶点的对应关系，因此△ABC和△ADE中，点B对应点D、点C对应点E，所以BC和DE是对应边，二者长度相等，已知BC的长度即可直接得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △ADE，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，
由全等三角形顶点的对应关系可得，边BC与边DE是对应边，
∴DE = BC，
又
∵已知BC=5，
∴DE=5。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对全等三角形性质的理解和运用，解题的核心是根据全等三角形的表示顺序准确识别对应边，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积和是 （
A.16
B.25
C.144
D.169
B
）A.16
B.25
C.144
D.169
答案
6.B
解析
【分析】
首先观察图形特征：右侧直角三角形的短直角边就是中间白色正方形的边长；左侧两个阴影正方形的边长分别是左侧直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边恰好是中间白色正方形的边长。解题时先通过勾股定理求出右侧直角三角形短直角边的平方，也就是中间白色正方形的面积，再利用勾股定理推导阴影部分面积和与中间正方形面积的关系，即可得到结果。
【解析】
1. 计算右侧直角三角形短直角边的平方：
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知该直角三角形斜边为13，长直角边为12，设短直角边长为$a$，则：
$a^2 + 12^2 = 13^2$
计算得：$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，即中间白色正方形的面积为25。
2. 推导阴影部分的面积和：
设两个阴影正方形的边长分别为$b$、$c$，左侧直角三角形的斜边为中间白色正方形的边长$a$，根据勾股定理可得：
$b^2 + c^2 = a^2$
阴影部分的面积和就是两个阴影正方形的面积和，即$b^2 + c^2$，因此阴影面积和为25。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用类题目，解题关键是抓住不同直角三角形边长的关联，以及正方形面积与边长平方的对应关系，无需单独计算每个阴影正方形的面积即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：右侧直角三角形的短直角边就是中间白色正方形的边长；左侧两个阴影正方形的边长分别是左侧直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边恰好是中间白色正方形的边长。解题时先通过勾股定理求出右侧直角三角形短直角边的平方，也就是中间白色正方形的面积，再利用勾股定理推导阴影部分面积和与中间正方形面积的关系，即可得到结果。
【解析】
1. 计算右侧直角三角形短直角边的平方：
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知该直角三角形斜边为13，长直角边为12，设短直角边长为$a$，则：
$a^2 + 12^2 = 13^2$
计算得：$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，即中间白色正方形的面积为25。
2. 推导阴影部分的面积和：
设两个阴影正方形的边长分别为$b$、$c$，左侧直角三角形的斜边为中间白色正方形的边长$a$，根据勾股定理可得：
$b^2 + c^2 = a^2$
阴影部分的面积和就是两个阴影正方形的面积和，即$b^2 + c^2$，因此阴影面积和为25。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用类题目，解题关键是抓住不同直角三角形边长的关联，以及正方形面积与边长平方的对应关系，无需单独计算每个阴影正方形的面积即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示，$OA=OB$，数轴上点$A$表示的数是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
7.$-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要确定数轴上点A表示的数，首先需要求出OA的长度。已知OA=OB，因此先计算OB的长度：观察图形可知OB是直角边分别为1、2的直角三角形的斜边，可通过勾股定理求出OB的长度，再结合点A位于原点左侧，对应数为负数，即可得到点A表示的数。
【解析】
由图可知，以OB为斜边的直角三角形的两条直角边长分别为1和2，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
∵ $OA=OB$
∴ $OA=\sqrt{5}$
又
∵ 点A在数轴的负半轴上
∴ 点A表示的数是$-\sqrt{5}$
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的半径相等
【点评】
本题是数轴与几何计算的结合类基础题，解题的关键是利用勾股定理求出OB的长度，再结合点的位置确定数的符号，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要确定数轴上点A表示的数，首先需要求出OA的长度。已知OA=OB，因此先计算OB的长度：观察图形可知OB是直角边分别为1、2的直角三角形的斜边，可通过勾股定理求出OB的长度，再结合点A位于原点左侧，对应数为负数，即可得到点A表示的数。
【解析】
由图可知，以OB为斜边的直角三角形的两条直角边长分别为1和2，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
∵ $OA=OB$
∴ $OA=\sqrt{5}$
又
∵ 点A在数轴的负半轴上
∴ 点A表示的数是$-\sqrt{5}$
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的半径相等
【点评】
本题是数轴与几何计算的结合类基础题，解题的关键是利用勾股定理求出OB的长度，再结合点的位置确定数的符号，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8.若直角三角形的两条边长分别为 $ a,b $，且满足 $ (a - 3)^2 + |b - 4| = \sqrt{x - 2025} + \sqrt{2025 - x} $，则该直角三角形的第三条边长为 ______。
答案
8. 5或$\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先观察等式右侧的两个二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）可求出x的值，得到等式右侧的值为0；再根据非负数的性质，即平方和绝对值均为非负数，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，可求出a、b的数值；最后由于题目未明确给出a、b是直角边还是斜边，需要分类讨论两种情况，结合勾股定理计算第三边的长度。
【解析】
1. 求x的取值：
要使$\sqrt{x - 2025}$和$\sqrt{2025 - x}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-2025≥0 \\2025-x≥0 \end{cases}$，解得$x=2025$，因此等式右侧$\sqrt{x - 2025} + \sqrt{2025 - x}=0$。
2. 求a、b的值：
可得$(a - 3)^2 + |b - 4| = 0$，因为$(a-3)^2≥0$，$|b-4|≥0$，所以：
$a-3=0$，$b-4=0$，即$a=3$，$b=4$。
3. 分情况求第三边长：
① 当a、b均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$；
② 当b为斜边，a为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
综上，该直角三角形的第三条边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；勾股定理
【点评】
本题综合性较强，解题的关键是先利用二次根式的取值限制求出x的值，再结合非负数性质得到直角三角形的两条边长，要注意题干未明确边长类型时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先观察等式右侧的两个二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）可求出x的值，得到等式右侧的值为0；再根据非负数的性质，即平方和绝对值均为非负数，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，可求出a、b的数值；最后由于题目未明确给出a、b是直角边还是斜边，需要分类讨论两种情况，结合勾股定理计算第三边的长度。
【解析】
1. 求x的取值：
要使$\sqrt{x - 2025}$和$\sqrt{2025 - x}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-2025≥0 \\2025-x≥0 \end{cases}$，解得$x=2025$，因此等式右侧$\sqrt{x - 2025} + \sqrt{2025 - x}=0$。
2. 求a、b的值：
可得$(a - 3)^2 + |b - 4| = 0$，因为$(a-3)^2≥0$，$|b-4|≥0$，所以：
$a-3=0$，$b-4=0$，即$a=3$，$b=4$。
3. 分情况求第三边长：
① 当a、b均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$；
② 当b为斜边，a为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
综上，该直角三角形的第三条边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；勾股定理
【点评】
本题综合性较强，解题的关键是先利用二次根式的取值限制求出x的值，再结合非负数性质得到直角三角形的两条边长，要注意题干未明确边长类型时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
