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9. 若三角形三边长之比为$2:\sqrt{7}:\sqrt{3}$，则这个三角形中的最大角的度数是________.
答案
9. $90°$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①首先根据三角形“大边对大角”的性质，边长最长的边对应的角就是最大角，所以先从给定的边长比中确定最长边；②因为给出的是边长的比值，我们可以设参数表示出三边的实际长度（参数为正数，不影响平方关系的判断）；③最后运用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断最大角的度数。
【解析】
设三角形的三边长分别为$2k$、$\sqrt{7}k$、$\sqrt{3}k$（$k＞0$）。
1. 确定最长边：
因为$\sqrt{7}＞2＞\sqrt{3}$，所以最长边为$\sqrt{7}k$，它所对的角就是三角形的最大角。
2. 验证三边平方关系：
计算两条短边的平方和：
$(2k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = 4k^2 + 3k^2 = 7k^2$
计算最长边的平方：
$(\sqrt{7}k)^2 = 7k^2$
可得$(2k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (\sqrt{7}k)^2$，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，最长边对的角为直角，即最大角为$90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
三角形大边对大角，勾股定理的逆定理，比例的应用
【点评】
本题核心是利用三角形边角关系定位最大角，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，解题时设参数简化边长计算的技巧很实用，掌握相关基础定理就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①首先根据三角形“大边对大角”的性质，边长最长的边对应的角就是最大角，所以先从给定的边长比中确定最长边；②因为给出的是边长的比值，我们可以设参数表示出三边的实际长度（参数为正数，不影响平方关系的判断）；③最后运用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断最大角的度数。
【解析】
设三角形的三边长分别为$2k$、$\sqrt{7}k$、$\sqrt{3}k$（$k＞0$）。
1. 确定最长边：
因为$\sqrt{7}＞2＞\sqrt{3}$，所以最长边为$\sqrt{7}k$，它所对的角就是三角形的最大角。
2. 验证三边平方关系：
计算两条短边的平方和：
$(2k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = 4k^2 + 3k^2 = 7k^2$
计算最长边的平方：
$(\sqrt{7}k)^2 = 7k^2$
可得$(2k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (\sqrt{7}k)^2$，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，最长边对的角为直角，即最大角为$90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
三角形大边对大角，勾股定理的逆定理，比例的应用
【点评】
本题核心是利用三角形边角关系定位最大角，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，解题时设参数简化边长计算的技巧很实用，掌握相关基础定理就能快速作答。
【难度系数】
0.8
10. 如图所示,某港口 P 位于东西方向的海岸线上,甲、乙两艘轮船同时离开港口,甲船沿北偏西 $ 40° $ 方向航行,乙船沿北偏东 $ 50° $ 方向航行,甲、乙两艘轮船每小时分别航行 12 n mile 和 16 n mile,1 h 后两船相距
20
n mile.答案
10. 20
解析
【分析】
解题时首先要结合方向角判断△APB的形状：甲船航行方向为北偏西40°，乙船为北偏东50°，两个角度相加可得∠APB为90°，即△APB是直角三角形。接下来根据“路程=速度×时间”分别计算出两条直角边PA、PB的长度，最后利用勾股定理即可求出两船的距离AB。
【解析】
解：由方向角的定义可知，∠APB=40°+50°=90°，因此△APB是直角三角形。
1小时后，甲船航行的路程：$PA=12×1=12\ \mathrm{n\ mile}$
乙船航行的路程：$PB=16×1=16\ \mathrm{n\ mile}$
在$\mathrm{Rt}△ APB$中，根据勾股定理：
$AB^2=PA^2+PB^2$
代入数据得：$AB^2=12^2+16^2=144+256=400$
因此$AB=\sqrt{400}=20\ \mathrm{n\ mile}$
【答案】
20
【知识点】
方向角识别，勾股定理，直角三角形判定
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何知识的应用，解题的突破口是通过方向角确定三角形为直角三角形，再结合路程公式和勾股定理计算即可，整体解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要结合方向角判断△APB的形状：甲船航行方向为北偏西40°，乙船为北偏东50°，两个角度相加可得∠APB为90°，即△APB是直角三角形。接下来根据“路程=速度×时间”分别计算出两条直角边PA、PB的长度，最后利用勾股定理即可求出两船的距离AB。
【解析】
解：由方向角的定义可知，∠APB=40°+50°=90°，因此△APB是直角三角形。
1小时后，甲船航行的路程：$PA=12×1=12\ \mathrm{n\ mile}$
乙船航行的路程：$PB=16×1=16\ \mathrm{n\ mile}$
在$\mathrm{Rt}△ APB$中，根据勾股定理：
$AB^2=PA^2+PB^2$
代入数据得：$AB^2=12^2+16^2=144+256=400$
因此$AB=\sqrt{400}=20\ \mathrm{n\ mile}$
【答案】
20
【知识点】
方向角识别，勾股定理，直角三角形判定
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何知识的应用，解题的突破口是通过方向角确定三角形为直角三角形，再结合路程公式和勾股定理计算即可，整体解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示,在$△ ABC$中,$BC$的垂直平分线$DE$分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,且$BD^2 - DA^2 = AC^2$.
