登录
13. 如图所示的是小英爸爸设置的手机手势密码图.已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1,手指沿$A-B-C-D$的路径解锁.按此手势解锁一次的路径长为 （
A.5
B.$3+\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{5}$
D.6
C
）A.5
B.$3+\sqrt{3}$
C.$3+\sqrt{5}$
D.6
答案
13.C
解析
【分析】
要求手势解锁的路径长，只需将路径拆分为AB、BC、CD三段，分别计算每段的长度再相加即可。其中AB、CD为竖直方向的线段，可根据相邻点的距离直接得到长度；BC为斜线段，可通过构造直角三角形，利用勾股定理计算其长度。
【解析】
解：由题意可知左右、上下相邻两个密码点的距离均为1：
1. 计算AB的长度：A、B在同一竖列，共间隔2个单位长度，因此$AB=2$；
2. 计算CD的长度：C、D在同一竖列，共间隔1个单位长度，因此$CD=1$；
3. 计算BC的长度：B、C横向间隔2个单位，纵向间隔1个单位，构造直角三角形后BC为斜边，根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
总路径长为三段长度之和：$AB+BC+CD=2+\sqrt{5}+1=3+\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，线段长度计算
【点评】
本题结合生活中常见的手机手势密码场景，考查数学知识的实际应用，解题的核心是正确拆分路径，对斜线段灵活运用勾股定理求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
要求手势解锁的路径长，只需将路径拆分为AB、BC、CD三段，分别计算每段的长度再相加即可。其中AB、CD为竖直方向的线段，可根据相邻点的距离直接得到长度；BC为斜线段，可通过构造直角三角形，利用勾股定理计算其长度。
【解析】
解：由题意可知左右、上下相邻两个密码点的距离均为1：
1. 计算AB的长度：A、B在同一竖列，共间隔2个单位长度，因此$AB=2$；
2. 计算CD的长度：C、D在同一竖列，共间隔1个单位长度，因此$CD=1$；
3. 计算BC的长度：B、C横向间隔2个单位，纵向间隔1个单位，构造直角三角形后BC为斜边，根据勾股定理得：
$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
总路径长为三段长度之和：$AB+BC+CD=2+\sqrt{5}+1=3+\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，线段长度计算
【点评】
本题结合生活中常见的手机手势密码场景，考查数学知识的实际应用，解题的核心是正确拆分路径，对斜线段灵活运用勾股定理求解，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
14. 如图所示,在每个小正方形的边长均为1的网格中,△ABC的顶点都在格点上,则∠ABC的度数为 （
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$
B
）A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$
答案
14.B
解析
【分析】
要求∠ABC的度数，网格类几何题可先通过勾股定理计算相关线段长度，结合面积法构造直角三角形，将未知角转化为特殊角求解。首先先确定各顶点坐标计算△ABC的边长，再用面积法求出AB边上的高，通过勾股定理判断构造的直角三角形为等腰直角三角形，得到45°特殊角，最后利用平角定义即可求出∠ABC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A坐标为(0,0)，则点B坐标为(2,1)，点C坐标为(5,0)。
1. 用勾股定理计算线段长度：
$AB=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(5-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}$，
$AC=5-0=5$。
2. 计算△ABC的面积：以AC为底，点B到AC的竖直距离为高，高为1，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × 1=\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}$。
3. 过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D，此时△ABC的面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CD$，代入数值：
$\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× CD$，解得$CD=\sqrt{5}$。
4. 在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得$BD^2=BC^2-CD^2=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{5})^2=5$，因此$BD=\sqrt{5}$。
5. 可得$CD=BD=\sqrt{5}$，故$Rt△ BCD$是等腰直角三角形，$∠ CBD=45°$。
6. 根据平角定义，$∠ ABC+∠ CBD=180°$，因此$∠ ABC=180°-45°=135°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是将面积法与勾股定理结合，通过构造直角三角形把未知角转化为特殊角的补角求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.65
要求∠ABC的度数，网格类几何题可先通过勾股定理计算相关线段长度，结合面积法构造直角三角形，将未知角转化为特殊角求解。首先先确定各顶点坐标计算△ABC的边长，再用面积法求出AB边上的高，通过勾股定理判断构造的直角三角形为等腰直角三角形，得到45°特殊角，最后利用平角定义即可求出∠ABC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点A坐标为(0,0)，则点B坐标为(2,1)，点C坐标为(5,0)。
1. 用勾股定理计算线段长度：
$AB=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(5-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}$，
$AC=5-0=5$。
2. 计算△ABC的面积：以AC为底，点B到AC的竖直距离为高，高为1，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × 1=\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}$。
3. 过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D，此时△ABC的面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CD$，代入数值：
$\frac{5}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× CD$，解得$CD=\sqrt{5}$。
4. 在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得$BD^2=BC^2-CD^2=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{5})^2=5$，因此$BD=\sqrt{5}$。
5. 可得$CD=BD=\sqrt{5}$，故$Rt△ BCD$是等腰直角三角形，$∠ CBD=45°$。
6. 根据平角定义，$∠ ABC+∠ CBD=180°$，因此$∠ ABC=180°-45°=135°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是将面积法与勾股定理结合，通过构造直角三角形把未知角转化为特殊角的补角求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.65
15.定义:连接三角形的一个顶点和其对边上一点,若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形,则称该线段为原三角形的“妙分线”.如图所示,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=3\sqrt{10}$,若$AC$为$△ BCD$的“妙分线”,则$CD$的长为________.
