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17.综合与实践.
某校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离.求真小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
| 实践任务 | 测量池塘两端A，B间的距离 |
| ---- | ---- |
| 测量工具 | 皮尺、测角仪 |
| 测量方案 | 如图所示，第一步:在地面上取一点C，使点C能直接到达A，B两点；第二步:在AB的延长线上确定点D，使$CD⊥AB$，交AB的延长线于点D.
（说明:图中各点均在同一平面内） |
| 测量数据 | $BC=13\ \mathrm{m},AC=20\ \mathrm{m},BD=5\ \mathrm{m}$ |
| 问题解决 | 根据测量方案与测量数据，计算池塘两端A，B间的距离如下：…… |
| 回顾反思 | …… |
(1)请将实践报告中“问题解决”部分空缺的内容补充完整；
(2)请回顾解决这一问题的过程，写出你的一条反思.
某校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离.求真小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
| 实践任务 | 测量池塘两端A，B间的距离 |
| ---- | ---- |
| 测量工具 | 皮尺、测角仪 |
| 测量方案 | 如图所示，第一步:在地面上取一点C，使点C能直接到达A，B两点；第二步:在AB的延长线上确定点D，使$CD⊥AB$，交AB的延长线于点D.
（说明:图中各点均在同一平面内） |
| 测量数据 | $BC=13\ \mathrm{m},AC=20\ \mathrm{m},BD=5\ \mathrm{m}$ |
| 问题解决 | 根据测量方案与测量数据，计算池塘两端A，B间的距离如下：…… |
| 回顾反思 | …… |
(1)请将实践报告中“问题解决”部分空缺的内容补充完整；
(2)请回顾解决这一问题的过程，写出你的一条反思.
答案
17.解:(1)方法一:由题意可知$CD⊥AD$,即$∠BDC=90°$.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得$CD^2+BD^2=BC^2$.
∵$BC=13\ \mathrm{m}$,$BD=5\ \mathrm{m}$,
∴$CD^2+5^2=13^2$.
∵$CD＞0$,
∴$CD=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{m})$.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得$AD^2+CD^2=AC^2$,
∵$AC=20\ \mathrm{m}$,
∴$AD^2+12^2=20^2$.
∵$AD＞0$,
∴$AD=\sqrt{20^2-12^2}=16(\mathrm{m})$.
∴$AB=AD-BD=16-5=11(\mathrm{m})$.
答:池塘两端A,B间的距离为11 m.
方法二:由题意可知$CD⊥AD$,即$∠BDC=90°$.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得$CD^2+BD^2=BC^2$,
∵$BC=13\ \mathrm{m}$,$BD=5\ \mathrm{m}$,
∴$CD^2=BC^2-BD^2=13^2-5^2=12^2=144$.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得$AD^2+CD^2=AC^2$,
∵$AC=20\ \mathrm{m}$,
∴$CD^2=AC^2-AD^2=20^2-AD^2$.
∴$20^2-AD^2=144$,则$AD^2=256$.
∵$AD＞0$,
∴$AD=16\ \mathrm{m}$.
∴$AB=AD-BD=16-5=11(\mathrm{m})$.
答:池塘两端A,B间的距离为11 m.
(2)答案不唯一,合理即可.例如:可以通过构造直角三角形,将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段,然后利用勾股定理求出未知线段.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得$CD^2+BD^2=BC^2$.
∵$BC=13\ \mathrm{m}$,$BD=5\ \mathrm{m}$,
∴$CD^2+5^2=13^2$.
∵$CD＞0$,
∴$CD=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{m})$.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得$AD^2+CD^2=AC^2$,
∵$AC=20\ \mathrm{m}$,
∴$AD^2+12^2=20^2$.
∵$AD＞0$,
∴$AD=\sqrt{20^2-12^2}=16(\mathrm{m})$.
∴$AB=AD-BD=16-5=11(\mathrm{m})$.
答:池塘两端A,B间的距离为11 m.