(1)求证:$∠ A=90°$;
(2)若$AB=2$,$AD:DB=3:5$,求$BC$的长.
(1)求证:$∠ A=90°$;
(2)若$AB=2$,$AD:DB=3:5$,求$BC$的长.
答案
11.(1)证明:如图所示,连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,
∴CD=DB.
∵$BD^2 - DA^2 = AC^2$,
∴$CD^2 - DA^2 = AC^2$.
∴$CD^2 = AD^2 + AC^2$.
∴△ACD是直角三角形,且$∠A=90°$.
(2)解:
∵$AB=2$,$AD:DB=3:5$,
∴$AD=\frac{3}{4}$,$CD=BD=\frac{5}{4}$.
由勾股定理,得$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=1$.
由勾股定理,得$BC=\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证∠A=90°，可借助勾股定理的逆定理，证明三角形三边满足两边平方和等于第三边的平方。已知DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接CD可得CD=BD，将题设条件中的BD替换为CD，即可得到△ACD的三边满足勾股逆定理的条件，从而证明∠A=90°。
(2) 要求BC的长度，先根据AB的总长和AD、DB的比例关系，求出AD、BD的长度，结合BD=CD，在Rt△ACD中用勾股定理求出AC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD = DB。
∵$BD^2 - DA^2 = AC^2$，
∴$CD^2 - DA^2 = AC^2$，即$CD^2 = AD^2 + AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且$∠A=90°$。
(2) 解：
∵$AB=2$，$AD:DB=3:5$，
∴$AD=2×\frac{3}{3+5}=\frac{3}{4}$，$CD=BD=2×\frac{5}{3+5}=\frac{5}{4}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=\sqrt{(\frac{5}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2}=1$。
在Rt△ABC中，∠A=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明：如图所示,连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,
∴CD=DB.
∵$BD^2 - DA^2 = AC^2$,
∴$CD^2 - DA^2 = AC^2$.
∴$CD^2 = AD^2 + AC^2$.
∴△ACD是直角三角形,且$∠A=90°$.
(2)解:
∵$AB=2$,$AD:DB=3:5$,
∴$AD=\frac{3}{4}$,$CD=BD=\frac{5}{4}$.
由勾股定理,得$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=1$.
由勾股定理,得$BC=\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{5}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过添加辅助线CD，将已知的边的关系转化到同一个三角形中，结合垂直平分线性质和勾股定理相关知识求解，是同类题型的典型代表。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠A=90°，可借助勾股定理的逆定理，证明三角形三边满足两边平方和等于第三边的平方。已知DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接CD可得CD=BD，将题设条件中的BD替换为CD，即可得到△ACD的三边满足勾股逆定理的条件，从而证明∠A=90°。
(2) 要求BC的长度，先根据AB的总长和AD、DB的比例关系，求出AD、BD的长度，结合BD=CD，在Rt△ACD中用勾股定理求出AC的长度，再在Rt△ABC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD = DB。
∵$BD^2 - DA^2 = AC^2$，
∴$CD^2 - DA^2 = AC^2$，即$CD^2 = AD^2 + AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且$∠A=90°$。
(2) 解：
∵$AB=2$，$AD:DB=3:5$，
∴$AD=2×\frac{3}{3+5}=\frac{3}{4}$，$CD=BD=2×\frac{5}{3+5}=\frac{5}{4}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=\sqrt{(\frac{5}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2}=1$。
在Rt△ABC中，∠A=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明：如图所示,连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,
∴CD=DB.