答案
15. 3或$\frac{15}{4}$
解析
【分析】首先明确“妙分线”的定义：AC将△BCD分割为△ABC和△ACD两个三角形，其中一个为等腰三角形，一个为直角三角形。已知△ABC本身是等腰三角形（AB=AC=5），因此只需讨论△ACD为直角三角形的两种情况：直角顶点为D、直角顶点为C。先通过勾股定理求出点C到BA延长线的高，再结合相似三角形的性质分别计算CD的长度即可，注意排除不可能的情况。
【解析】过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E。
设$AE=x$，$CE=h$：
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$h^2 + x^2 = AC^2 = 25$；
在$Rt△ BCE$中，$BE=AB+AE=5+x$，由勾股定理得$h^2 + (5+x)^2 = BC^2 = (3\sqrt{10})^2 = 90$。
两式相减得：$(5+x)^2 - x^2 = 90-25=65$，展开化简得$10x+25=65$，解得$x=4$，代入得$h^2=25-16=9$，即$CE=3$，$AE=4$。
情况1：△ACD的直角顶点为D，即$∠ ADC=90°$，此时D与E重合，因此$CD=CE=3$。
情况2：△ACD的直角顶点为C，即$∠ ACD=90°$。
∵$∠ CEA=∠ ACD=90°$，$∠ CAE=∠ DAC$（公共角），
∴$△ ACE ∽ △ ADC$（两角对应相等，三角形相似），
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AE}{AC}$，代入$CE=3$、$AE=4$、$AC=5$，得$\frac{3}{CD}=\frac{4}{5}$，解得$CD=\frac{15}{4}$。
综上，CD的长为3或$\frac{15}{4}$。
【答案】3或$\frac{15}{4}$
【知识点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解新定义，结合图形对直角三角形的直角顶点分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用勾股定理、相似三角形的性质求解线段长度。
【难度系数】0.6
【解析】过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E。
设$AE=x$，$CE=h$：
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得$h^2 + x^2 = AC^2 = 25$；
在$Rt△ BCE$中，$BE=AB+AE=5+x$，由勾股定理得$h^2 + (5+x)^2 = BC^2 = (3\sqrt{10})^2 = 90$。
两式相减得：$(5+x)^2 - x^2 = 90-25=65$，展开化简得$10x+25=65$，解得$x=4$，代入得$h^2=25-16=9$，即$CE=3$，$AE=4$。
情况1：△ACD的直角顶点为D，即$∠ ADC=90°$，此时D与E重合，因此$CD=CE=3$。
情况2：△ACD的直角顶点为C，即$∠ ACD=90°$。
∵$∠ CEA=∠ ACD=90°$，$∠ CAE=∠ DAC$（公共角），
∴$△ ACE ∽ △ ADC$（两角对应相等，三角形相似），
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AE}{AC}$，代入$CE=3$、$AE=4$、$AC=5$，得$\frac{3}{CD}=\frac{4}{5}$，解得$CD=\frac{15}{4}$。
综上，CD的长为3或$\frac{15}{4}$。
【答案】3或$\frac{15}{4}$
【知识点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解新定义，结合图形对直角三角形的直角顶点分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用勾股定理、相似三角形的性质求解线段长度。
【难度系数】0.6
16. 如图所示，A，B 两块试验田相距 200 m，C 为水源地，AC=160 m，BC=120 m. 为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.
甲方案:从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到试验田 A，B；
乙方案:过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H 处，再从 H 处修筑两条水渠分别到试验田 A，B.