方法二:由题意可知$CD⊥AD$,即$∠BDC=90°$.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得$CD^2+BD^2=BC^2$,
∵$BC=13\ \mathrm{m}$,$BD=5\ \mathrm{m}$,
∴$CD^2=BC^2-BD^2=13^2-5^2=12^2=144$.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得$AD^2+CD^2=AC^2$,
∵$AC=20\ \mathrm{m}$,
∴$CD^2=AC^2-AD^2=20^2-AD^2$.
∴$20^2-AD^2=144$,则$AD^2=256$.
∵$AD＞0$,
∴$AD=16\ \mathrm{m}$.
∴$AB=AD-BD=16-5=11(\mathrm{m})$.
答:池塘两端A,B间的距离为11 m.
(2)答案不唯一,合理即可.例如:可以通过构造直角三角形,将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段,然后利用勾股定理求出未知线段.
解析
【分析】
要测量无法直接到达的A、B两点距离，可利用图中两个共直角边CD的直角三角形求解：首先明确△BCD和△ACD都是直角三角形，CD是连接两个三角形的关键公共边。第一步先在已知BC、BD长度的Rt△BCD中，用勾股定理算出CD的长度；第二步将CD的长度代入Rt△ACD，结合已知的AC长度，用勾股定理算出AD的长度；最后根据点B在AD上的位置关系，用AD减去BD即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 由题意可知$CD⊥ AD$，即$∠ BDC=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，根据勾股定理得$CD^2+BD^2=BC^2$，
已知$BC=13\ \mathrm{m}$，$BD=5\ \mathrm{m}$，代入得$CD^2+5^2=13^2$，
因为$CD＞0$，所以$CD=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，根据勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
已知$AC=20\ \mathrm{m}$，$CD=12\ \mathrm{m}$，代入得$AD^2+12^2=20^2$，
因为$AD＞0$，所以$AD=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16(\mathrm{m})$。
因此$AB=AD-BD=16-5=11(\mathrm{m})$。
(2) 反思示例：可以通过构造直角三角形，把不可直接测量的线段转化为可计算的线段，利用勾股定理求解未知长度（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 池塘两端A、B间的距离为$\boldsymbol{11\ \mathrm{m}}$；
(2) 示例：构造直角三角形可将不可直接测量的线段转化为可计算的线段，利用勾股定理即可求出未知长度（合理即可）。
【知识点】
勾股定理，实际长度测量，转化思想
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景的典型应用，将生活中的实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过两次应用勾股定理即可得到结果，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的应用意识。
【难度系数】
0.7
要测量无法直接到达的A、B两点距离，可利用图中两个共直角边CD的直角三角形求解：首先明确△BCD和△ACD都是直角三角形，CD是连接两个三角形的关键公共边。第一步先在已知BC、BD长度的Rt△BCD中，用勾股定理算出CD的长度；第二步将CD的长度代入Rt△ACD，结合已知的AC长度，用勾股定理算出AD的长度；最后根据点B在AD上的位置关系，用AD减去BD即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 由题意可知$CD⊥ AD$，即$∠ BDC=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，根据勾股定理得$CD^2+BD^2=BC^2$，
已知$BC=13\ \mathrm{m}$，$BD=5\ \mathrm{m}$，代入得$CD^2+5^2=13^2$，
因为$CD＞0$，所以$CD=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，根据勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
已知$AC=20\ \mathrm{m}$，$CD=12\ \mathrm{m}$，代入得$AD^2+12^2=20^2$，
因为$AD＞0$，所以$AD=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16(\mathrm{m})$。
因此$AB=AD-BD=16-5=11(\mathrm{m})$。
(2) 反思示例：可以通过构造直角三角形，把不可直接测量的线段转化为可计算的线段，利用勾股定理求解未知长度（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 池塘两端A、B间的距离为$\boldsymbol{11\ \mathrm{m}}$；
(2) 示例：构造直角三角形可将不可直接测量的线段转化为可计算的线段，利用勾股定理即可求出未知长度（合理即可）。
【知识点】
勾股定理，实际长度测量，转化思想
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景的典型应用，将生活中的实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过两次应用勾股定理即可得到结果，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的应用意识。
【难度系数】
0.7