∵$BD^2 - DA^2 = AC^2$,
∴$CD^2 - DA^2 = AC^2$.
∴$CD^2 = AD^2 + AC^2$.
∴△ACD是直角三角形,且$∠A=90°$.
(2)解:
∵$AB=2$,$AD:DB=3:5$,
∴$AD=\frac{3}{4}$,$CD=BD=\frac{5}{4}$.
由勾股定理,得$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=1$.
由勾股定理,得$BC=\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{5}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过添加辅助线CD，将已知的边的关系转化到同一个三角形中，结合垂直平分线性质和勾股定理相关知识求解，是同类题型的典型代表。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示,有一座摆钟,把摆锤看作一个点,当摆锤静止时,它离底座的垂直高度 $ DE = 6 \, \mathrm{cm} $;当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度 $ BF = 8 \, \mathrm{cm} $,此时摆锤与静止时位置的水平距离 $ BC = 10 \, \mathrm{cm} $. 求钟摆 $ AD $ 的长度.
答案
12.解:设$AB=AD=x$ cm,根据题意,可知$BC//EF$,$CE⊥EF$,$BF⊥EF$,$BF=8$ cm,
∴$CE=BF=8$ cm.
∴$AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)$ cm.
在Rt△ABC中,$∠ACB=90°$,
∴$AB^2=AC^2+BC^2$,即$x^2=(x-2)^2+10^2$,解得$x=26$.
即钟摆$AD$的长度为26 cm.
∴$CE=BF=8$ cm.
∴$AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2)$ cm.
在Rt△ABC中,$∠ACB=90°$,
∴$AB^2=AC^2+BC^2$,即$x^2=(x-2)^2+10^2$,解得$x=26$.
即钟摆$AD$的长度为26 cm.
解析
【分析】
解决本题首先要抓住钟摆长度不变的特点，即摆动时的AB长度和静止时的AD长度相等，我们可以将AD设为未知数x。接下来推导直角三角形ABC的各边长度：由于BC水平，CE、BF都垂直于地面EF，因此四边形BCEF是矩形，可得CE=BF=8cm，进而可以用含x的式子表示出AC的长度。最后在直角三角形ABC中利用勾股定理列方程，求解即可得到AD的长度。
【解析】
解：设钟摆的长度$AD=AB=x$ cm，
由题意可知$BC// EF$，$CE⊥ EF$，$BF⊥ EF$，
∴ 四边形BCEF是矩形，$CE=BF=8$ cm，
∴ $AC=AD + DE - CE = x + 6 - 8 = (x-2)$ cm，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入数据得：$x^2=(x-2)^2+10^2$，
展开得：$x^2=x^2-4x+4+100$，
移项合并同类项得：$4x=104$，
解得：$x=26$。
【答案】26 cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；列方程解应用题
【点评】本题结合生活中的摆钟场景考查几何知识的实际应用，解题核心是抓住钟摆长度不变的特点，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过设未知数列方程即可快速求解，解题过程中要注意准确表示各线段的长度。
【难度系数】0.7
解决本题首先要抓住钟摆长度不变的特点，即摆动时的AB长度和静止时的AD长度相等，我们可以将AD设为未知数x。接下来推导直角三角形ABC的各边长度：由于BC水平，CE、BF都垂直于地面EF，因此四边形BCEF是矩形，可得CE=BF=8cm，进而可以用含x的式子表示出AC的长度。最后在直角三角形ABC中利用勾股定理列方程，求解即可得到AD的长度。
【解析】
解：设钟摆的长度$AD=AB=x$ cm，
由题意可知$BC// EF$，$CE⊥ EF$，$BF⊥ EF$，
∴ 四边形BCEF是矩形，$CE=BF=8$ cm，
∴ $AC=AD + DE - CE = x + 6 - 8 = (x-2)$ cm，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入数据得：$x^2=(x-2)^2+10^2$，
展开得：$x^2=x^2-4x+4+100$，
移项合并同类项得：$4x=104$，
解得：$x=26$。
【答案】26 cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；列方程解应用题
【点评】本题结合生活中的摆钟场景考查几何知识的实际应用，解题核心是抓住钟摆长度不变的特点，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过设未知数列方程即可快速求解，解题过程中要注意准确表示各线段的长度。
【难度系数】0.7