(1)请判断$△ ABC$的形状(要求写出推理过程).
(2)两种方案中，哪种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.
甲方案:从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到试验田 A，B；
乙方案:过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H 处，再从 H 处修筑两条水渠分别到试验田 A，B.
(1)请判断$△ ABC$的形状(要求写出推理过程).
(2)两种方案中，哪种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.
答案
16.解:(1)△ABC是直角三角形.推理过程如下：
∵$AC^2+BC^2=160^2+120^2=40\ 000$,$AB^2=200^2=40\ 000$,
∴$AC^2+BC^2=AB^2$.
∴△ABC是直角三角形,且$∠ACB=90°$.
(2)甲方案所修的水渠较短.理由如下：
∵△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$.
∴$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$.
∵$AC+BC=160+120=280(\mathrm{m})$,$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(\mathrm{m})$,
∴$AC+BC＜CH+AH+BH$.
∴甲方案所修的水渠较短.
∵$AC^2+BC^2=160^2+120^2=40\ 000$,$AB^2=200^2=40\ 000$,
∴$AC^2+BC^2=AB^2$.
∴△ABC是直角三角形,且$∠ACB=90°$.
(2)甲方案所修的水渠较短.理由如下：
∵△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$.
∴$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$.
∵$AC+BC=160+120=280(\mathrm{m})$,$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(\mathrm{m})$,
∴$AC+BC＜CH+AH+BH$.
∴甲方案所修的水渠较短.
解析
【分析】
(1) 判断三角形形状时，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证：先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，则该三角形为直角三角形。
(2) 比较两种方案的水渠长度，需分别计算两种方案的总水渠长度：甲方案总长度为AC与BC的和，可直接求和；乙方案总长度为CH、AH、BH的和，其中AH+BH=AB，因此只需先利用直角三角形等面积法求出CH的长度，再计算乙方案总长度，最后比较两个总长度的大小即可得出结论。
【解析】
(1) $△ ABC$是直角三角形，推理过程如下：
已知$AC=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AB=200\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2+BC^2=160^2+120^2=25600+14400=40000$，
$AB^2=200^2=40000$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 甲方案所修的水渠较短，计算说明如下：
因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，$CH⊥ AB$，
所以$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CH$，
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，化简得$CH=\frac{AC· BC}{AB}$，
代入数值计算得：$CH=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$。
甲方案水渠总长度：$AC+BC=160+120=280(\mathrm{m})$，
乙方案水渠总长度：$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(\mathrm{m})$，
因为$280＜296$，即$AC+BC＜CH+AH+BH$，所以甲方案所修的水渠较短。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$；
(2) 甲方案所修的水渠较短。
【知识点】
勾股定理的逆定理，等面积法求高，方案优化比较
【点评】
本题结合实际应用场景考察几何知识的运用，既要求掌握直角三角形的判定方法，也要求灵活运用等面积法求解直角三角形的高，解题逻辑清晰，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三角形形状时，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证：先计算两条较短边的平方和，再计算最长边的平方，若二者相等，则该三角形为直角三角形。
(2) 比较两种方案的水渠长度，需分别计算两种方案的总水渠长度：甲方案总长度为AC与BC的和，可直接求和；乙方案总长度为CH、AH、BH的和，其中AH+BH=AB，因此只需先利用直角三角形等面积法求出CH的长度，再计算乙方案总长度，最后比较两个总长度的大小即可得出结论。
【解析】
(1) $△ ABC$是直角三角形，推理过程如下：
已知$AC=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AB=200\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2+BC^2=160^2+120^2=25600+14400=40000$，
$AB^2=200^2=40000$，
因此$AC^2+BC^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
(2) 甲方案所修的水渠较短，计算说明如下：
因为$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，$CH⊥ AB$，
所以$△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· CH$，
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，化简得$CH=\frac{AC· BC}{AB}$，
代入数值计算得：$CH=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$。
甲方案水渠总长度：$AC+BC=160+120=280(\mathrm{m})$，
乙方案水渠总长度：$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(\mathrm{m})$，
因为$280＜296$，即$AC+BC＜CH+AH+BH$，所以甲方案所修的水渠较短。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$；
(2) 甲方案所修的水渠较短。
【知识点】
勾股定理的逆定理，等面积法求高，方案优化比较
【点评】
本题结合实际应用场景考察几何知识的运用，既要求掌握直角三角形的判定方法，也要求灵活运用等面积法求解直角三角形的高，解题逻辑清晰，计算量小，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
